La balance romaine est aussi un levier

droit du premier (jenre, mal^s dont les bras FA ,

52^ sont in^gailx. ^^^i. • F'b- 5»-

A l’extrémité A du braé’Ie plus court, bn suspend le corps dont on veut trouver le-poids Q; on l’attacbe par un crochet, ou bien on le pose dans un bassin qui est. suspendu librement au point A, comnie dans la balance ordinaire.

Sur l’antre bras FB'deJa romaine est un-ppids connu J) , mobile au moyen d’ün anneau le long de cje bras; de sorte qu’cn le faisant glisser à une distance convenable FI de l’eppiti F , il fait équilibre au poids du corps qui agit de l’autre côté. • ■ ■ '

Si donc , à chaque point I du bras FB , on marquait' eq nombres.le rapport des deux forces Q.et P qui se font jéquilibi^, on aurait un instrument fort comtqode-^ov peser les diffé-^ rents corps ,V à Faiilêfîî^j’mpme- poids p qui servirait d’unités II dans chaque cas,

de chercbèrJ|^lntl'oW^ poids

mobile p po^^âtre-bàlançer le poids Q, et l’on trouverait marque en ce point 'le rapport de Q à p, ce qui est précisément le poids cherché du corps. ' ■

Lorsque la romaine est tellement construite , que le centce de gravité de toute la machine, c’est-à-dire du fléau et du bassin, tombe précisément sur le point d’appui F,* la loi del’équilibrp'cntrc les deui forces appliquées est la ’ même que si le levier AC était sans 'pesanteur; ainsi le rapport de Q à p est égal à' celui des deux bras FI ét FA, et dans ce cas il est bien facile de eonstimire une tomnine, c’est-à-dii'e d’en marquer les difféi’cntês divisions. ' • Mais' si le centre de gravité de la* machine tombe'à droite'ou à gauche de l’appui, le rapport de Q à P n’est jjIüs celui des bras de levier IF et AF; il doit être augmenté ou'diminué d’une certaine quantité qüi dépend du poids •V deli machine, et de la distance de ce poids V à l’appui : ainsi les divisions de la romaine doivent être changées. Mais on sent, par ce que je viens de dirfe , que ces divisions seront encore distribuées de là même manière; seulement le' point de départ,’’ c’est-à-dire • le point où Ton doit compter zéro pour le poids Q , ne sera plus en F sur l’appui , mais il devra être f*b 53. jjyjjncé ou reculé eti O 53), d’iine certaine quantité FO,- qu’il e.st bien facile deMé- •terminer.

, 181. Mais sans connaître ni le poids ni le

DE STATIQUE. a55

centre de gravité de la romaine, on. peut en marquer exactement les divisions delà mcinière suivante, que la théorie' '4es couples rend la plusnaturelle et la plus jlScile à retenir.'

Je. suppose d’abord le>bassin vjde, ou le poids Q nul, et je iaU^^j|;^ân||^r'le poids-mobile P jusqu en un- point PP«t trouver â

gaucbe ou à droite de Tappui, mais quji- est tel, que le fléau AB devienne horizontaL' Dans cet état, le cctitre.de gravité de tout le système, en y comprenant le .poids mobile p, passe au point F , et le poids de toute la. vnachine est détruit. (]’est donc au point O .qu’il faudra marquer zënv, puisque alors le. poids Q est tout à fait nul.

Actuellement, je suppose que, dans le bassin vide on mette un poids p' = p ; if est clair que l’équilibre sera rompu, mais que 'si l’on éloigne le poids mobile d'une quantité convenable, l’équilibre sera rétabli. Ainsi, quand d’un côté on ajoute au poids, de l’autre côté il faut chercher ce qu’on doit ajouter au bras de. levier pour maintenir l’équilibre. Or, qu’on imagine la force p' transportée parallèlement à ellemême du point A au point d’appui F, elle y sera détruite, et il. ne restera qu’un couple (p'j — p' ', appliqué sur FA = r, ét dont le moment est p'r. Ainsi le poids p' qu’on met

u56 ÉLÉMENTS •

dans le bassin vida ajoute de ce côté de la romafne un 'couple ou moment pr :■ U faut donc ajouter de l’autre côté un couple égal .-et contraire ( ‘-.p, + p) qûi ait un même bras de levier. r. Or, qu’on place cé conplé,.ce qui est permis^ sur la ligne OH = r; alors la fiyrce — P détruit .son égale et contraire p ,"et il ne resté, que -t- p , qui' n’est ea quelque soi:te que le poids , môbile p qu’on aurait éloigné de. la quantité OH = r. Oti' voit dônc que pour chaque poids p qu’on ajouterait dans le bassid , il faudrait éloigner le poids mobile- de la Iongu èur constante, r du petit bras de la romaine; .et .si l’on ajoutait une fraction quelconque de p, il' est évident, pur la même démonstration, qu*’il faudrait éloigner le poids, mobile" d’une même fraction de r. • '• .

