Lorsque des forces P, Q, JR, 8, etc

{jig. 43), dirigées. comme on voudra- dans l’es-Jnc- 4î. pace, se font équilibre autour d’un même point A , on sait que ces forces, estimées suivant une droite quelconque AX passant par ce point, . doivent aussi se faire équilibre.

Donc, si ces forces sont représentées par les parties AP, AQ, AR, AS, etc. , de leurs directions, la somme de leurs projections Ap, Aq, Ar,

As, etc., sur l’axe AX, doit être égale à zéro; en comptant comme positives les projections qui tombent d’iiU mémo côté du point -A y et comme négatives celles qui tombent de l’autre

. cAté. Mais si l'oû menait par le point A un plan MN perpendiculaire à AX, les projections Ap, Aq, Ar, etc.% exprimeraient les distancés des extrémités des forces au plan MN ; donc , puisque leur somme est nulle , la moyenne distance de ces points au plan MN est aussi nulle.

Donc , lorsque tant de forces que ton voudra sont en équilibre sur un point, ce poiipt est le centre de gravité de corps ou points massif égaux qui seraient placés aux extrémités des lignes qui représentent les forces en grandeurs et en di~ rectioni.

Et réciproquement, si l'on considère un assemblage quelconque de masses égales ^ et qu’on mène de leurs différents centres, des lignes au centre de gravité dû système , i il est 'visible que des forces représentées en grandeurs et en directions par ces lign^, se feraient équilibre entre elles. ‘

Car la moyenne distance des extrémités de ces forces à un plan quelconque passant par lè centre de gravité,' serait nulle; la somnte de ees forces estimées suivant un axe^quelconqne .passant par ce point serait donc nulle aussi, et par conséqitcnt il y aurait équilibre.

On voit par ià quo si troisforces sont en équilil)re'sur un point, t*c poidt est le centre de

gravité du' triangle formé par les droites qui joindraient les extrémités des lignes qui représentent ces forces en grandeurs et en directions ; car Ic'centre de gravité du triangle est le même que celui des trois corps égaux dont les centres seraient placés aux. trois angles.

Et de même, si quatre forces sont en équilibre autour d’un point, ce poiut est le ceirtre de gravité de la pyramide triangulaire' formée par les six droites qui joignent les- extrémités des lignes qui repi*é$entent les quatre forces en grandeurs et çn directions. ' •

Et réciproquement, il y a équilibre cEdre trois forcés exprimées par les distauce^des trois angles d’un triangle quelconque, aO centre de gravité de ce triangle;* et de mêmC^. entre quatre forces représentées par tes distances des quatre coins d’une pyramide triangulaire quelconque,, au* centre de gravité de cette pyramide.

Mais voici tuAc conséquence plus générale: si l’on suppose que toutes les molécules égaies d’un corps de ligure quelconque soient attirées vers un mêm’e point par des forcés proportionnelles à leurs distances à ce point , et qu’il y ait équilibre, ée point sera néfcessaireraent lecén-r tre de gravité du. corps. '

Et réciproquement , si le point vers lequel

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toutes les molécules sont attirées pi^portionnellement à leurs distancés, est le centre de gravité du.cocfîs, il y aura équilibre , et le corps ne pourra prendre aucun mouvement en vertu de ces attractions.

C’est le cas de la terre supposée spbénque et homogène; car, daus la loi de Newton V- si une molécule située au dehors du globe est attirée en raison inverse du carré de sa distance atf centre, on trouve que, dans l’intérieur, chaque -molééide pèse vers le centre en raison de la simple distance. Ainsi toutes les forces de la gravité se font équiKbi'e autour du, centre de la terre. ... " .

Au reste, je ' .ne donne ce coroHaire .que comnte le résultat njathéiltatique d’une simple hypQtbèse, et non pas comme une prciive de l'équilibre de la terre en vertu -des différents poid^ de toutes ses parties ; car if est. manifeste que cet équilibre a lieu dans la nature, mais par une autre raison générale qui ne dépend ni de la. proportion ni delà direction des forces'de la gravité. Et en. effet , si le poids de chaque parti* culc de la terre vient de l’aUTactibn que toutes les autres c.\ércent sur elles ; comme , entre deux paTiicuIes égales, l’action est nécessairement égalé et réciproque , il .s’ensuit que le poids de chaque particule est la résultante d une infi-

mté de forces dont chacune a son égale et contraire dans le système, et que par conséquent toutes ces résultantes ou tous ces poids doivent se faire équilibre entre eux, quelles que soient d’ailleurs et la forme et la constitution de notre globe, et .même la loi d’att9*action qui pourrait exister entré les partie de la matière. . , ■

Désignons par- M -t-i le nombre 4es forces P* Q» H » -S, etc., qui se font équilibre autour du point A , et considérons tonjeurs leà M -4- î corps ou points massifs égaux placés aux extrémités des ligues- qui représentecit ces forces!

De .point A étant le centre de gravité de tons ces cOrps, il est clair que si la.H^e'PA', qni va de l’ûn d'eux au point À, est prolongée d tirie quantité AC égale à la M* partie de sa longueur , le point G si^’a le centre de 'grayité des M antres corps. Mais toutes les forces P, Q', R , S, etc., étant en . équilibre , l’une d^eiiès P 'est égale et directement opposée à la résultante des M antrës Q, R, S ,’ etc. Donc eit a cës théorèmes ;

I “. La régùltànte de M forces représentées par autant de lignes qui parlent d 'un même point A est dirigée de ce porni Vers ‘le centre de gravité G dè M corps égaux 'qt^ on supposerait placés Otix eX~

a22 ÉLÉMENTS

trémités de ces Ugves; et la yramlem- de cette résultante est représentée par M fois la distance AG àu point d’application de ces forces à ce commun centre de gravité.

