Soient .trois masses égales ayant leurs
centres de gravité situés aux trôis angles res- 3.S. pectifs du triangle ABC(yïÿ. 38). Le centre de gravité de ces trois corps sera le même que celui du triangle.
> i)E sta'J'KJUK- • ‘ ^y9
Car, pour trouver celui des trois cçrps, il n’y a qu’à, prendre d’abord le centre de gravité de deux quelconques d’entre eux, celui des deux corps B et C, par exemple y lequel est au point D, milieu de BCj ensuite joignant DA, on n’a qu’à diviser cette .droite au point G dans la raison réciproque de a à i .
Or,' cette construction donne aussi le centre de gravité Ju triangle ABC.
11 résulte de là et du n” 140, que la distance du centre de gravité d’un triangle à un plan situé'd’une manière quelconque dans l’espace, est. égale à la moyenne distance de ses trois angles^ au même plan. . . .-r
^ • • • Centre de gravité du trapèze.
155. Si l’on prolonge jusqu’à leur rencontre les deux, côtés du trapèze, on forme deux triangles semblables de mêpie sommet, et qui ont pour bases les deux bases du trapèze ; ét comme la ligne qui va du sommet commun au milieu de la base inférieure passe au milieu de la base supérieure, il s’ensuit que cetleT ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux triangles, et par conséquent par celui du trapèze qui en est la différence. Le centre de gravité du trapèze est donc sur la ligue qui joint le.s milieux .de ces deux bases parallèles : ainsi
il ne rpste qn’à trouver sa distance à l’une on à l’autre de ces bases , ou , si l’on veut , le rapport de ces deux distances.
Nommons y.TÿT|a distance inconnue de ce point à la base inférieure, et H et /> les hauteurs des deux triangles semblables. Si l’on représente par H* l’aire , ou le poids du grand triangle, /j* sera le poids du, petit, et H* — /i* celui du trapèze. Le moment du premier de ces poids, par rapport à la base inférieure,
sera donc H*, le moment du second sera
'■■(5+ H-/,) , et le moment. du troisième,
(H* — /j*).ï. Ainsi, en égalant le premier de ces moments à la somme des deux autres, on aura , pour déterminer .r , l’équation
Si l'on cherche de même la distance^' du centre de gravité à la bUse supérieure, ou si l’on observe simplement que cette distance est formée dfe (H — A) diminuée de a. , on trouvera
' Comparant ^ ces deux équations, membre à membre, efôtânt* d’une part, le facteur commun 3(IT’ — Pt) de l’autre, le facteur corn-
DE STATIQUE. aol
niun (H — /»)*, on trouvera, pour le rapport cherché , ”, :
JP ; y". \ ü ; /«+ aH;
ou bièn, mettant à la place des^hauteurs H- et h des deu.\ triangles, leurs bases B et 6 qui sont dans le même rapport , on aura la prop'ortion
d’où résulte ce théorème : .
Le centre de ijravité d’un trapèze est sur la ligne qui va du milieu de l’une de ses bases au milieu de l’autre , et il coupe cette ligne dans le rapport des deux sommes qu’on trouve , en, ajou- ^ tant d’un côté, à là première base, deux fois la seconde, et d’un autre côté, à la seconde base , deux fois la première.
On -peut tirer de là cette construction trèssimple: prolongez, vers la droite, l’une des deux bases, d'une longueur égale à l’autre ; cl celle-ci, vers la gauche, d’une longueur égale à la première; et menez la ligne qiu joint les extrémités de ces xleux proloügemeftts ; elle coupera celle qui joint les milieux des 'deux hases au centre de gravité du trapèze.
On peut remarquer que la proportion précédente ne dépend point de"la hauteur du. trapèze, màis uniquement du rapport 'des deux
aoa
bases, de sorte qu'elle est la même pour tous les trapèzes possibles de bases proportionnelles.
Si les bases sont éfjales , on a x = j ; ce qui * doit être; car le trapèze est alors un parallélogramme dont le centre est également éloigné rfe ceS deux bases opposées.
Si ’l’urie des bases b devient' nulle, on a J = 2x; et en effet le trapèze devient un triangle dont la base est B , et dont le centre est deux fois plus près de la base que du sommet.
Problème III.
156. Trouver le centre de qravité de la solidité d,’un polyèdre quelconque, et en général, cf uft assemblage de polyèdres disposés comme on voudra dans l espace.
