Comme* nn p'eut-totijûurs concevoir

DE STATIQUE. i 8 1

cjuà^ toutes 'ies forces <ie la pesanteur qui. animent les molécules d’un corps, on ait substitué leur résu liante -générale, qui. produit absolument le même effet, on peut considérer le centre de gravité d’nn corps comme un point où toute la masse de ce corps est réunie et concentrée. Ainsi, dans , la solution des -pro* blèmesy si l’on veut avoir égard à la pesanteur , on pourra regarder, chaque -çorps comme réduit à son centre de gravité, qu’on supposera sollicité par une force égale et parallèle à son poids; et combinant ensuite ces nouvelles forces avec celles qui sont immédiatement appliquées au système, on trouvera les conditions de l’équilibre d’après les principes ' donnés dans les chapitres précédente, comme si tous les corps du. système étaient dépourvus de pesanteur.

Il ne s’agit donc plus actuellement que de savoir déterminer les centres de gravité des différents corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

139. Lorsqu’on peut considérer le corps ou le système comme composé de parties dont on connaît eu particulier les centres de grasTté et les poids respectifs, il est très-facile de déterminer le centre de gravite de ce corps ou système-

1 8a ÉLÉMENTS

Car ce ceutre n’étant autre chose que le point d’application de la résultante générale des forces de la pesanteur appliquées à toutes les molécules, on peut concevoir que, pour le déterminer, on a d’abord cherché les points respectifs où sont appliquées les résultantes partielles des forces qui agissent sur chaque corps, et qu’ensuite on a cherché le point d’application de la résultante générale de ces diverses résultantes.

Donc, si l’on connaît déjà les centres de gravité respectifs des 'différents corps, on n’aura qu’à supposer appliquées à ces points des forces parallèles et respectivement égales aux poids de ces corps, et l’on trouvera le centre de gravité du système abVilument de la même manière que l’on trouverait le centre de ces forces !parallèles. .

On pourra donc employer dans cette recherche, ou la composition successive des forces , comme au n° 29 , ou la théorie des moments, comme au n” 86.

Et puisque la distance du centre des forces parallèles à un plan se trouve en divisant la somme des moments des forces, pris par rapport au plan , par la somme de toutes les forces, il s’ensuit :

Que la distance du centre de gravité d’un

Di>ji::....;byCoogl

DR STATIQUE. i83

système quelconque de corps, à un plan, est égale à la somme des moments de leurs poids, par rapport au plan, divisée par la somme de tous les poids : ou ( comme les masses sont proportionnelles aux poids), égalé à la somme des moments des masses , divisée par la somme de toutes les masses; en entendant par le moment d’une masse , le produit de cette masse par la distance de son centre de gravité au plan que l’on considère.

En calculant ainsi les distances du centre de gravité à trois plans quelconques , qu’on pourra supposer rectangulaires entre eux pour plus de simplicité, on trouvera facilement la position de ce point dans l’espace.

140. Dans le cas où toutes les masses du système sont égales, dn trouve sur-le-champ la distance du centre de gravité à un pian quelconque, en prenant la moyenne distance .des centres de gravité de tous les corps à ce plan.

141. Lorsque le plan par rapport auquel on estime les moments, passe par le centre de gra-: vité du système , la distance de ce centre au plan est nulle ; et par conséquent la somme des moments des masses , pris par rapport à un plan qui passe par le centre de gravité du sy'stème, est toujours égale à zéro.

l84 ÉliËMlUNTS'

C’est-à-dire que la soiBme des moracuts des Otasses qui sont d’uu otéoie cété du plao est égale à la somoïc des mometits des m^es qui sont de Tautr^ côté.

Et réciproquement , lorsque la sotnme.dm moments, des niasses, par rapport, à . un plan, est égede à zéro, le centre de gravité du ^stème est dans ce plan. , • ■

Car la distance de ce centre au plan æt nulle.

14S2. Il résulte de là que lû les centres de gravité de tous les corps ‘que Ion considère sont dans un même plan, le centre de gravité du système sera aussi dans ce plan ; et que si les centres de gravité des corps sont sur une même ligne droite, le centre de gravité sera aussi sur cette droite.

