On voit d’abord que le centre de gra

■ Digilized by Googlq

vite tï’un tronc de pyramide est sur la ligne qui joint .les centfes de gravité de ses deux bases car supposez rétablie la pyramide entière dont on’ a retranché une pyramide semblable,- .par une section parallèle à la base, pour former le tronc dont il s’agit. Gomme la ligne qui va du sommet au centre de gravité de l’une des bases passe au' centre de gravité de l’autre, U s’ensuit q«ie cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux pyramides Semblables , et ÿar cônséquent par celui du tronc qui en est la différence. Ainsi il ne reste qu’à trouver la distance de ce point à l’une où à l’autre base. Ou, si l’on veut, le rapport de ces deux distances.

Or, soit a: la distance de ce centre à la base inférieure, et nommons H et h lés hauteurs des deux pyramides semblables. Si l’on représente par H* le Volume ou le poids.de la grande pyramide, /j’ sera lé poids de la ptetite, et H* — /i* celui du tronc :.'et les trois moments de ces poids par rapport à la base' inférieure

seront ^ ^

Donc, en. égalant le premier de ces moments à la somme des deux autres, on {lura, pour déterminer .r , Téquation

'4(ID - = H’ - 4/.“H -h 3/i* ,

DE STATIQUE. ai5

dont he premier membre est divisible une fois^, et le second deux fois par ( H — h) , qui est la hauteur du tronc. • ' ' • ^

Si 1 OU' cherche de même la distance j du centre de gravité à la base supérienre , ou si l’on observe simplement que y est composée de H — h diminuée de or, on trouvera l’équation

dont lé premier membre est divisible de même par H — A, et le second par (H — /i)*.

Comparant donc ces deux équations, et sup- ' primant les facteurs communs, on aura, pour le rapport cherché , x ; : H* + aHA -t- 3 A* ; A* + aAH + 3H* : ou bien, comme dans les pyramides ou le» cônes semblables, les bases sont proportionnelles aux carrés des hauteurs ; si l’on met pour H’ et A* les deux. bases B et A du tronc ,. et par conséquent pour HA une base moyenne géométrique entre les deux, on aura la proportion

’ x: j; : B -I- 2 -t- 3A;6 -t- 2^Éh -f- 3B;

d’où résulte ce théorème ;

Le centre ^de gravité dun tronc de cône ou de pyramide est sur la ligne qui và du centre de gravité de l’une des bases au cehtre de gra-

2i6 * ÉLÉMENTS

vUé fie l’mUte; et il ceupe cette ligtte dans le rapport des 'deux sommes (fti'on twuve,. en pj-enant d’un jcàlé : une fois la première base, deux fois la moyètmc yrométrUpie entre cellfxi et la . seconde, et trois fois la seconde; e{ ^'wi autre d)té, dans l'ordre inverse-, une fois la seconde base, deiLV fois la moyenne et -trois fois la pre- . mière. . . . ■

Au reste , on voit qu’il nVst pas nécessaire ici de mesurer ces bases (dont la quadrature ponrraît être longue , ou même assez difficile* dans le cas d’uOe base courbe) , niais qu’il suffit d’avoir trois quantités qui leur soient proportionnelles, et par conséquent de prendi'e dans lés deux bâses semblables du tronc proposé, deux lignes homologues A et de faire les carrés'A* et a*, et le rectangle An qui sera moyen géométrique

cnlré eûx. • < ‘ »

Gn peut remarquer que, dans la proportion précédente , lé rapport de .r à- y ne dépend point de la' hauteur du .tronc, mais- uniquement du rapport des bases, eLque,- par conséquent, U est le même pour tous les troncs possibles de; bases proportionnelles.

Si les deux bases du tronc sont égales, la proportion donne x = j ; .et en effet le solide devient aloi-s un prisme ou un cylin4i'e doql le centre est également éloigné des deux bases.

DK statique.* ^ 217

Si l'ane des bases b est nulle, on a pour la distance jr du centre à l’autre hase B , 3jt : et en effet le tronc dont il s’agit devient alors une pyramide ou un cône, dont le centre est trois fois plus près de la base que du sommet. * »

On pouiTiut multiplier les exemples, mais ce que nous avons dit suffit pour l’objet que uous > nous sommes proposé. Nous terminerons ce cba- *. *. '•*.

pitre par^quçlques propriétés remarquables des / centres de gravité.

Propriétés généraics ttu rentre fie gravité. f