P:Q::DA;CB

C’est-à-dire que, pour t’équilibre du tour ,

il faut que' la puissance soit à la résistance

comme le. ràyon'du cylindfe est nu rayon de., la * » • ^ • xmià'. ^ .

, IJIi STATIQUE. ' 26"]

• Des pressions exercées sur les appuis.

•187. Les deux couplel^(P,.^ P) et (Q-.- Q) étant eû équilibre d'eux-mêmes , if n’y à que les deux forces P' et Q' qui puissent cbai^r Taxe fixe, ef par ConWquent les appuis : d’où Fpn voit d’abord que la pression exercéè pactes forces P et Q appliquées au treuil est absolument la même que si ces forces étaient transportées sur l'ofce ,parallêlenikr^elles-mêmes , dmsTeurs plans perpendiôdtRres à cet axe.

Pour obtenir les.’ pressions individuelles des appuis F et'n, on décomposera la force Q' en deux autres parallèles q et q', appliquées’ aux points respectifs F et H; et de même la force P' en deux autres parallèles p etp', ^pliquées aux mêmes points! La résifltante" <Jes deux forces P et q exprimera en grandeitl' et en direction la pression de l’appui F ; et la résnltante des dou^ forces p' et q' celle' de l’appui H. , ‘

Nous avons fait abstraction de la pesanteur du treuil.' Ordinairement le corps de cette machiné est symétrique par rapport à l’axé fixe., et son centre de -gravité tombe sur l’un des points de l’axe Ful-même. Alors le‘ poids du treuil ne trouble point la proportion établie ci-dëssos entre la puissance et la résistance, mais il change

2(»ii klkments

les pi-essiiiiis exercées sur les' appuis. Polir fonoaîlre les valeurs réelles dé' ces pressions, on considérera tout le poids du tretiil comme une force. verticale V^aj^liquée en son centre de {»r?A ité G;'et si l’on décompose cette force en deux autres parallèles g et ÿ', applifjuées aux |X)ints F et H,, la résultante' des trois forcés p, If cf (/'exprimera la- cbarije réelle de Tappui F, et la eésultante des trois forces et 'ÿ', celle de l appui'll; de. sorte que l’on saura de quelles ré^stancés Ic^ deux points tjjfa^pui' doivent être au moins capables, [ipur D’être' paî entraînés par les efFoits combinés des dr*iix ftrtres P et Q, et du poids V de la maebine. -• '

188. On a suppo'sé que les cordes t)Q , CP élaiéut. infini ment déliées; mais Jes cordes sotat ordinau’êment d’im diamètre fitii , ce qui change se'nsiblement le rapport que nous avons établi eûtre la- puissance et la résistance. En effet, lesforces P et Q, que l’on pént rqjarder qonmie agissant suivant les axes des cordons, ont leurs bras de levier respectifs augmentés des •demi'^ diamètres dé ,cés cordons. On' n’a donc pas alors : la puissance-’ est à la résistance coinnie le i-ayon du cylindre est au rayon deMa'roiie ; mais' bieu , h puissance P est à la résislatire Q cnmine le rnyfut du cylindre augmenté du rayon

DÉ STATlQljE. . i6y

(le la corde uq, est au rayon. (le 'la route aiufinenlé du rayon de lu cordi;. GP. •

Si les t’.ayoQs.<le$ cüi'des DQ et Gl* sont peoportioDoeis aux rayoïA <tu cylindre et de la roue, tette proportion revient à. la prëndère, comme si les cordes étaient des fil» infiniment petits, appliqués .tangentiellement & la roue et au. cylindre. • . . ' ■

189. Si l’on veut coosftlérer actuelleip.ent un tour sollicite pai' tIPht de forces que l’on voudra, ^itué^danti de$^ 'gprpcndiculaires à l’axe , OB verra , , comipe ci-dessus qu’çn- trausfonuant chaqrte force en. une autto égale, par rallèle et de mêmç. sens, afpliqûée spr •î’ajte,-. et eu un couple qui aura' [^ur. liras de levier la Histance de Itf force à l'axe, toutes les iorce^ transporlée,s sur l’a.xe seront toujours^ détruitéj» p<1r sa résistanue, mais qpe tous les couples devront se réduire à pu couple uni de lui-^ême pour l’équilibre. , (Jü’, tous ces couples étant dans'dës plans parallèles, le couple résultant sera égal« leur somme, et par conséquent d faildrâ, pour l’équilibre, que la son|me des moments des "forces ,par rapport à l’aXe soit égale à zéro ,'"en- prenant pvec de^ • signes coqtraifes fes moménte des -force» qui,tendefit à faire tourner en sens contraires. - t

Pour les pressions exercées sur l’axe fixé , elles seront évidemmenf les mêmes que si toutes les formes appliquées s’y étaient trîmspcirtées parallèlement à elles^ifiémes , sans' sortir de leur^ plions perpendiculaires à cette ligne.