Car,' dans le premier cas, tous les corps ayant leurs centres de gravité dans un même plan, les moments de leurs masses par rapport à ce plan sont tous nuis ; la distance du centre de gravité du système à ce plan est donc nulle aussi , et par conséquent ce centre est dans le même plan.

Dans le second cas , tous les centres de gravité étant en ligne droite, si l’on fait passer deux plans quelconques par cette droite, les

DE STATIQUE. l85

centres de {jrarité des différents corps seront à la fois dans deux ''pkus. Le centre de {];rayité du systèni« ]^^ra donc aussi , et par conséquent ne pourra se trouver que dans leur intersection'^ qui est la droite proposée.

Au reste, les deux deraicc«(p couséqueuces que noos venons d’énoncer paraîtront évidentes d’elles-méiiies , eu se représentant que l’on etérebe le centre de gravité du système par lâ composition successive des forces ou poids appliqués aux centres de gravité respectifs des différents corps.

145. Lorsque tous les centres de gravité des corps sont dans un même plan , 'comme le centre de gravité du système se trouve déjà dans un plan connu, il suffit, pour déterminer sa position, de chercher ses distances à deux autres plans. Or , si on les prend , pour plus de simplicité, tous deux perpendiculaires sur le premier , lés distances des différents centimes de gravité à ces deux plans seront les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur le premier. . .

Donc , si dans le plan qui contient les centres de gravite de différents corps , on tire deux droites ou axes quelcomptes non parallèles , on aura les distat1t.es respectives du centre de gravité du sys-

' l86 ÉLÉMENTS

tème à ces deux droites , en pi^enant les sommes respecthies des moments de toutes Jes masses , par rapport à ces droites, et divisant par la somme de toutes les masses.

(Ayant soin de regarder pour chaque droite, comme positifs, tous les moments des masses qui sont d’un même côté de cette ligne , et comme négatifs tes. moments de celles qui sont de l’autre côté.)

On trouvera de cette manière à quelle distance, et de quel côté, le centre de gravité du système est placé à l’égard de ces deux axes; et menant alors, aux deux distances trouvées, deux parallèles à ces axes , le centre de gravité sera à leur intersection même.

t44. Lorsque les centres de gravité de tous les corps sont en ligne droite , comme le centre dé gravité du système se trouve déjà snr une ligne connue, il sufBt, pour le déterminer , de chercher sa distance à un seul plan. Or, si on le prend , pour plus de simplicité , perpendiculaire sur la ligne des centres y les distances des centres de gravité respectifs à ce plan seront les mêmes que leurs distances au point où le plan coupe la ligne.

Donc , lorsque plusieurs corps ont leurs centres de gravité respectifs sur une même droite ^ la-

distance du centre de gravité du ^stème, à un point quelconque pris sur cette droite, est égale à la somme des moments des masses, par rapport à ce point, divisée par la somme de toutes les masses.

'(En prenant avec un même signe tons les moments des masses qui sont d’un même côté à l’égard du point, et avec le signe contraire les moments de celles qui se trouvent de l’autre côté.)

On saura alors à quelle distance et de quel côté le centre de gravité du système est placé à l'égard du point que l’on a choisi, et si l’on porte ensuite de ce côté, et à partir du point, une longueur égale à la distance trouvée , l’extrémité de cette longueur marquera sur la ligne le centre de gravité lui-même. .

145. Qn veut donc combien il est facile de trouver le centre de gravité d’un corps ou système , lorsqu’on connaît ceux des ' différents corps qui le composent; il nous reste à voir comment on obtiendrait les centres de gtavité des corps qui ne seraient pas susceptibles d’une pareille décomposition.