Tous les polyèdres pouvant sç décomposer en pyramides triangulaires; nous allons voir d abord comnveut on trouve le .centre de gravité d’une pyramide triangulaire. Après quoi, prenant les centres de gravité de toutes les pyramides qui composent le système proposé. Ton u’aura plus qu’à, chercher, le centre de gravité d’un 'assemblage de points, représentés, pour leurs poids par les volumes des pyramides respectives dont ils sont les centres de gravité; et le problème se résoudra comme il a été dit ci-dessus] ■ * • . •
DE s•rA'^.lQ^j^:.
% Du cetilre <it‘ ijmvité-dt lu fjjrauiida.
157. ■ Soit ABCD {fiy. 4o)'une pyramidetiu. jo. triangulaire quelconque. Si nous considérons * cette pyramide comme composée d'une infinité de tx’anches parallèles à la base BCD, il est, visible qu’une droite menée de l’angle A en un point quelconque de la base, couperait' toutes <‘e$ tranches et la base elle-même , en des points Neinblablentcnt placés : donc, si cette droite, est menée au centre de gravité I de la base , elle passera par tous les. centres de gravité des tranches parallèles. Le centre de gravité du système de ces tranches, et par conséquent celui de la pyramide, devra donc se trouver sur la droite AI. ^ . .tV
Mais , par un raisonnement tout à .fait semblable cm voit que le centre de gravité dé la pyramide doU aussi se trouver sur la ligne CH qui serait menée de l’angle G au centre dé gravité H de la face opposée : donc il sera bécessairement à l’intersection G de ces deux droites.
Ainsi les deux lignes 'AI et GH doivent né-* cessairementse rencontrer : 'et c’est ce que l’on voit d’ailleurs indépendamment dè la’ cbnsidération du centre de gravité ; car si l’ob tire CI ,*
« ptte droite ira coupér le cètéBl) en son<.ijirlleu I:', puisque le point I est le centre de gravi) é
2o4 ÉLÉaiENTS
du triangle *BCD ; par la même raison , si l'on - tire AH , cette di-oite ira rencontrer BD au même point E, et par conséquent les deux . ' droites AI , CH seront dans un même plan , qui est celui du triangle AEC , et elles se couperont nécessairement.
Actuellement, si l’on remarque que le point I est au tiers de EC , et le point H au tiers de EA (lo2), il est clair qu’en joignant IH, cette droite sera parallèle à AC, et en sera le tiers. Mais si la droite IH est le tiers de AC , à cause des triangles semblcibles IGH , AGC , le côté IG sera le tiers de son homologue GA , ou bien .sera le quart de IA , et AG en sera les trois quarts.
Donc, le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est situé sur une ligne menée de l’un Quelconque des quatre angles au centre de- gravité de la base opposée ; il est au quart de cette ligne , à partir de la base , ou aux trois quarts, à partir du sommet de l’angle.
Remarque.
158. Ou peut aussi appliquer à la pyramide triangidalre une démonstration analogue à celle «que l’on a donnée pour le triangle.
Mais pour cela considérons d’abord le prisme • Fig; 41. triangulaire : soit AhCabc {fig. ji) le prisme.
l»K STXTIQUj!:. .105
Par le milieu E du côté AB de sa base ABC-, conduisons deux plans EFy; EDf/ parallèles aux faces respectives BGcô^ 'AOca. Nous décomposerons’ ce prisine en'deux autres, et un parallélépipède. * -,
Si l’on nomme a la solidité' de l’un de ces deux prismes, lesquels sont parfaitement ^anx, on aura pour celle du prisme proposé, et 2a pour celle du parallélépipède.
Cela posé soit jf. la distance du centre de {gravité du’ prisme total à la face BAa//; on aura pour son moment par rapport à cette face. Soit de même, pour le^eux prismes partiels, x' les distances de leurs centres de gravité au même plan , distances qui sont parfaitement égales entre elles; on aura' aor' pour la nomme de leurs moments. Enfin , nommant • /> la hauteur de' l’arête Ce au-dessus du plan parallèle BAn/>, le moment du parallélépipède
sera évidemment an— ,. ou simplem’ent a/i.' On
aura donc 4«J-' = o/i adaf', et par c’onsé- 4. jr' • .
