etc

Au lieu du terme ;jmm'(a-x' 4-^^ 'V :s'), on pourrait mettre, comme on l’a vu n° 113, le terme amr.m'r' cos ip ip étant l’inclinaison mutuelle des deux lignes r et r', et ainsi des autres ; d’où l’on tire en passant ce théorème connu :

Le carré de la, résultante de tant de forces 'qu'on voudra appliquées sur un point est égal à la somme'des carrés de ces forces, et des doubles produits quoH peut faire en les- multipliant , deux à deux, l'une par l’autre et par le cosinus de leur inclinaison mutuelle.

On peut encore transformer chaque terme

imm' {xx'-^yy'-\- zz') d’une autre manière; car, si l’on désigne par a la distance de m à m', on a a» = (x - X')* -K (7 - yy H- (2 - 2')»,

et par conséquent^

2 (xx' -\-yy' ■+■ 2z') = r* + r'* — a“ ;

on a de même, en normmant |3 la distance -de m à m", ■ ■ '

2(xx^'+yf -h 22") = -h r"’ - /3*, ' '

et ainsi des autres. £n substituant ces valeurs , ou aura cette nouvelle expression de la résultante Ma, ■ .

M*r* = -f- ’-f- ■+■ etc. .

-H mm'’(r* -H r'* ‘ — a* ) •+■ etc.

. H- mm"(r* + r"*— 13*) H- etc. f + etc. ' '

Or, dans le second menjJbre de cette équation, r* est multiplié par m* mm' ■+■ mm" •+- etc.\ = m (m -h m' -f- m" -f- etc. ) = m M ; le carré'/-'* est multiplié de même par m'M, etc.; donc enfin, en réduisant’, on aura' cette équation remarquable:

Mb* = M/(mi-*)’— y'(mrB'a*)j

où le signe f{mr^) indique la somme des produits des masses par Jes carrés des distances de leurs Ceiitres au point A ; et le signe y(mm'a*)

la somme de leuiS produits deux à deux par les carrés des distances mutuelles de ces centres.

Par cette formule , qui ne contient plus que les distances mutuelles des corps, et leurs distances à un point quelconque A de l’espace, on peut trouver à quelle distance R de ce point A est situé le centre de gravité G du système ; de sorte qu'en cherchant ainsi cette distance par rapport à trois points donnés, on aurait la position du point G dans l'espace.

Si le point A change de position , les distances B et r, r', r',', etc. varient; mais les distances mutuelles a, .j3, y\ etc. , des différents corps ne changent point par hypothèse, et le terme f(mm'u*) est coi^tant: donc, puisque l’équation précédente nous donne

M/(mr») = fimm'a}) 4- M»R»,

il s’ensuit que le poiut A de l’espace pour lequel y(mr^)'a la plus petite valeur est celui pour lequel on a R = o , et que par conséquent ce point est le centre de gravité G du système.

Ainsi le centre de gravité d'un sy'itème de corps jouit de cette propriété, que la somme dés prôduits des masses pür les carrés des distances de leurs centres respectifs à ce point est un minimum, c’est-à-dire est plus petite que pour tout autre point de l’espace.

(^uaut à cette valeur minimum de /"(mr*), on voit, par l’équation ci-dessu.s où l’on fait R z= O, qu’elle est égale à la somme des produits qu’on peut faire eu prenant les masses deux à deux , les multipliant l’une par l’autre et par le carré de leur distance mutuelle , et divisant le tout par la masse entière du système; ce qui donne un -second théorème qui peut être utile dans plusieurs occasious.

$i le point A , en variant de position , reste toujoui-s sur une sphère décrite autour du centre dé gravité du système, R est constante, et par conséquent y*(;>ir*) ne change point, quoique lés distances individuelles r, r’, r", etc. , varifent par ce, déplacement du point A ; et il èn serait de même si, le point A restant fixe, le système tournait d’une manière quelconque autour de sou centre &.

Le rentre de (jràvilé d'un s^'stème .jouit donc encore de cette propriété, que si l'on fait touriner comme on 'voudra lé système autour de ce centre, la somme des produits des masses par les carrés de leurs distances à un point fixe quelconque reste toujours la même.

Si l’on suppose, comme nous l’avions fait . d’abord, que toutes les masses m, m', m", etc. , soient égales entre elles et à l’unité, M.en marque le nombre, et l’équation pi-écédente

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23o éléments

devient

formule plus simple , et qu’on appliquerait également à tous les systèmes possibles , en imaginant que les différents corps y soient tous divisés en parties égales.

Dans le cas de n = o , on a M f{r* ) — /(a*) , d’où l’on tire ce théorèftie.de Géométrie :

La somme des carrés des distances mutuelles de M points égaux, est égale à M fois la somme des carrés de leurs distances à leur commun centre de gravité.