On peut conclure de là que , si les molécules égales d’un corps ou système de figure quelconque s’attirent en raison de leurs distances mutuelles , chaque molécule du corps pèse vers le centre de gravité eu raison de sa distance à ce centre. Car, en représentant les forces d’attraction par les distances mêmes qui séparent les. M points égaux du système , il en résulte pour chacuu d’eux -ime attractiou totale , représentée par M T- f fois sa distance au centre de gravité des M — i autres, ou , ce qui est la même chose, par M fois sa distance. au. centre de gravité des M points qui composent le système entier.

On voit encore qire, dans cette loi d’atttaction des corps de figure quelconque agiraient exactement les uns sur les autres comme si leurs massés étaient réduites à des points, et se trouvaient, pour ainsi dire, coucentrées dans Ipui’s propres centres de gravité j ce qui, dans la loi de New.tod, ne peut avoir lieu, que pour des sphères liomogèneç , ou pour-des çorps composes de différentes couches sphériques dont chacune serait d’uuc deusîté uniforme. ‘ '

2“. Si l'on eoHsidère M corps égaux disposés entre eux comme on voudra , leur centre de gravité G peut se trouver en menant de ces corps autant de lignes à un point quelconque A de l'espace, composant entre elles toutes ces lignes à la manière des forces , et prenant , 4 partir du point A , ^ M® partie , de la ligne résultante.

Si l’on suppose que le point A change de position dans. l’espace, les forces représentées par les lignes qiïi vont des corps à - ce point changeront de grandeurs et de directions ; mais les résultantes de ces divers groupes de forces concourantes ne cesseront pas dé passer par le même point G : et il est évident que la même chose aurait lieu si', le point A restant, fixe > OQ faisait varier d’une manière quelconque la position .du système.

Donc ce point G, qui dans les.coips pesants est le centre des forces égales et parallèles que l’on suppose venir de^ la gravité , est aùssi le centre des forces qui seraient conyergerües vers un point quelconque A de l'espace, et proportionnelles aux distances des molécules à ce point. ■ ' '

Si donc le centré de gravité d’un coips est fixe , le corps souinis à de telles forces convergentes.sera en équilibre dans toutes les situations qu’oh voudra lui donner autour de ce point

224 ÉLÉMKNTS

fixe. Ainsi, comme au de<ians de la terre suppos«;c’ spliérique et homogène,'* les molécules pèsent vers le centre en raison des simples distances, il s’«i8uit que, dans l’intérieur du globe, si un corps est soutenu par son centre de gi-a vite, il réstera on équilibre autour de ce point dans toutes k» situations. Mais il n’en sera plus de même au-dessus du globe, où l’attraction devient réciproqîae au caVré de la .distance; et si le corps, ‘par exemple, est un cylindre droit soutenu par le milieu de son axe, il ne pourra être en équilibre que dans la * position où cet axe' est horizontal oit perpendiculaire à IliorizAn.

Comme, dans la nature, les forces de la gravité ne sont, ni 'exactement parallèles, ni -exactement convergentes, ni dans les rapports précis qü’on vient de dire , on voit qu’à la rigueur U n^. a point dans un corps pesdnt de vrai centre de gravité, je veux dite , de point unique autour duquel les forces de 'la graVité se contre-balMcentpourtoutesles situàtions possibles du êorps^ Mais dans les corps de peu d’étendue que nous . considérons sur la terre, le point que nous avons déterminé jouit à très-peu près de cetté propriété, et l’erreur est insensible. • '

UE STATK^tK. .

Tout ce qu'on vient de dire de plusieurs points massifs é{jaux et des forces représentées par leurs distances à un même point de l’espace , s’applique naturellement à un système de points ou corps inégaux, dont les masses seraient ni, m', m", etc. ; car il suffit déconsidérer chacun de ces corps, tel que m, comme un groupe de ni points égaux , et de prendre pour la force appliquée à cc corps , m fois la distance de son centre au point dont il s’agit.

Ainsi, en nommant r, r', r", etc., les distances des centres des corpi ni , m\ m", etc. , à ce point ou foyer commun A, et faisant m + etc. = IVf, on peut dire que le centre de gravité G de tous ces corps se trouve sur la direction de la résultante des forces m'r, m'r', m"r", etc. et à la M® partie de la ligne qui la" représente.

Nommons R cette distance du centre G au point A : x. Y, z les trois coordonnées rectangles de G par rapport au même point; et soient de même a, j, z; x', y, z', etc., les coordonnées de m, m', etc. Les forces mx, mj, mz; m'x', m'y\ m'z' , etc. seront les composantes des forces mr, m'r', etc. ; et Mx, Mv, Mz, celles de

Statiqu* P. ■ ' l5

ia résultante Mu. On aura donc

Mx = m.v -h/nV -1- 4 etc.,

My = mj + m'y 4* »u"y' + etc.,

■ Mz = mz -t- mV + m"z" + etc.

Faisant les carres, ajoutant, et observant qu’on a X* -+■ Y* -h z* = R®,

etc. ,

on trouvera

M*r® = -H in'^r'^ 4- m"*r"^ 4- etc.