Dans le cas de l’équililpre, l’appui n’est

pressé que par les deux forces P' et Q' qui y sont immédiatement appliquées; car, les deux couples (P, — P), (Q, — Q) étant en équilibre d’eux-rmèmes, c’est-à-dire même en supposant que le levier nesoit pas soutenu, il est clair qif’ils ne peuveût rinllement charger le point fixe. . .. '

Ainsi,' la pression qu’éprouve le point d appui est absolument la même que si lei deux forces P et Q s’y transportaient parallèlement d elles-mêmes, sans changer de grandeur ni de sens.

172. Si l’on achève sur les côtés FP*, FQ' qui représentent les forces P' et Q', le parallélogramme FQ'RP', là diagonale FR repré- ^ntera donc la charge' R de l’appui ; et par conséquent, si la résistance de cet appui n’est pas indéfinie, on pourra juger de quelle résistance il doit être capable, pour'n’être pas entraîné par l’action des forces P et Q qui srfllicitent le levier.

DK STATIQUK. 2^3

Gomme les foVcts P et Q' sont parfaitement égales et parallèles aux forces respectives et Q, et (le m'ême sens, les trois côtés et les trois anjjles du triangle FRQ', ou du triangle FRP', représentent les six choses que l’ou peut considérer dans lérevier, savoir : les deux forces Pet Q, la charge ïf de l’appui, et les inclinaisons mutuelles des directions de ces trois forces. ■ . • •

Donc, si l’on conjiait trois quelcoucjues de ces six choses, pounii qu’il y entre la grandeur de l’une des forces P, R, on pourra trouvôr les trois autres, de la même mamèce que l’on résoudrait le triapgle FQQ'. '

173. On observera cjue-toiit ceque noos avons dit a lieu quelles que soient la figure levier et les dispositions mutuelles des fortes P et Q, et du point d’appui.

Si les forces P et Q {^fuj. 47) sont parallèles, on peut mener du point fixe une perpendiculaire commune IH sur leurs directions, et ces deux forces devront être en raison réciproque des parties FH et FI, coipprises entre leurs directions etl’appui.-

I^a charge de ce point sera égale à la somme des forces P -4- Q , ou à leur différence P — Q, selon qu’elles seront toutes deux- de même

Fie- 47

-sens (^9. 4?) ï *0“ <1® contraires (yîÿ. 48).

lorsque le levier est droit, les parties HF et FI sont proportionnelles aux.'pârties AF et BF , qui sont les distancés des points d'application des forces au point d’appui distances comptées sur le levier' lui-même , et que l’on nomme proprement les bras de levier ; et par conséquent , daûs l’équilibre 'du levier droit , les forces sont réciproques à’ leurs bras • de levier.

.174. Si l'bn veut considérer l’une des deu^t farces P et Q, la force P, par exemple, comme cqlle qiti tend à donner le moüvemént à la màcbine, et que l’on nommera la puissance, et l’autre force Q, comme l'effort qu’il faut vainctt, et que l’on nommera 'da résistance, on pourra distinguer plusieurs espèces de leviers, suivant la place qu’occupe le point d’appui F , relativenient à -ces deux forces'.

Si l’appui tombe entre -la puissance et’ la résistance, on aura le levier de la première espèce Fig, 4-. 47), où la puissance a d’autant pkis'd’avan-

tagç, que son bras de levier AF est plus long.

Si l’appui laisse la résistance Q entre lui et la puissance P, on aura le levier dè la seconde Fig. 48. espèce {Jig. 48)', où la puissance a toujours de l’avantage.

Diyiîj/tKj by Coogic

Eiifiu ,• si la puissance tombe entre le point d'appui et la résistance, on aura le leyier de la troisième espèce {fig. 4g), où la puissance a Fig. 49 toujours du désavantage.

Mais ces différents leviers reviennent tousau même sous le rapport de l’équilibre. De quelque manière que la puissance et la résistance' soient disposées entre elles et à l’égard du point d’appui, si on les transporte toutes deu.x parallèlemeüt à elles-mêmes en ce point, il faut toujours que les deux couples qui en naissent soient équivalents et contraires * ainsi les distinctions précédentes sonf 'inutiles dans la théorie, êt ne peuvent servir que dans Iç discours. . . ■ ' .