Lorsque ks forces appliquées au treuil «ont dirigées dans des. plans quelconques, op peut décomposer chacune d’elles en deux autres , l’une parallèle, l’autre perpendiculaire à la dk rçction de l’axe fixe. Mais les .forces parallèles étant transportées dans l’axe , leur résultante est détruite par-«la résistance longitudinale de cet axe,. et leur couple résultant, qui passe par le même astrÇj est détcuit paç sa résistance trans- . vèrsale. Il ne éestè donc à considérer, pour l’équilibre du ‘treuil,* que le groupe des*forces qui .sont situées dans .des plans perpendiculaires .à l’axe fiÿc , ce qui revient- au cas précédent.

. Ainsi, en nommqpt Fj P', P*, etc., les forces appliquées;. wr, (S', (ù", etc., leurs inclinaisons sur l’axe;, et p, p", etc. , leurs plus 'courtes distances'à cette droite , oii aura, pour l’équilibre ^ l’équation * • .

Pp siuul-|- Pp' sin u' -t- P'p" sjn çj" etc. = o,

ce qui est k conditiôn exprimée au n” lÿÜ.

Quant à l’axe du treuil, U sera presile, i* par les composantes P siu «, P' .siiiM'', P" sin w", etc. ,

ÜK STATÎQUE. 271

transpoilées sur cet axe; 2° par la résultante des forces parallèles Pcosw, .R'cosw', P" cosu", etc., qui tend à entraîner lè treuil dans'le sens* de sa longueur', et 3° enfin,' par le coupde, résultant de ces derpières' composantes , ce qui revient à deux forces égàles perpendiculaires à l'axe, et qui le poussent en. sens contraires. *

èu*PLAN INCLINÉ.

190. Ijorsqu’un point est pressé contre un plaa inébranlable et inflexible , par urte force normale à ce plan , il est clair qîiè l:;e point doit rester en équilibre; car il n’y a pap'de raison pour qu’il se njeuve dans le plan, dun côté plutôt que l’autre, j^isque toutes des direc7 tiens qu’il poutrhit prendre font ün même angle droit avec là direction de la force; et d’ailleurs il ne* peut se mouvoir-'à travers le plah qitt (^t supposé parfaitement inflexible.

Réciproquement, le’ point dont il s’agit ne pourra être en équilibre , à moins que. la force qui le jlfesse ne soit normale au plan d’appui; car, si e“lle y était* inclinée, ‘cétté force .pourrait se décomposer 'en deux autres, Fuhe perpendiculaire auplan et Tautre située dans ce plan. La première serait détruite; ^ais la seconde obtiendrait* son effet, car*il est visible

272 klMknts

qu’elle ne pourrait être olu^rée par ia présence du pl^ le long" duquel elle tendt à s’exercer. Aiqsi ti n’y aurait pas équilibre. , "

Oo'peut dire Isrnîèmê chose d\in point qui s’appuie sur nue surface cpurbe,- et le considérer comme s’il reposait sur le plan tangent ,mené-à la surface par ce point meme. iKfaut donc, pour l’équilibre, que la direction delà force qui le presse soit norqiah* à ce plan, au point de* contact} et voilà pom*quoi dans l’équilibre cFu levier qui ue fait que poser sur l’ap pui, il faut non-seùlëment que la résultante des forces ypasse , mais encore qu elle soit perpendiculaire à rélcTiieut de contact du levier et de cet appui. ' • .

191. On voit*'d^nc , dTaprès ée*4jue l’on vient dt'dire , que Jorsqu’iln corps est tenu eû équilibre contre un plitn iiiAbranlable,'ee plan ue peut détruire que des forces dont les direetions luisoid normalés aux différents points.de contact, et que par conséquent sa résistance' ne peut faire’ naître que de telles forcfes^n'sens .contraires. • • • .. •' .