A la vérité , comme on peut toujours regarder un corps comme un assemblage de points matériels qui sont eux-mêmes leurs propres

KLEMËNTS

centres de {gravite, il s’ensuit' qu'on peut leur appliquer la méthode précédente, et qu’on aura (généralement la distance du centre de gravité d’un corps quelconque à un plan , en prenant la somme des moments de toutes les particules de ce corps , par rapport au plan , et divisant par la somme de ces particules, ou, ce qui est la même chose, en divisant par la masse totale du corps. Mais la solution générale de* cette question dépend du calcul intégral ; et l’on en peut voir, dans presque tous les traités de Mécanique, des applications très-simples, et qui n’ont d’autres diffîcultés que celles du calcul intégral lui-méme.

^ Cependant , comme il existe des considéra**tions élémentaires, très-élégantes q[ui conduisent à la détermination des centres de gravité pour la plupart des corps dont il est question dans la Géométrie, nous nous bornerons à, cette recherche, qui remplit l’objet qne nous avons en vue, et qui ne nous écarte point des Éléments.

140. D'après ce qué nous avons dit (157), la position du centre de gravité dans Un corps ne dépend que de la manière dont toutes les molécules de ce coi ps sont disposées les unes à l’égard’ des autres. Elle dépend donc de deux choses: i‘’*'de la fifpire du corps ou de celle

DK STATIQUE. ' , 8y

de l’espace fju’il occupe ; a" tk la densité relative de ses différentes parties. On voit* bien , en effet, que si la figure el le volume restant les memes ^ les molécules viennent à s’écarter les unes des autres dans une certaine partie du corps, de manière qu’elles se rapprochent davantage dans une autre, les forces qui agissent sur «Iles n’étant plus réparties de la même manière, la position de la résultante générale changera, et par conséquent celle du centre de gravité du corps. Ainsi , dans la détermination de ce point, il faudrait avoir égai^ non-seulement i la figure dn corps, maiaene^P^à la loi suivant laquelle la densité varie dans toute son étendue.

Mais si, pour résoudre plus simplement la question, on suppose d’abord les corps parfaitemont 'homogènes, on uniformément denses en tous leurs points, Ij position du centre de gravité ne dépendra pfus que de la figure, et la.recj^rche'du» «entres de gravité deviendra un simple problème de G^métric.

-C’est dans cette. hypothèse^ de corps parfaitement homogènes, que l’on détermine ordinairement le;s cientres^de gravité des lignes , des surfaces et des solides qui sont soumis -à une description rigoureuse, et que l’on regarde comme doués d’une pesanteur uniforme en tous leurs points; et quoique ce prdblèmc -puisse

igo ÉI.ÉMENTS

paraître, au premier coup d’œil, de pure spéculation, il est facile de voir qu’il est, en Statique, ce que la quadrature 'des aires, ou la cubature des solides est en Géométrie. Comme les résultats que la Géométrie nous donne sont d’autant plus exacts dans l'application , que les figures sont plus semblables à • cdles que la Géométrie suppose, ainsi dans la détermination des centres de gravité, on trouvera ces points d’autant plus près des lieux que la théorie leur, assigne , que les corps seront d’une substance plus homogène, plus uniformément répandue, et nrminés par des surfaces plus parfaites. • .

DES CENTRES DE GHÂVITÉ DES FtGUItBk Lettre.

147, Toute figure dans éaguelle il s« trouve un point tel, qu'un plan quelconque mené par ce point coupe la figure çn deux parties parfaitement symétriques, a.son centre de gravité éh ce point, que- l’on nomme ordmdrremént .le centre de la figture.

Eb effèt, si l'on fait passer un plan quelconque par le centré de la figure, conune ce plan la coup^en deux parties parfaitement sy-

métriques , il n’y a pas de raison pour que le centre de gravité , qui est un point unique , et dont la position ne dépend que de la figure , se trouve d’un côté de ce plan plutôt que dé l'autre donc il sera dans ce plan : le centre de gravité devant -donc se trouver à la fois dans tous les plans que l’on pourrait conduire par le centre de figure, sera en ce point même, qui est la commune inlerseotion de tous ces plans.

148. Ü résulte de là, i® que le centre de gravité d'une lignek drqite est au milieu de sa longueur;

3*, Que le centre de gravké de l’aire d>’un parallélogramme quelconque est à l’intersection de ses deux diagonald's , ou au milieu de l’une d’elles;

3®. Que le centre de gravité de la solidité d’un parallélipipède est à l’intersection de ses quatre diagonales, ou au ^Ueu de l’une d’elles.