;.©onc ,' à partir du point O «léterminé ci-dessus,-il faudra porter des parties égales à r,-et màrquer en ces points de division, o, i', 2, 3, 4,5,. etC/ Et si l’on veut marquer des fractions intermédi^jçès, des dixièmes^ des centièmes, par eUlg^le., on aura un instrument qui pourra servli'^ur. évaluer le poids dçs corps à ces cimales près'.du poids connu p.

Op'.voit que la balance, romaine ^ent être utile en beaucoup 'de rencontres où la b^ltince ordinaW-e ne serait d’aucun usage , puisque

celle-ci e.\i{{e différents poids 'pour • peser les différents. cor|)S , tandis que la rômaine n’en exige qu’un seul.

Klle^ a* encore cet avantage yue Ie point d’appui ou dr'sn.spcnsioii y ést moins fatigué parla cbarge ou la pression des corps qtie l’on pèse; car dans la: Imlance ordinaire ’fcelte pression est double du'pokls du corps, ôu’2Q; an lietr que dans la romaiiie elle est. siniplc'ment Q •+■ P , ou seulement Q, c’est-à-dire là moitié de. la précédente, si l’on veut regarder’ le poids P comme faisant lui-m(îme> partie du poids total de la macliine. ■

On peut varier cejtè balance de différeutes manières, eu rendant mobile, ‘au lieu du |K)ids p, le poids Q du corps qu>’il s’agit de peser, ou> bien le point de suspension du fléau ; ce qni donnecak lien à différente.s coustntetions ; mais le principe en est Toujours le niçine, et if e.st

inutile de s’y arrêter.

• • ■ fhi Pesoit. ' '

Vl82-.0n peut encor»^, pour évaluer les poids, tunployer un levier coudé ACB(/è/.'54) mo-Fie. 54. lùle autout du point fixe C, et dont les brasCA,

OB font entre eux un angle droit A<jB; et c’est cette espèce de balance qn’on appelle le peson.

Statiquf. P. 1 7

aS8 ÉLÉMEHTS

Je suppose, pour plus de simplicité, que le bras CB', aii bout duqiu?! le fcorps est suspendu, soit continué de. l’antre côté de l’appui d’une longueur égglc CIB';'de manière que le. centre de gravité- de cette branche BB' tombe préciséraeht au 'point- C qui en est le milieu. Alors Je poids du bras GB se trouve détruit dans toutes les positions du levier coudé autour du point fixe, et l’on peut se dispense!;- d’y avoir égard. Mais pour l’autre bras CÀ’, son propre poids co'n’tribuera , avec celui qu’on pourrait y attacher d’ailleurs, à coritre-balancer le poids' du coips. Le plus’souvent même, -ce bras ou cette aiguille est .d’une matière assez pesante pour que- la force p qui en résulte ed son centre de 'gravité O fasse toute seule’.roffice du' contrepoids. Aù iÿke,' je Supposerai que p représente le poids total de Taiguille et des corps qui .'pourraient y être attachés, 'et que le commun centre de gravité' soit en G, à la distance CG de l’appui. . • •

/Cela posé' le peson étant libre, l'aiguille CA tombant dans la verticale COj et le bras CB étant horizontal , fe suspends èû R .un corps dont le poids est Q ; le bras OB s’abaisse vers -la .verticale, et l’autre GA- s’élève; ainsi lâ distance BH de la force Q à l’appui diminue , et la distance Gl de l’autre force p

DE statique. 2S9

au même point, augmente; de . sorte que le, levier, coudé,. .pQur, se fnettre en équilibre, doit prendre une position' où les mpinents Q X BH et P X GI Soient égaux :de.part et d’autre. • , •

Or, soient ^ l’angle ACO que fait l’aigbille avec la' verticale, R la distapce .CG de son eentrp de gravité à l’appui, et r la longueur' du bras CB où le corps est -suspendu. Comme on. a GI = R .sin ç),' et BII = rcosipT l’équation de l’équilibre devient p . R sin 9 = Q . r eosTp ; ce qui donne .

d’où il résulte (puisque lés trois -quàntités p, R , et r demeurent invariables) que la tangente de l’inclinaison f de l’aiguille croît précisément en proportidh du poids Q du corps.