Donc, «i un corps de figure qyeiconque , sollicité par des furces^uelconques P, Q, R^’.etc., Sg] s’appuie contre 11^ plan que par un seul poiift ^), il ne pourra demeurer en

DK STATIQUE. 27 3

équiljbrc., à moins que toutes les forces P,

Q, R, eic. , qui lui sont appliquées, ne soient en équilibre avec uue force. unique N, qui*'serait normale à ce plan au point €), et qui représenterait sa résistance actuelle. Donc, pour • l'équilibre d’un corps qui s’appuie par un seul point contre un plan, il faut, 1°. qUe toutes les forces appliquées aient une résultante unique ;

2“. que la direction de cette résultante soit normale au plan ; .3". qu’elle, passe au point de contact.

On voit que ces trois conditions reviennent à celles qu’on a données plus haut pour l’équilibre du levier qui 11e fait que poser sur l’appui. Nous aurions pu les trouver par le même raisonnement et les exprimer de la même manière, en disant que'toutes les forces appliquées , étant transportées parallèlement à elles-mêmes au point de contact, doivent y donner une résultan te normale au plan, et que tous les couples engendrés doivent donner un couple résultant nul de lui-même.

■ 19îi. Lorsque le corps touche le plan par plusieurs points A, B, G, D, etc. {fig. 60), cha- l'ig. cun des points de pontact fait naître une résistance uormtde aru plan en ce point ; mais toutes

ces résistances, étant parallèles et de même Statiqüb P. ( 8

•^74 ÇLKMEKTS

sens, SC composent toujours en une seule, dont la direction tombe nécessairement dans l'intérietfr du polygone formé par tous les appuis A, 6, C, D , etc. Les forces appliquées -doivent donc être en équilibre avec cette force unique, et par conséquent, lorsqu'un corps s’appuiecontre'wi plan par plusieurs. points il faut, pour l’équilibre, que les forces appliquées puisseiü se réduire à une seule, normale au plan, et dont la direction tombe dans iifitérieur du polygone formé par tous les points de contact.

On voit par là que si le corps repose par une surface finie , la résultante doit rencontrer le plan en l’un quelconque des points de cette surface.

De la pression exercée sur le plan.

193. Lorsque le corps nedrepose. que par un seul point, il est clair, d’après ce que nous venons de dire , -que la pression exercée par les forcés est égale à leur résultante.

Si le corps repose par deux points A et B Fig.6i. (fig. 6 1 ), la résultante N dont la direction tombe nécessairement entre A et B, sur la droite qui joint cçs deux points d’appui, se décompose en deux fôrces parallèles p et q, qui expriment leurs pressions respectives., «

Soit O le pbint où la résultante N va ren-

contrer la ligne AB; on aura pour la pression p du point A , N ; P ; ; AB ; BO ; et pour la pression 9 du point B, N ; 9. ; ; AB ; AO ; d’où l’on voit que la résultante- ou la pression totale N étant représentée par la distance AB des deux appuis , les deux pressions individuelles de cas points sont - représentées réciproquement par leurs distances à la pression totale; ■ ^ .

Si le corps repose par trois points A, B, C {Jig. 62) , la résultante N des forces appliquéesFic. r,,. doit passer en quelque point O dans l’intérieur du triangle ABC (192). Si de l’un des angles, de l’angle A, par exemple ; on mène la ligne AO, et qu’on la prolonge jusqu’à sa rencc^itrè. en I avec le côté opposé BC, la force-N se décomposera eu deux autres pu-allèles p et n' appliquées aux points A et L Ensuite, la forae n se décomposera en :deux autres parallèles 9 et r appliquées en B et G; de sorte' que ■ les trois forces p, 9, r exprimeront les pressions respectives des trois appuis A, B, C.