On pourrait encoVe en çoncluce que le centre de gravité du contour ou de l’esre d’un cercle est au centre de ce oercle; que le centre de gravité de kn surface ou de la solidité d’une sphère est au centre de cette sphère; que celui de là surface'.ou de la solidité d’un cylindre à bases parallèles est au milieu de son axe ; etc.

iy2 ÉLÉMENTS •

Mais on l emai-quera- sqrtout' les trois premiers corollaires sur les centres de pravité de la ligne droite , du. parallélogramme et du parallélipipède , parce que l’on peut regarder ces Bgures comme les éléraente de toutes les^autres.

• Problème I. -

149. Trouver ‘ k centre de e/ravité Ai contour d’un polygone quelconque, et en général d’un assemblage de droites disposées comme qn voudra dans l’espace. . *

On regardera chaque, droite comme conceta- * trée en son centre de gravité, lequel est au miheù'de sa longUeur; et l’on n’aura plus à considérer qu’un assemblage de points représentés , pour lenrrpoids respectîls, par les longueurs des lignes dont ils sont les centres 'de gravité.

On trouvera donc le centre de gravité du système par la composition successive de ces pdid3 , ou par la tbédrie des- motients, comme ir a été dit plus liaut. * • *

159. On pourra souvent, par des «ansidérations particulières, «déterminer les centres de gravité plus facilement 'ame par la méthode générale.

DE STATIQUE. lyj

' S’il s'agit < par exemple’, de trouver le ccutre de ('ravitë du contour d’un triangle , on n’aura qu’à joindre les milieux des trois côtés par trois lignes., ce qui formera un triangle semblable au -triangle proposé; et , partageant les angles de ee triangle en deux parties égales par ^cs droites , ces drmtes jK .eou^eront au centre de gravité cherché. ;

C’èst-à-dire que le centre de gravité du contour d’un triangle n’est autre chose que le centre du cercle inscrit au triangle formé par les lignes qui joignent- les milieux des trois côtés.

Proj}lème II. .

Trouver le centre de tjravUé de l'aire d’un polygone quelconque, et en général d’un assemblage de figures planes et rectilignes disposées comme on voudra dans l’espace.

Tous les polygones pouvant se décomposer en triangles , nous allons voir d’abord comment on trouve le - centre de, gravité d’un 'triangle quelconque. Après quoi, prenant les centres de gravité de tous les triangles xjui composent le système proposé , ntfus n’aùronç plus à considérer qu'un assernblage.de points, donnés de position, et dont les poids respectifs seront représentés par les aires des triangles dont ils Statiqdr P. I 3

1 94 ÉLtMEN ri

sont les centres de gravit^ ; et le problème se

résoudra comme le précédent. -

. J üu centre de gravité du triangle.

152. Soit ABC {fig. 38) le triariffle proposé.: considérons sa surface corhme composée d'une infinité de tranches' pai^lèles à la base BC. Il est visible que la ligu^ droite “AD menée du .sommet A au milieu D'de la base, divisera toutes ces tranches en deux parties égales, l.eurs centres de gravité respectifs seront donc tous sur la droite AD , et par conséquent celui de leur système, c’est-à-dire celui dix triangle,* y sera aussi.

Par un raisonnementtout à fait semblable, on ferait voir que-lç’ centre de gravité du triangle doit aussi se trouver sor la ligne BE qüi serait menée du sommet de l’angle B au milieu E du cAfé opposé AC.

Le centre de gravité devant donc se trouver à la fois sur les deux ligne.s AD , ËE , ■sera nécessairement à lèur intersection G.

Mais si l’on joint DE, puisque les points D et E. sont les milieüx respectifs des côtés CB, CA, la droite DE sera parallèle à AB et’ en sera la moitié. Or, si DE est moitié de AB, à cause des triangles semblables DGE,-AGB, le côté DG sera aussi moitié de son homologue ’AG.