quent x — ; et si Ion appuque,,mot à
m’ot' toiTt *ce qu'on a' dit, (153), oh, tê6uve;a
Ce qui fait voir que le centre de, gravité d’un prisme «triangulaire est,. ‘à l’égard de chaque
,!o() éléments -V
face ^ au tiers de Ui Fiaiiteur de l’oféte parallèle à cette face ; d’où il est facile de condjire qu’il est sur la lq»ne. G</ qui joint les centres de gravité dès deux bases. Et d’aflleiirs il est-aisé de voir que ce point tombe au milieu I de cette droite Gg, que je nommerai pour .un moment l’axe du prisme. En effet, imaginez le prisme partagé en-uii nombre quelconque de prismes égaux par des plans parallèles à la basé , et soit d la distance du centre de gravité .de l’un de ces petits prismes au milieu de son axe. Il est clair que de centre de gravité O de leur Système ,.et par conséquent celui du prisme total,. se trouvera aussi à la même distance d du milieu l de son axe Gg. Or , quelque petite que soit la longueur d’un prisme, il est évident que le centre de gravité est toujours dans l’intéiieur du solide .' donc, puisque la longueur de chaque prisme partiel peut être rendue moindre que toute grandeur donnée, la distance 01 = d est moindre que tout' ce qu’on voudra , et par conséquent nulle. ' '
1 59. Actuellement , soit une pyramide trian- 4‘‘*gulaire ABCD {fig. 4 Par le point L,. milieu de AC, faites passer la section LMK parallèle à la base BCD,.et la section LEP parallèle à la face ABD. Menez KH.parallèle à EE, èt joignez E-H.
DE STATlQUEi 20"
liB p>’raiuide proposée sera déconiposét* <>n deux prismes équiva|euts,'ruu dont la base est EDH, l’autre dont la base est LEF,.et en deux pyramides triangulaires ALMK, LCEF parfaitement égales entre cllfes, et semblables à la pyramide proposée.
Cela posé, égalons le moment de là .pyramide totale, par rapport à la bjt^.BCD^ à la somme, des moments des deux prismes et des deiA pyramides partielles., par rapport au même plan. . ‘ /
Soit a la solidité de l’ûpc'de ées deux pyramides, Sa sera celle de 'pyramide entière, et si l’on nomme x la distance de .son centre de gravité à la base , on aura Sax pour .son moment. ' . ,
Soit h la hauteur de la pyramide entière ; le prisme dont la base est EDH aura .son ceutre
de gravité élevé, au-dessus'dè Ta Base, de
et comme sa solidité est* son moment' sera'
3a Le second prisme, 'dont la bas»;, est EEF,.>
aura son centre de gravité élevé au-dessus 'du plân BCD de ^.^(158); et comme sa solidité
est 3a, son moment sera 3a g. ' ^
■' Enfin si. l’op nomme x' la hauteur du cePtrç
•J!o8 éléments
de gravité 'de la pyramide LGEF au-deasuâ d« la base BGD , la hauteur du centre de gravité de la seconde pyramide ALMK sera évidemment x' + et l’on aura, pour la somme des moments de ces pyramides ,
ax
ah ,
OU 1- lax' .
On aura donc en réunissant,
O . 3<iA 3<jA 8«r=^+-^
ah
réduisant , ét divisant par 8a , .
Si l’on sup'posait que, dans les pyramides semblables, les centres de gravité sont des points semblablement placés, comme .les dimensions de la pyramide ECEF sont deux fois plus petites que célles de la pyramide proposée ABCD, on aurait
el substituant dans l’équation précédente , op trouverait . ,
Ce. qui nous' ferait voir que, dans toute pyramide triangulaire, le centre de gravité est élevé
DE STATITJÜE. * aoy
uu-d^sus de chaque- face au quart de ia liauteur de l’an{i[lc opposé; d’où il est facile de couclurb qu’il est au point déterminé ci-dessus. Mais on peut parvenir à l’équation précédente sans aucune hypothèse.
En effet, si l’on imagine que l’on ait fait dans la petite pyramide LCEF la même construction que l’on a faite dans la pyi-amide ABCO, en nommant x" la distance analogue à celle qu’on a nommée x', et observant que la hauteur de la nouvelle pyramide n’est que la moitié de la haiiteur A de la première, on aura, comme cidessus,
et continuant la meme consti-uction dans les pyramides successives , on trouvera
etc., etc.,
.r*, x*’', etc., désignant les distances successives des centres de gravité des pyramides à- la base. Or,, ces disUmees diminuent sans ces^e, et deviennent plüs petite’s que toute grandeur donnée, puisqu’elles soqt toujours moipclres
SxATIQrF. P. ■
que les hauteurs des pyramides dans le^uelles on les considère. On aura donc, en substituant successivement dans la première équation, à la place de x', x", x*, etc., leurs valeurs.
d’où l’on tire .
ce qu’il faUait démontrer. '
Remarque.