Formons autour du point O , comme sommet, et sur les trois côtés respectifs BC, AC, AB comme bases, les trois' triangles BOG, AOC,

AOB. Si* l’on représente la prèssion totale exercée en O par l’aife du tHangle ABC, les pressions exercées aux trois angles A, B, C seront représeutées par lea aires respectives des

triangles BOC , AOC , AOB fonnés sur les côtés opposés. *• •

Car la force N , appliquée en O , est à la force p, appliquée en A, comme AI est à 01 : mais les triangles BAC, BOC, ayant même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs, ou comme les lignes AI et 01 également inclinées sur. la base ; on a donc N ! p ; ; ABC : BOC. Mais un même raisonnement prouverait qir’on a N : 9 ; ; ABC ; AOC, et N ; r : : ABC ; AOB; donc, etc.

194. Lorsque le corps s’appuie sur le plan par plus de trois points (ou seulement par trois s’ils tombent en ligne droite), les pressions individuelles des appuis sont indéterrninées , parce qu'il y a une infinité de manières de décomposer la force N en d’autres forces parallèles appliquées en ces points.

11 suffit que ces pressions individuelles satisfassent à ces conditions : .1° quelles soient, toutes de même sens que la pression totale ; 2° qu’elles puissent se composer en une seule, égale à cette pression totale et .appliquée au même point O. Cette dernière condition exige trois équations, dont la première exprime que la somme des pressions est égale à la pression totale, et les deux autres, que la somme des

DE SrATIQUE. 277

morneots des pressions individuelles, pai' rapport à'deux axes quelconques tirés dans le' plan des appuis, est égale au moment de la pression totalé, par rapport aux mêmes .axes (84.à 127). •-

195. Si l’on veut considérer actuéllemënt l'équilibre d’un corps qui s’appuie 9 la fois contre plusieurs plans, on o^ervera que cbacun de ces plans fait naître, aux divers points de contact , des résistances de même sens , perpendiculaires à ce plan, et qui par conséquent se composent toujoûrs en une seule , peipendiculaire au même plan. Il faut donc que toutes les forces appliquées soient en équilibre avec ces diverses résistances., qùi seront en même nombre que les plans d’appui; et par conséquent les forces qui tiennent en équilibre un corps appuyé sur plusieurs plans doivent toujours se réduire à autant de forces , dirigées perpendiculairement vers ces plans respectifs, et qui tombent , pour chacun d’eux , dans l’intérieur du polygone formé par les points de contact.

196. On voit par là que si le corps ne s’appuie que sur deux plans, en deux points par exemple, et n’est sollicité que par une seule force, ou par des forces qui aient une résul-

a -y 8 ÉLÉMENTS

tante unique, cette fprce ou cette récitante unique doit pouvoir se décomposer en deux autres dirigées suivant lés normales > menées aux deux plans par les points de contact. Ainsi , il faut que les deux normales aillent concourir en un même point situé sur la direction de la force qui presse le corps , et se trouvent dans un même plan avec elle. D’ailleurs , cette force d(5it être dirigée dans l’angle des deux normales, qui est opposé à celui des deux plans, et son ’ action doit avoir lieu veré cet angle , afin que ses deux composantes suivant les deux normales tendent à. pousser le corps contre les plans, c’est-à-dire en sens contraires des résistances qu’ils font naître.-

197. Si le corps s’appuie par trois points sur trois plans différents, la force qui le presse doit être- réductible à trois autres , dirigées suivant les trois normales menées aux plans pàr les points de contact. '

Mais il ne .faut pas conclure de là que les trois normales doivent concourir en un même i)oint sur la direction de la force, ni même tju’il doive y avoir une seule rencontre entre deux de ces quatre lignes ; car trois forces qui ne se rencontrent pas peuvent se composer en uue seule, et une seule force peut se décom-

poser suivant trois directions qui ne rencontrent pas k sienne , et qui ne se rencontrent j>as entre elles (7o).

JÉpplication de la théorie à quelques exemples.

198. Ce (}ue nous venons dë dire contient toute la théorie de l'équilibre - des corps qui s’appuient sur des plans. Nous allons en faire quelques applications très-simples.

Soit un corps de figure quelconque , appuyé , par un nombre quelconque de points , ou par une base finie, contre un plan inébranlable LDK {fig. 63), et sollicité par deux forces Pf>o et Q. qui le tiennent en équilibre, sur ce plan.

D’après ce qu’on a trouvé (192), les deux forces P et Q doivent donner une résultante unique N normale au plan ; par conséquent leurs directions doivent concourir en quelque point , comme en F , et se trouver dans un plan perpendiculaire au plan LDK. De plus, la direction de cette résultante doit aller rencontrer le plan LDK en l’un des points de contact du corps,^ ou dans l’intérieur du polygone formé par les points de contact.