175. Supposons abtuellemeut que le levier, soit sollicité par un nombre quelconque de puissances P, Q, R, etc. (fig-. 5o), toutes situées pig. 50. , dans un même plan avec le point d’appui F. En abaissant de ce point des perpeiidiculaires FH,

P'I,’ FK , -etc. , sur leurs directions, et considérant chaque force P comme transformée en une autre égale, parallèle et de même Sens, • appliquée en F, et en un CQüpIe (P, — P), qui a pour bras de levier la* distance FH de cette force appoint fixe, on verra, comme ci-dessus, que la j'ésultaote de toutes les forces tran^por-

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■î^6 Kr.ÉiVUiWTS

téesj^ur le. point Hxe est toujours détruite par sa résistance, rouis que le :> couple l’ésultQnt doit être nul de lui-roéme pour l’équilibre, comuie si la vei'jje était parfaiteraeut libre : d’où l’on conclura que la somme des moments P X FH , Q X fi , R X .FK, etc., doit être égale à zéro , en comptant comme positifs tous les moments des forces qui tendent à ftiiré tourner dans un sens, et comme négatifs les moments qui tendent à faire tourner dans Iç sens contraire.

On trouvera aussi que* la charge du point d'appui est absolument la même que si toutes les forces s’étaient transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point , sans changer dje grandeur ni de sens.

176. Si les forces P, Q, R, etc., agissaient dan» des plans différents , on verrait de la même manière qu’en transportant toutes ces forces parallèlement à ellés-mènies au point fixe, tous les couples qui en proviennent doivent donner im ' couple résultant nu^ de luimême, ou doivent être en équilibre entre eux.

Mais pour exprimer cette condition , il faut ici trois équations qui expriment que la somme des moments des' forces , estimés par rapport à trois axes qui se croisent dans l’espace an point

d'appui , soit nulle d’elle-ménie à l’égard de chacun dé ces axes (BSy , . .

Sur quoi l’on peut observer que les trois ^xes peuvent être inenés d’ane manière quelconque par le point fixe,; pourvu qu’ils ne surent pas dans un même , plan ; ^ car les trois équatiou.s précédentes n’assureraient pas alors l'équilibre du corps. .

Puisque les couples qui naissent des forces transportées au point -fixe doivent être en éqxii-* libre d’eux-mêmes, il s’ensuit que les forces appliquées aux divers points du levier- doivent se réduire aux mêmes forces, mais réunies parallèlement à elles-mêmes^ au point d’appui ; et par conséquent .on peut exprimer' la loi géniale de -l’équilibre du'levier, en disant que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le poiùt fixe : proposition qui paraît • assez évidente dlelJeinême et dont nn part ordinairement' comme d’un axiome, pour arriver aux conditions précédentes (116 à 118).

■477. Jusrju’ici nous avons fait abstraction de la pesanteur du levier. Si l’on veut y avoir égard, -il faudra considérer le poids de la vérge comme' une nouvelle force appliquée en .son centre de gravité, suivant une direction verti-

calfe; et l’on combinera cette force avec ies autres , <l’aprèâ ce que noiis avons, dit ci-dessus , comme si le levier était sans pesanteur. Ainsi l’op voit que , dans le cas , par exemple , où toutes Ifes forces et la directign du poids du levier se trouvent dans un même plan avec l’appui, c’est la somme de tous les moments, en y comprenant celui du poids, qui doit être égale à zéro pour l’équilibre. -

' Donc, si l’on veut employer un levier dont le poids n’cntre pour rien dans l’équilibre des forces , on n’aura qü’à le placer de telle sorte , que la' vertioale abaissée de son centre de gravité tombe au j)oint d’appui : alors le moment du poids étant nul de lui-même, on n’aura plus à considérer que les moments des forces appliquées.

178. Ou a supposé que le point F du levier était arrêté dans tous le^ sens, de manière que le levier ne j)ût avoir qu’un mouvement de rotation autour de lui : pour se procurer un tel point au dedans d’un corps, on le traverse ordinairement par un essieu ou cylindre inflexible, d’un diamètre quelconque; et lorsque le, corps tourne autour de ce cylindre, il. est absolument dans, le jnéme ,cas que s’il tournait autour de son axe considéré comme une droite

DE STA'llQtE.- 249

Hxe; et tous les points d’u'ne même section plane (jui est faite perpendicnlairement à l’axe , et- dont il résulte un 'cerclé "dans le cylindre, sont dans le même cas que s’ils tournaient autour du centre de ce cercle.

