Pour voir à quoi tient cette indétermi

nation, qui dépend de celle des deux résistances actuelles x, x' que les points fixes A et B doivent opposer dans le sens de la ligue qui les joint , on peut remarquer que ces deux points, qu’on s peut supposer unis par une verge inflexible, se prêtent un appui réciproque; de manière que chacun d’eux a toujours, ou par lui-mêmé, ou par le secours de l’autre, la résistance actuelle dont il a besoin pour l’équilibre, pourvu* que la somme de ces résistances soit suffisante. ’ On ne peut donc pas demander, et il est impossible que le calcul déteimine des valeui's particulières, pour deux résistances qui, pas- . sant tacitement , en tout ou en partie , de l’im à l’autre point , se confondent en une seule et même résistance.

Statique P.

KI.ÉMEN'IS

1 Cri

Üe l’équilibre d’un corps qui s’appuie contre un plan inébranlable.

124. Prenons ce plan pour celui des.v, j, que l’on nomme le plan horizontal ; et, supposant d’abord que le corps "ne s’appuie contre ce plan que par un seul point A, regardons ce point d’appui comme l’origine des coordonnées.

Il est facile de voir que lorequ’unc force presse un point contre un plan , cette force peut toujours se concevoir comme décomposée' en deux autres, l’une perpendiculaire au plan, et l’autre située dans ce plan. La première est nécessairement détruite par la résistance du plan; car il n’y a pas de raison pour qu’elle meuve le point d’un côté plutôt que d’un autre dans le plan, et d’ailleurs elle ne peut le mouvoir à trav(;rs : mais la seconde obtient tout son effet , parce que son action ne peut être altérée par la résistance d’un plan le long duquel elle s’exerce. Le plan résistant ne peut donc détruire que des forces dont les directions lui sont normales , et par conséquent .sa résistance ne peut faire naître que de telles forces dans le système.

DE STATIQUE. l63

Soit doue Z la résistance actuelle du point d’appui dans l’axe des z. I^es équations de l’équilibre deviendront :

L = O, 1VI= O, N =o.

Les. trois dernières nous font voir (n“ 112) que les forces appliquées au corps doivent se réduire à une seule qui passe par l’origine, c’està-dire par le point d’appui ;

Les deux premières , que cette résultante doit être verticale, c’est-à-dire perpendiculaire au plan fixe;

Et la troisième, Z -j- z = o, que cette résultante Z peut avoir une valeur quelconque , pourvu qu’elle soit de signe contraire à la résistance z du plan ; c’est-à-dire qu’en supposant , comme nous le ferons désormais, que le corps soit placé au-dessus du plan des x , j, il faut que la force Z ne soit pas positive ; sans quoi , tendant à soulever lecorpsau-dessusdu plan, elle n’y ferait naître aucune résistance, et le plan ne servirait à rien pour l'équilibre ; de manière qu’il faudrait les mêmes conditions que si le système était parfaitement libre. '

125. Supposons actuellement que le corps s’appuie par un second point B. Prenons AB

Él.KMENTS

pour l’axe des jf, et ie point A pour l’origine.

Le point A fait naitre une résistance z dans l’axe même des z. > Le point B fera nain e une résistance z' dansje plan .r*, et donnera dans ce plan un couple dont le moment sera z'o', en faisant AB = rt'.

Les équations de* l’équilibre, seront donc

L = O, M-hZ'a' = o, N = O.

Çes équations nous font voir que l’équation de condition XL-t- YM -V- ZN = o est satisfaite, ainsi que l’inégalité y X* -4- Y* Z* > o ( puisque les deux résistances z et z' ne pouvant être supposées toutes deux nulles , et étant de même signe, la force Z ne peut être nulle). Les forces appliquées au système doivent donc avoir une résultante unique.

IjCS deux premières équations montrent que cette résultante doit être verticale, c’est-à-dire perpendiculaire aü plan fixe; et la troisième, Z -+- z,r+- z' = O , qu’elle peut avoir telle valeur qu’on voudra, pourvu qu’elle ne soit pas positive.

■ Enfin , si l’on cherche les valeurs des deux coordonnées /> et q du point O où sa direction doit rencontrer le plan horizontal , comme on a (108 )

en mettant à la place des quantités L, M, Z, leurs valeurs tirées des équatious précédentes , on aura

Donc , puisque l’on a ^ = o, il faut que le point où elle rencontre le plan horizontal tombe sur la ligne des abscisses c'est-à-dire sur la ligne qui joint les deux points -d’appui ; et puisque

l’on & P — d ^ à cause de

toujours

< t , ou a P toujours < n', et par conséquent la direction de la résultante doit toujours tomber entre les deux points d’appui A et B.