Digili^ed by Googli

Donc , DG sera le tiers de Al) , et AG en sefti

les deux tiers. ■ - . • * ' '

..Doue, Iç centre de gravité de l’aire' ct^un triangle quelconque est situé sur une ligne menée de Fun quelconque des trois angles' au milieu '

de la base opposée, et se trouve au tiers de cette ligne à partir de la base, ou aux deux tiers à fiartir du sommet de F angle. r-,

La démonstration précédente-*est si naturelle •' '

et si simple , que nous n’avons pas cru devoir ' <

l’omettre ici. Ou 'pourrait hii donnèr toute la rigueur possible, au moyen de fcette métbod^i connue, dont les exemples sont si multipliés dans les éléments de Géométrie ; mais le jj|çteur peut y suppléer. • .

Au reste, voici , une- démonstration nouvelle qui ne laisse' l’ien à désirer du côté de l’ex^actitude. .

1^. Par le milieu D de la base BC du triangle ABC (^9. 39), menez ainf deux aufres côtés Fig *9 les parallèles DE, DF, qui- les rencontrent en E et F : le triangle proposé sera décomposé en un parallélogramme AEpI^, et deux triangles DEC, DFB, parfaitement égaux entre eux, et semblables au premier. '

Le moment du triangle ABC , par rapport à .

une ligne quelconque menée dans son plan,

KLÉMENTS

sera donc égal à la somme des moments du pa> rallélogramme et des deujc trianglé&: .

Soit a l’aire d’uo de ces triangles , sera celle du triangle proposé. Donc , si l’on nomme x la distance du centre de gravité de be triangle à la base BC, on aura pour son moment * par rapport à cette ligne.

Soit h la hauteür du triangle ; - sera la dis-

tance du centre de gravité du parallélogramme à la base ; et comnv? son aire est au , son 1110-

•fient sera au 5< c’est-à-dire ah.

Ensuite, les deux triangles BFD, DEC ont viéblcraent leurs centres de gravité à même distance de la base BC ; donc , si l’on nomme x’ cêtte distance, la somme de leurs moments .sera iax'.

On aura donc 4®^ = ah ia.x'\ ou bien , en divisant 'par 4c ,

SI l’on 'supposait ,”avec Althicùède , que ^ dans les triantes semblables , les centres de gravité sont ‘des points semblablement placés'; aloj^, cômmè les dimeqsions' 4“’ ü’îangle. BfD ou DEC sont moitiés de celles du triangle ABC,

on aurait x^=-; et substituant dans l’équation

DE STATIQUE. Iÿ7

précédente , on trouverait sur-le-champ

Ce qui fait voir que le centre de gravité du triangle se trouve placé au-dessus de chaque côté, -à une distance égale an tien, dé la hauteur de l’angle opposé , et que p>ar conséquent il est au point déterminé ci-dessus.

Mais on peut parvenir à cette conclusion sans* aucune hypothèse : car, puisque l’on a trouvé pour le triangle ABC

.T étant la distance de son centre.de gravité à la base BG, et x' la distance du centre de gravité du triangle BFD à sa base BD; en imaginant que l'on fasse , dans le triangle BFD , la même construction que l’on a faite dans le triangle

ABC , si l’on nomme x" la distance analogue à

cellè qu’on a nonunée x', et si l’on observe que la hauteur du nouveau triangle est deux fois

, plus petite que

celle du premier, on aura'

^ il ■ '

Et continuant la même construction, on

Jg8 ' • rlémemts

Iroiivera - • . . , ■ .

etc., etc.,

r*, or*’, etc., désignant les distances des éentres dé gfavité à la base dans les triangles successifs, distances qui diminuent sans' cesse , et dont la dernière peut être rendue moindre que toute 'grandeur donnée, puisqu'elle est toujoui*s plus petite que la hauteur du trianj^e dans lequel on la considère.

On aura donc, en substituant successivement dans la première équation , à la place de x\ r*', .r", etc. , leurs valeurs.

X = d’où X ==

> -1- 7^ -tr 7-7-7 + 1 3 l'iufiui ;

ce qu'il fallait démontrer.

^ • Remarqucj^ • ' '