.Si donc pn adàpte au pesou un quart de cerclé GOAM, qbi ^représente le secteur que l’aiguille peut parcourir depuis * La ' verticale CO jusqu’à l’horizontaFe CM, il est “bien facile de -marquer aux» différents points de cet arc-les nombres qui répondent aux .différetits poids. . . , •

En effet , qu’on mène la tangente indéfinie OT, et qu’on suspende d’abord jen B le’ poids que rôn vqut prendre pour l’unité , ce poids

u6ü KLKMrars

^ fera monter l’aiguille d’mi certain arc-AO ; et la tHrection t^STcette’ aiguille étant- piiolongée jusqu'à sa rencontre. en «, avec la ligne OT, là partie O a représentera fa tangente de cet , arcrqui répond à l’unité de ploids. Ainsi, U n’y apra q^’à porteur sur la ligne OT, à; partir du point O, des |îarties égales à Oa,'et*par les points de division , tirant des lignes an ceqtre G, .ou aura sur le quart -de cercle les points cor- ■respondantii aù il faudra inarq'uer les noiubres O, r,- 2 f S, 4 5 subdiviser

chaque partie derOT] en fractions, ou aura par la même consU-qctiou les points de l’arc où il faut marquer le^ mêmes fraçdous du poids "que ^ l’on a pris pour l’unité. - .. -•

.185. 'Quelque petit que sojt le.^ ptVids p de l’aigiiille , ou voit par la proportiorf Q ; p ; : R.tangp I-r, que ce poids p sufftt. toiqours pour contre-balancer un jio'ids Q aüssi ^rand qu’on le’voùdi-a; car la tangente, de ç> peut devenir plus gi-andequfc toute quantité donnée. Ainsi , le pesop est d’un visage bien plus étendu que la romaine, et- sous un petit appareil , oette machine pèut servir à peser les corps les plus considérables. •

Mais si la tangente de l’arc ip augmente par degrés égaux avec le poids Q du .corps’ l’arc

TJE Sl ATIQtîK. * j6|

lui-uiémo n'au|>mente (fiiC'-paV degiés inégaux qui duniniiénf sans cesse, et les divisions kipéiieures du peson deviennent de moins eû moins scûsibles pour les mêmes accroissements de poids*. Par conséquent, si l’ou veut que .la maclrine marque plus nettement ces différences, iLîie faut pas (|ue le poids de laiguilie soit trop petit. .Aussi, pour peser de lourds fardeaux, on charge l’aiguille d’un certain poids, ce qui lui permet de rester dans' la' partiemoyenne du (|uart de cercle, ort le.s inégalités de [loids sont marquées d’une rtianière plus .srns^le. ‘ ’ '

De. (a Poulie. •'

184. Lléquilibre de la poulie se Capporte* naturellement ^ celui du levier. •

La p.oulie est uiie roué circulaire ABK (/j'ÿ..55), mobile dans une chape CN , autoürFig 5i. d’un axe C.‘ Une jjartie AB de sa circonférence est enveloppée par une corde PABQ dont les deux extrémités sont tirées par deux forces P et Q. Si l'on mène les deux rayons CA et CB aux dqux pflints extrêmes de.cqntaçt , qn peut regardei*les deux forces P et Q comme appliquées aux extrémitês> d’nn levier coudé ACB, dont les deux bras sont parfaitement

•26a ’ .éléments'.

égaux j’ et par conséquent il laut, poui* l’équilibVe, que les deux forces'P et Q soient parfaitement égalés.'

* Pour la" cbauge du centre C de là poulie , elle est la même (171') qne si les détix forces P et Q s’v transportaient parallèlement à’ leurs directions, , en P' et Q'. Ainsi, en •achevant ^ur les deux lignes'CP' et CQ', qui représentent leurs; grandeurs, le losange P'dQ'R*, la ' diagonale CR représentera là charge R du point C.

Mais si l’on joint AB/on formera triangle isoscèle A CB,' semblable au" triangle PCR, et par conséquent on aura

P'- ou P : R ::.ÀC : AB.. .

C’est-à-dife qite /'une des deux forces P et Q aj)pliqtiëes à la corde , est à ta charge que supporte t axe de la poijtlie comme le'Myon de la poulie est à ‘ la sous - tendante de • l’arc efnbtassé par ta corde. ' *

185. Supposons que l’axe , au lieu d’être fixe , soit retenu par une force égale et conti^ire à la ■ pression qu’fl' éprouve, èt que l’extrémité 'du Fig. .v>. cordon AF(^</. 56)^ au lieu d’être tirée'par la force P, soit invariablement attachée à un point fixe F ; l’équilibre de la poldie ne sera pohit

DE STATIQUE. a63

troublé j et le cordon demeurera toi^oiirs tendu de la même manière. » ^ •

• La' puissance Q sera donc à la forcé qui rètièpt le centre de la poulie, dans le même rapport que, ci-dessus. '

.Ainsi , en considérant un poids P attaché à la chape CN par un. cordon dirigé vers le centre de la poulie , on aurait : la puissance Q , qui tend à faire monter le poids, est à. ce poids comme, le rayon de là poulie est à la sous-tendante de tare embrassé par la corde. ' • , .