Soient quatre masses égales dont les centres de gravité soient placés aux quatre angles d’iine pyramide triangulaire : le centre de gravité de cçs quatre corps est le même que celui de la pyramide.
Car, pour trouver celui des quatre corps, il n’y aurait qu’à prendre d’abord le centre de gravité de trois quelconques d’entre eux , lequel est au centre de gravité de la face même 'aux angles de laquelle ils sont placés (1 S4) , et joignant ensuite le centre de gravité du quatrième coqisà ce point, il faudrait diviser cette droite à partir de la face, en i^en réciproque de 3 à r: or, cette construction donne aussi le centré de gravité de la pyramide.
U résulte <ie là que la distance du centre de ^avifé d’une pyramide triangulaire à un plan situé d'une manière quelconqué dans l’espace, est ^ale à la moyenne distance de scs quatre angles au même plan.
Ija même propriété appartient aussi an prisme triangulaire. .
Benumfue y^nérale.
160. Pour déterminer le centre de gravité d’un polyèdre, il n’est pas toujours nécessaire de le décomposer en pyramides triangulaires, il se présente souvent des siêaplifications dont U faut profiter. • -
Par exemple , on trouvera, le èentre de’ gravité d’un prisme quelconque à bases parallèles , en prenant le centre de gravité de la section parallèle aux bases , menée entre elW à égalés distances ; ôu bien , , en prenant le milieu de la ligne qui. joint les centres dé gravité dé ces deux bases.
Cette proposition est sT facile à démontrer directement, ou à déduire de ce que nous avons dk sur lé prisme triangulaire, qii’il est inutile de s’y arrêter.
161.. Si l’on considère un cylindre quelconque â bases parallèles comme un prisme
dont la base est un polygone d'àne infinité de côtés , il résulte de ce que nous venons de dire que le contre de gcavité de ce cylindre est au
milieu -de lallroite qui joint les centres degra-
vité de ses deux bases.
162. On a pu voir précédemment que )e centre de gravité d'une pyramide triadgulaire , est le mêùie que le centre de gravité de la section parallèle à la base , menée au quart de la hauteur du sommet.
Cette propriété s’étend à une pyramide queïcot^ue; car si l’on partage la base en triangles par des diagonales, et que l’on conduise des plans par ces lignes et par le somniet , on décomposera la pyramide proposée en autant de pyramides triangulaires qu’il y a de triangles dans la base. Toutes ces pyramides auront une même hauteur, qui est celle de la proposée, et par conséquent leurs solidités respectives seront proportionnelles à leurs bases ou à des sections parallèles faites à même hauteur. Donc , si l'on coupe toutes ces pyramides par un plan parallèle ay plan de leurs bases , mené au ^art de la hauteur du sommet commun , poisque leurs centres de gravité respectifs sont les mêmes que ceux -des sections triangulairès correspondantes, et que leurs solidités ( ou leui-s poids)
sont • proportionnels à ccs sections , il s’ensuit que le centre de gravité du système ces pyramides est le même que celui de tous les triangles on du polygone qui résulte de leui' assemblage.
Mais, si l’on tire une ligne droite du sommet au centre de gravité de ce polygone , cette droite ira passer au centre de gravité de la- base, et sera côupée par le plan du polygone aux trois quarts de sa longueur en partant du sommet , ou au quart, en partant de la base. ' '
163. Donc, le centre de gravité d’une pyramide à base quelconque , est sur la ligne menée du sommet au centre de gravité de la base , au quart de cette ligne en partant de la base , ou aux trois quarts en partant du sommet. . ■
lË^d'. En cousidércUit le cône comme une pyramide dont la i)ase est up polygone d’une infinité de. côtés, on-voitqüe le centre de gravité d'un côpc à base quelconque est sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart de cotte ligne à partir de la base, ou aux trois quarts à partir du sommet du cône. /
Centre de gravité du tronc de fiyramide.