126. Supposons enfin que le corps s’appuie contre le plan par tant de nouveaux points qu’on voudra, C, l), etc., qui soient tous placés'd’un même côté à l’égard de la droite AB , qui est toujours regardée comme l’axe des abscisses .T. Couservant pour les deux points A et B les dénominations précédentes, noinraons a" et b" les deux coordonnées du point 0; <r Pt ô* celles dn point D,*et ainsi de suite. I-a résistance z" du point C, étant transportée à

KLKMENTS

ifif»

l'origine, donnera deux couples dans les plans verticaux XZ, YZ, dont les moments seront 7,"o", z"b"\ la résistance z" du point I) donnera de même deux couples dans les mêmes' plans , et dont les moments seront z'^i", z*fc", et ainsi de suite. Les équations de l’équilibre seront donc

X=o, \ = o, Z z-H-z^+z'H- Z -t-etc.=o, L — Z" b" - TTb'" — etc. = o,

M -4- Z'n' -t- Z'V H- z^n" 4- etc. = o , N = o.

Ces équations nous font voir d’abord, comme dans l’article précédent , que toutes les forces appliquées au système doivent se réduire à une seule, perpendiculaire- au plan fixe, et dont la valeur ne soit pas positive. .

En second lieu, je dis que sa direction doit rencontrer ce plan dans l’intérieur du polygone formé par les points d'appui A , B , G , D , efc.

En effet, si l’on nomme, comme ci-dessus ^ <j l’ordonnée du point'O, où cette résultante rencontre le plan horizontal ^ comme on a

q = en mettant pour L et Z leurs valeurs

tirées des équations précédentes , on aura

-t- etc.

~ * 4- etc.'

Or, Içs résistances z, z', z", z", etc. , étant toutes positives, et les ordonnées />", b"’, etc., toutes de même sipne , puisque les points G, D, etc., sont, par hypothèse, tous placés du. même côté de l'axe des abscisses, il s’ensuit que l’ordonnée q sera de même signe que ces ordonnées, et que par conséquent le point O sera, à l’égard de la ligne .\B qui joint les deux - points d’appui A et B , du même côté que les autres G, D, etc. Donc, puisqu’on aurait pu prendre pour l’axe des abscisses toute autre droite AG, BD, etc, , qui, joignant deux points d’appui, laisse tous les autres d'ub même côté, on peut conclure que le point 0 doit se trouver, *‘à l'égard de chacune de ces lignes, du même côté que les autres points d’appui, et par conséquent doit tomber nécessairement dans l’intérieur du polygone formé par tous les points d’appui.

Corollaire.

Des pressions e.xerrées par la résultante des forces du système sur les différents points (f appui.

Vil. Ges pressions, estimées en sens contraire, ne sont antre rho.se que les ré.sistanees Z, z', z", z”, etc., dont les points d’appui A,

l68 KLÉMKNTS •

B,C, L), etc., ont actuellement besoin pour l’équilibre. On aura' donc, pour les déterminer, les trois équations :

Z -H Z -H 2' -h Z* -+- z" -h etc. = O,

L 6"z'' - /rz* - etc. = O,

M -+- o'z' -f- n"z" ■+■ a” Z" -h etc. = o.

Mais comme on n'a que ces trois équations, avec cette seule condition que les inconnues z , z', z", z”, etc., doivent être toutes positives, il s’ensuit que les diverses pressions exercées sur le plan demeurent indéterminées lorsqu’il y a plus de trois appuis , et même lorsqu’il n’y en a que trois , s’ils tombent en ligne droite. Car, en supposant que le troisième point C tombe avec les deux autres A et B sur l’axe des abscisses , l’ordonnée b" devient nulle, et l'inconnue z" disparaissant d’elle -même dans l’équation L — b"z" = O , il ne reste plu# que deux équations pour calculer les trois inconnues z , z', z", qui sont encore indéterminées.

On pourra donc, dans ce cas, se donner à volonté l’une des pressions , et, dans le cas général, se donner les pressions de tous les points d’appui, hors trois. On calculera ensuite ces dernières pressions par les équations précédentes; et pourvu que, dans les différentes hypothèses que l’on fera, le calcul ne mène à

aucune pression positive, le problème sera toujours bien résolu.