On voit par là que la somme des carrés des six arêtes d’une pyramide triangulaire est égale à quatre fois la somme des carrés des distances des sommets au centre de gravité de la pyramide ; car ce centre est le même que celui de quatre corps égaux placés à ces, sommets ; etc. , etc. ;

Dans ce qui précède, on n’a considéré qu’un système invariable de figure, c’est-à-diré dont les points sont liés de inanière qu’aucune de leurs distances mutuelles ne puisse changer. Mais on voit encore ici que, si la fgure du système était variable suivant celte condition (pie a somme des carrés des distances mutuelles des difféients points fit constante, la somme des

carrés de leurs distances au centre de gravité demeurerait aussi constante, et réciproquement.

Maisje passe à d’autres propriétés des centres de gravité. •

167. Soit une courbe plane quelconque ABC (^9., 44)» tourne autour d’un axe PZ situé Fi'g 44. dans sou plan, de maniètx: que tous, les points de la courbe demeurent toujours aux mêmes distances de cet axe; cette courbe engendre une surface que l’oa nomme surface de révolution.

Pour, en déterminer l’aire, on peut -remarquer que. chaque 'élément ds de la courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont l’aif| est égale, au côté ds multiplié par ia circonférence du cercle que décrit son milieu, ou son centre de gravité autour de l’axe PZ.

Donc, si l’on suppose tous ces éléments égaux, la surface entière .sera égale à leur somme multipliée par la circonférence moyenne entre ■' celles que décrivent tous leurs centres de gravité. . • .

Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points à l’axe de révolution , ou bien (140) la distance

du centre de gravité de la courbe au même axe ; donc on peut dire :

Que C aire d une surface de révolution est égale à la longueur de la génératrice nuikipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de taxe de révolution.

On voit de la même manière que si plusieurs courbes situées dans le. même plan tournent autour d’un axe situé dans ce plan, la somme des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de leur système. •

Mais il faut observer que , loi-sque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d’un même côté de l’axe, l'expressiôn précédente ne donne plus que la |pmme des aires engendrées par les parties qui sont dHin côté de cet axe, moins la somme des aires engendrées par les parties qui sont de l’autre côté.

On pdüt appliquer aussi la théorie des centres de gravité à la cubature des solides de révolution ; et il n’est pas difficile de voir que le uo- Ittme d'un solide de révolution est égal à l'aire de la section génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de l'axe fxe.

En effet , si l’on considère un rectanglè bcde [fig. 45) qui tourne autour de l’axe PZ parai- Fig. 45. lèle à l’un de. ses côtés be, il est clair que le solide engendré par ce rectangle est égal à la différence de deux cylindres de même hauteur cd, et dont l’un a pour rayon la distance ca du côté cdy à l’axe fixe , et l’autre, la distance ba du côté 6e, au même axe. Ce solide est donc exprimé par (crac — ®a6)cd, en nommant ts le rapport de la circonférence au diamètre. Si

l’on met cg — cb , à la place- de ab, l’expression

précédente devient ts{2oc x 6c — 6c) cd, ou ac — c’est-à-cUre égale ad

rectangle 6c(/e,' multiplié par ia cirçonférence décrite d'un rayon moyen ‘ entre les rayons ca et ba , ou bien égale à la distancé du centre de gravité du pai'allélogrammé à l’axe de révolution.

Donc, si Ion conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de petits rectangles égaux, on pourra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à l’aire dé la section ZMN , multipliée par la circonférence moyenne entre toutes cèUes que décrivent leurs centres de gravité autour de l’axe. Mais cette. moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance

de tous ces points au même axe, ou la distance du centre de gravité à cet axe ; donc , etc.

On pourrait voir encore, par un raisonnement à peu près semblable au précédent, que, si une surface plane terminée par une courbe quelconque se meut dans l’espace de manière que sou plan suit toujours (au même point) perpendiculaire- à une courbe quelconque à double courbure, le Solide engendi'é est égal à l’aire de la surface génératrice multipliée par la longueur de la courbe que parcourt son centre de gravité.

I Mais nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette-proposition,que l’on j)ourrait déduire aussi bien que les précédentes des formules connues pour les centres de gravité; nous ne ferons même aucuue application particulière de cette théorie aux surfaces et aux solides dont ou a immédiatement la mesure en (Jéométrie. Nôtre seul but était de montrer ce rapprochement remarquable de considérations qui paraissent d’abord étrangères entre elles, mais qui s’enchaînent comme toutes les questions soumises aux Mathématiques, et-se fondent , pour ainsi dire, les Unes dans les autres, lorsqu’on écarte un instant et les idées 'et les •noms que l’objet particulier de chaque question nous rappelle.

DK STATIQUE.