Loi’sque l’arc est égal, au tiers de la demicirconférence; la sous-tendante AB est .égale au rayon, et la puissance est ^ale'à^ia résistance. ! ' • .

Lorsque les deux parties de la corde sont parallèles, la sous-tendante- AB (/g. 5y) est Fig 57. double dü rayon , et la puissance n’est qiie la moitié de la résistance. C’est le cas le plus.fâvoreible à la puissance , puisque le diamètre, est la plus grande, corde du cercle..

• DU TOUH. • . .

186. Le, tour en général est , cornme nous l’avons dit, un corps solide de figure quelconque, qui n’a que là liberté dé tourner autour d’un axe fixe- . . ■

264 hil.KMKNTS

Mais ce que. l'on iiujuinc lour^ou treuil dans les arts est un cylindie aux bases ’ilnquel on adapte ordinairement deux autres cylindres de même axe, mais d’un diamètre plus petit, et que l’on nomme tourillons. Ce^ tourillons, re- Fin 58. posent siir deux appiiLs fixes K et II (/iÿ. 58), et le cylindre, en- tournant sur ces, tourillons , est absolument dans le même cas que s’il tournait autour de son axe eonsidér»' comme une ligne fixe. • ,

La résistance ipie l’on se pj-oposede vaincre , ou le poids Q que l’on veut élever, est appliquée à une eôide qui s’enroule autour du cyliür dre, tandis qu’une puissance P lè fait tourner, soit eg agissant par une corde CP • tangen.ticllement ;Vune roue (GB) perpendiculaire à l’axe .de ce cylindre et .solidement liée avec lui, soit en agissant à l’extrémité d’une barre qui traverse le cylindre à angle droit, soitaun\oyen d'une mauiyèlle, etc. , etc. /

. Les dénominations du tour varient. suivant l’objet auquel on le destine et, suivant sa posi*tion. On le nomme ordinairement tour ou treuil lorsque l’axe du cylindre est horizontal , et cabestan lorsque l’axe est vertical et qu’on .se sert "de barres pour y appliquet la puissance. Mais quels que soient l’objet *'t la position de cette machine, gt de quelque manière, qu’on

lui coimnuni(||lt; le mouvement., les conditions de. l’équilibre y sout toujours les, mêmes. A'msi, nous la considérerons, pour plus“dc simplicité, sous le premier aspect. Nous supposerons que Taxe AB du cylindre soit horizontaj, et par conséquent , le plan de la roue vertical ; que la puissance P agisse suivant une direction tangente en un point donné C à Ja ciréonférence de la roue, et’qué la résistance Q agisse dans un plan parallèle à celui de la roue, suivant .ymc direction verticale tangente à la surface du cy-: lindre , ou plutôt à la circonférence de là .section circulaire DIO faite dans ce cylindre au point!) de contact. • - •

Il s’agit de déterminer d’abord le rapport delà puissance à la résistancc dans .le cas de J’équilibrç, et en second lieu les pressions qu’éprouvent les appuis !' et H qui somtienuent les tourillons. • •

Soit B le centre de Ja-roue, A celui de là section DIO. Menez les rayons CB et DA qui seront peipendicnlaircs aux fofcçs réspectivès P et Q. . . . .

Je transporte la force Q parallèlement à ellç-méme du point ,D au point A. II en ndît une force Q' égale, parallèle à Q et de même sens, appliquée en A , et tin couple (Q , — Q) qui a pour btas de levier le rayon il A du ey-

Hndre. Je transporte de méin^lli puissance P de G en R; il en naît ttijc force P' égale, parallèle et de même sens, appliquée- en B , et un couple (P; — P) qui . a pour bras de levier le royon ÇB de la roue. . '

Les deux forces P' et Q', étant appliquées aux deux points À et B qui appartieonent à l’axe fixe du cylindre, sont évidemment détruites par sa résistance. * •

IJIais les deux couples (P; — P ) et * (Q , — Q) doivent se «faire éqitHibre d’eux-mêmes; car, si l’on transporte, pour plus de clarté, lé couple (Q j — Q) dans le plan du couple (P, — P) , ce qtii est permis, on voit que ces deux couples se composent en un seul' qui ne -peut jamais être en équilibre autour du centre . B de la roue. couple résultant doit donc être nul dé Iai-/nêmc, et par conséquent Jes deux couples contraires- (P, — P) .et (Q, -‘Q) doivent être équivalents; Ainsi , leurs mpmdts P>fCB et.QxDA doivent être égaux, et l’on'a