Remarque. “ - “

i28. Mais si nous trouvons, d’après les principes établis ci-dessus, que les pressions sont indéterminées lorsqu’il y a plus de trois points d«ppui, d’un autre côté, en cousidérant à priori un corps appuyé contre un plan , par un nombre quelconque de points, et tenu en équilibre par uue force normale à ce plan, il nous paraît évident que chaque poiut de contact doit être actuellement pressé , et que, s’il est pressé, c’est avec une certaine force tout à fait deter- ; minée, ce qui serrnt absurde Autrement: et de là résulte une espèce de paradoxe qui ne paraît-**':?.*^ pas facile à expliquer. - '

Gardons-nous d’abord d’en conclure, avec d’Alembert, que la théorie connue jusqu’ici est insuffisante pour résoudre le prohlèmë êh ques- *’

tion; car nous ulloo$ voir que ce problème est indétermiué^par l’hypothèse même que l’on a faite, et que la théorie donne tout ce qu’on peut demander sans se contredii'e soi-même.

lin effet, si l’on fait attention qu’il s’agit, par hypothèse, d’uu corps dont la figure est parfaitement invariable, on peut concevoir les points de contact de ce corps, comme unis entre eux

1 At- .-

l'yo

par un plan parfaitement inflexible, lequel repose sur les points fixes A, B, G, I), etc. Or, loi'sqii'il y a plus de trois pcMt^^Hl'appui , ou seulement trois rpiand ils toisent en ligne droite, il n’est pas difficile de voir que certaines parties des pres«||)ns qu’on supposerait exercées par le plan sur ces points, peuvcmt être imaginées comme se reportant indifféremment des uns aux autres, de manière qu’on ne puisse demander, ni ce qu’elles sont en elles-mêmes, ni sur »pieh points d’appui elles s’exercent de pré- . ^férence, à moins de détruire l'hypothèse de ‘ l’inflexibilité parfaite du plan qui unit les points du corps.

Ainsi {Jig- 37), pour nous faire mieux, com- ’prendre par un exemple, supposons qu’il s’agisse d’un corps appuyé par trois points en • ligne droite, et coqsidérôns ces points conune liés éntrç eux par une verge inflexible qui repose sur les'trois points fixes A, B, G. Quand bien même on saurait que cette verge est actuellement poussée aux trois points respectifs A, B, G, par trois forces normales P, Q, R, parallèles entre elles , on ne serait pas en droit d’en conclure que les pressions exercées sur les points d’appui sont respectivement égales aux forces P, Q, R : car il serait toujours permis de concevoir dans les deux forces extrêmes P

et H, deux parties u et u' cjui ne pressent point du tout sur les appuis A et C. Si l’on prend en effet ces deux parties dar\? la raison'in verse de leurs distances AB et CB au point B, à cause de la roideui* parfaite de la verge, on peut conrcevoir que ces deux forces voiît^presser actuellement le point d’qppui B , conjointement avec la force" Q; de sorte fju’il y a ici une pression indéterminée u -H u'j qu’on peut supposer exister indiffé^mment » ou tout entière .en B, ou , en deux ’partie/ u èt u', sur les points A et C , s*ans qu’on puisse dire ni ce qq’elle est , ni où elle se trouve de préférence, à moins de détruire l’hvpothèse de l’inflexibilité parfaite de la verge qui joint les points de contact du corps.

129. Au reste, cette indétermination singulière est du même genrp que celle que nous avons observée et expliquée au n® 125. Les pressions ou résistances actuelles dont les différents points d’appui ont besoin pour l’équilibre, ne sont indéterminées, dans le cas où il y a plus de trois points d’appui, ou seulement trois, quand ils tombent en ligne droite, «que parce qu’il y a alors des appuis intermédiaires qui peuvent prêter aux appuis placés de part et d’autre certaines parties de leurs résistances; de manière que, par la liaison parfaite de ces

ÉLÉMfcKi;S

appuis, on ne peut plus distinguer leurs résistances individuelles d’aVec celles qu’ils pourraient emprunter iputuellement les uns des autres. ^

• -Et la théorie nous fait voir qué; pourvu que ces points aien): Hes résistances individuelles qui satisfassent ensemble aux tfois équations données ci-deSSus, de quel(]ue autre manière permise par les memes équations, que l’on veuille répartir les forces de pression si^r ces différents points, chacun d’eux trouvera’ toujours., ou dans sa q^sistance propre , ou dans su résistance unie avec celle qu’il empruntera des autres points d’appui , la résistance actuelle dont il aura besoin pour détruire la pression qu’on lui suppose.

Il n’en est pas de même dans le cas de deux points d’appui, et dans celui de trois non en ligne droite : les résistances actuelltes sont déterminées , et doivent l’étre ; car chaque point d’appui se trouvant seul à côté de l’autre , ou , dans le second cas, à côté de la ligne qui joint les deux autres , il est visible qu’il ne peut avoir que .sa résistance propre , et ne pourrait pas eu emprunter des appuis voisins, si elle n’était pas suffisante.