Supposons que toutes ces conditions, sbient remplies, et voyons simplement quels sont les rapports des forces P, Q, et de la pression N exercée sur le plan.

a8o ÉLÉMENTS,

Puisque les forces P et Q ont une résultante normale au plan, il faut que ces deux forces soient réciproquement proportionnelles aux sinus des angles PFN, QFN, que. leurs ' directions forment avec la normale abaissée du point F sur ce plan ' car on a vu (56) que deux composantes sont toujours en raison réciproque des sinus des angles' que leurs directions forment avec celle . de, leur résultante; on a donc , ‘

Q : P : sinPFN ; sinQFN.

On a d'ailleors, pour la résultante N,

P : N ; : sinQFN ; sin Pt'Q.

Dé sorte que chacune des forces P, Q, N, peut être représentée par le sinus de l’angle formé par les directions des deux autres.

Ainsi, toutes les questions que l’on pourrait proposer sur les rapports des trois forces P , Q , N , et sur leurs directions , se réduisent à la résolution d’un triangle dont les trois côtés représenteraient les grandeurs des forces P , Q, lÿ, et les trois angles, leurs inclinaisons mutuelles.

199. Supposons que la force P représente le poids du corps lui-même; sa direction FP sera

verticale et passera au centré de gravité de ce corps.

Menons le plan horiiOBtal LDH qui coiipe le premier suivant LD, et nommons le plan LDK, * sur lequel le corps s’appuie, le plan incliné.

Le plan des deu.x forces P \ct Q, qui sera, d’une part, perpendiculaire au plan incliné, comme passant par là nonnale fN, et de lauti-e perpendiculaire au. plan horizontal, comme passant par la verticale FP, • coupera ces deux plans suivant deux droites A^, AC, perpendiculaires à lenr commune^^ntei-sectiou LD , et qui comprendront entre elles l’angle formé par le plan incliné avec l’horizon. ' ' ,

Représentons shnplemcnt le plan horizontal par l’horizontale AG 64), et Jç plan Fie- 1»4incliné , par la ligne AB oblique à la première.

D’un point, quelconque B , pris sur AB, abaissons une perpendiculaire BC sur AC , et ‘dans le triangle rectangle ABC nommons , suivant l’usage, l’hypoténuse AB, la longueur du plan incliné; le côté BC, sa hauteur, et le côté AC, sa hase. . . • •

. La ligne FP étant perpendiculaire à AC, l’angle PFN sera égal à l’angle' BAC, et la proportion Q ;• P sinPFN : sin QFN deviendra

Q : P i:-sinBAC ; sinQFN.

Digitizfr” by C^OOgk; Jk

Si la puissance Q est donnée en grandeur seulement, on troùvera par cette proportion, où il n’y aura que ^lÿQFN d’inconnu , sous quel- angle QFN cette paissance Q doit agir pour faire équilibre àu poids P. Or , comme à un même sinus répondent . deux angles suppléments l’un de i’autre, on voit que la même puissance Q* pourra être employée de deux manières différentes pour faire équilibre à la résistance : soit en faisant avec la normale FN *

au plan incbné^ttb «igle QFN trouvé’ par la proportion ci-dessus ; soit en faisant' avec la même ligne l’angle Q'FN supplément du premier. • • ' ■

On trouvera, par la même proportion, la grandeur de la puissance Q , Icfrsque l’on connaîtra sa direction, ou l’angle- QFN quelle

forme avec la normale.

4100. Le cas où -la puissance Q est la plus pétite à l’égard de la résistance P, est celui où l’angle QFN a le plus grand sinus, puisque la puissance est toujours en raison inverse de ce* sinus ; mais le plus grand sinus répond à l’angle droit} donc la puissance est alors perf^peddiciilaire sur la normale FN, ou' parallèle plan incliné. . •

ée cas, l’angle QFN est égal à l’angle

. DE STATIQUE. a83

droit ACB (yîÿ. 65), et la proportion précé- f ig. 65. dente devient Q : P ; sin BAC ; sinAGBjmais dans le trianglé ABC, les sinus des angles A ^ et C sont proportionnels aux côtés opposés î* BC, AB, et par conséquent on a >