A. la vérité, dans, la dispositio» précédent^ , le levier n’a point la liberté dp pû'ôuettQp en tous sens autour du point fixe; mais lorsque les forces qu’on y suppose appliquées sont toutes dans un plan. perpendiculaire à l’axe autour duquel il peut tourner, les lois de l’équilibre y sont parfaitement les mêmes. Au reste on pourrait placé!’ dans la .verge une spbère fijte' qui la touchât au moins en quatre, pointa', .de jnanière que ces quatre points fussent cotaine*^lés points de contaet d’une pyrantidë circonscrite à sa surface : le leviei' alors, en tournant autour de cette sphère, pourrait être considéré comme s’il tournait autour de son centime.

Mais le plus souvent, le levier ne fait que poser sur l’appui fixe, comme on le voit yîÿ,-46, 47 , 4fi- Alors les conditions données plus haut ne suffisent -plus pour l’équilibre, abstracddn faite du frottement. 11 fiaut, non-seulement que les forces appliquées aient une résultante unique qui passe au point d’appui ^ mais encore que la dli;ectiou de cette résultante soit normale à la surface de contact du levier avec l’appiu :

2 5o éléments

car si elle lombe obliqueineût sur 1« plan tangeajt à cette surfaçe, ou. pourra la décomposer en deux antres, l’une perpendiculaire, et 'l’autre parallèle à ce plan. La première sera détruite; mqis la seconde obtiendra son effet, et fera glisser Je levier sur l'appui , comme on le verra à J’ai'ticle du plan incliné.

• ' De la Balance.

179. La balance ordinaire est un levier du premier ‘genre , aux extrémités duquel" sont suspendus pai' des cordons deux bassiit^ destinés a recevoir les corps dont ou. veut çomparer lés pôi’ds.'On dispose ordinairement cette mechine de manière qbe'son centre de gi-àvité passe par Fig.Si. la verticale inenéo par le point d’appui F (^9. 5i) et que les bras du levier FÀ et FB" soient parfaitement égaux ; alors on est sfir que deux corps graves qui se font équilibre dans les bassins ont des poids parfaitement égaux y et par conséquent renferment des quantités égales de matière. Ainsi, en prenant le poids 'd’un corps pour unités on évaluera les masses respectives «les différents, corps en cherchant à .combien d’unités de poids ils font équilibre. .

'Pour qu’une balapce soit juste, il f^ut donc , etr premier lieu,' que son centre de gravité

tombe daus la verticale meu^ée par le poiat d’appui.- . • , ■ ,

C’est ce que l’on vérifie sur-le-champ., en examinant si la balance est eu équilibre d’elleméme , c’est-à-dire lorsque les bassins sont vides ;■ et si cela . n’a pas lieu , on rectifie aisément la^balance à éet égard, -en attachant à l’iiu des bassins ou des bras de levier, un poids convcnafile qui rétablisse l’équilibre. •

11 faut , en secot^ lieu , que le p’oint d’appui divise le levief-.ou \e' fléau en deux parties parfaitement égales; et cette seconde condition est la plus importante.

Pour voir si elle a lieu, on n’a tpi’à. mettre

deux corps en équilibre -dans les bqsskis, et les

changer ensuite de |^aee. Si les bras .de levier

sont 'égaux, l’équilibre doit subsister éneore;

car les poids qui $e sont fait équilibre sont

égaux aussi, et il doit être indifférent de les « »

changer de bassins. . , . ^

Mais si les bras de levier sont •inéjjaiix, l’i^

quilibre sera (Jétruit ; car les poids qui .se sont

fait équilibre sout en raison inverse de.ces bras

de levier : or, en les changeant de .place, le

plus grand poids agira à l’extrémité du bras de

levier le plus long, et par cette double raison

entraînera nécessairement l’autre. .■ •

La balance alors sera fausse , et l’on ne pourTa'