Q : P :: BG ; AC

c’est-à-dire quej si la puissance est horizontale, elle est au poids du corps quelle tient en équilibre sur le plan incliné , comme la -hauteur du plan est à sa base.

205. Le cas oil la puissance est la plus grande à l’égard du poids, est le cas on l’angle QFN • devient nul. La puissance Q est alors perpendiculaire au plan incliné , et la propottion Q ’. P ; : sinBAG ; sin QFN donne polir sa va-

, ^ P X siii BAC * '

leur, Q = = 00.

llm’y a donc pas, à- proprement parler, de maximum pour la puissance; mais ce résultat nous apprend qu’aucune force, quelque grands

a86 J ÉLÉMENTS-

qu'elle soit, ne peut empêcher un corps pesant de glisser le long d’un plan incliné, en le pressant perpendiculairement contre ce plan. Si nous voyons tons les jourÿ arriver le contraire, c’est que les surfaces des corps, même les mieux polis, sont hérissées d'une. in- Bnité d’aspérités qui s’engagent entre elles dans le contact de ces surfaces, et les empêchent de glisser librement les unes sur les autres. Or , nous avons fait abstraction de cette propriété des corps, et de la résistance particulière qui en- résulte, et que l’on nomme la force du frottement.

204. lorsqu’un corps pesant s'appuie à la fois sur plusieurs plans inclinés , en considérant son poids comme une force verticale qui passe par son centre de gravité, on trouvera les conditions de l’équilibre d’après ce qui a. été dit (195), et les pressions respectives que souffrent les points de contact, lorsque ces pressions sei^ont déterminées.

Si nous considéron» simplement le cas où le Fi^. fis. corps est soutenu aux deux points 1 et O {fig. 68) par deux plans inclinés HI , HO , il faudra (196) que les deux normales IA, OA, à ces plans, aillent concourir en un même point A de la ^rticale GP qui passe au centre de gravité G

du corps , et qui représente la direction de son poids. De plus, comme le poids P de ce corps doit pouvoir se décomposeir suivant ces normales, il faudra 'qu’elles soient toutes deux dans un même plan avec la direction GP, et par conséquent, dans un plan vertical.

.^Ces conditions suffisent pour l’équilibre ,. et si l’on prend, sur la direction du poids, une partie quelconque AD, qui représente -sa quantité, et qu’on achève» sur AD .comme diagonale , et suivant les . directions AI et AO , le parallélogramme ABCD, la force. P se décomposera en deux autres, représentées par les côtés AB et AC de ce parallélogramme. Ces.deux forces seront respectivement détniitês par les deux plans inclinés, et donneront en même temps les valeurs de leuH prêssioris individuelles.

Observons que le plan des deux normales lA , OA, étant à la fois .perpendiculaire aux deux plans inclinés , est perpendiculaire à leur commune intersection ; mais ce plan est en même temps vertical; puisqu’il passe pai' la verticale GP; donc la commune intersection

des deux plans incliné^ doit être perpeddieulaire à un plan • vertical , cfona elle est horizontale. Ainsi un corps pesant ne peut rester en équilibre entre déux plans’^ inclinés.

. à moins qûe leur intersection ne soit horizontale', cfe qui paraissait d’ailleurs" assez ’évi- • * dent.

De la Vis.

205. La vis est une machine qui se rapporte à la fois au levipr et au plan incliné. On y cony sidère «n général l’équilibre d’un corps qui se trouve en même temps assujetti à tourner autour d’un axe fixe, et à descendre uniformément le long de cet axe, en s’aj)puyant sur une sur- , face inclinée. ‘ • *

Mais pour exprimer clairement la constrûc- . tioh de cette machine, considérons d’abord un '

Fig. 6<> cylindre droit ABCD [Jig. 6g) que l’on déve- ' loppe sur un- plan. Le développement est un rectanglé BEMC dont la basé BE est égale en ‘ ' longueur à la circonférence du cylindre , et . . peut s’exprimer par 2srr, en nommant r le rayon du cylindre,- et ® le rapport de l'a circonférence an diamètre. ‘ •

Divisons le côté BC en parties égales BR,

. RQ, QP, etc.; et, après avoir pris sur EM la’ partie EG = BR , menons BG , et les parallèles RH , QK, etc. . i

Si l’on replie le* rectangle BEMC sur le cylindre, fa suite des droites BG, RH, etc. , tracera- sur Sa .surface une courbe continue que

DK STATIQUK. agg

l’on uunime hélice, la première droite U(», formant une portion de l’hélice, qui commencera en aboutira en R , où elle sera continuée pât; la seconde droite RH, et ainsi de suite. Chacnne de ces portions de l’hélice, dont les deux extrémités viennent aboutir sur la même génératrice, et qui fait ainsi le tour entier du cylindre, se nomme spire; et l’intervalle compris entre deux spires consécutives , mesuré le long de la génératrice, et qui est partout le même , se nomme le pas dé l’hélice. ,

Puisque, dans le '^développement du cylindre, l’hélice est une suite de lignes droites parallèles, il est clair que la propriété caractéristique de l’hélice est d’être partout également inclinée aux diverses» génératrices qu’elle va rencontrer sur la surface cylindrique. Ix>rsque le cylindre est vertical, elle est donc partout également inclinée à l’horizon, et un pointa, qui repose sur cette hélice, et qifi peut être regardé comme situé sur la tangente en ce point, est dans le même cas que s’il reposait en a' sur un plan incliné QHK , dont la b^c est QH = awr, et dgnt la hauteur IIK est égale au pas de l’hélifce , et sera désignée simplement par h. , ' * .

2')6. Si l’on suppose donc que le point n soit

Statique P. ’’ iij

2IJU ÉLÉMENTS

pressé sur l’Iiélice par uue force verticale p , et soit retenu en même temp» par ùue. force horizontale /, qui , appliquée tangentielien^ent au cylindre, empêche ce point de glisser aur l’hélice, on aura (202)

•“ /:p ;;HK ; QH‘, * ,

ou f P y. h : 2Ùr.

Menons par le point a l’horizontale ao, qui rencontre en o l’axe FI du cylindre, que je suppose fixe. Prolongeons indéfiniment cette droite , et considérons-la comme un levier inflexible , mobile autour du point fixe o.

Au lièu d’appliquer immédiatement au point a une force horizontale /, pour retenir ce point sur l’hélice , on pourrait appliquer une autre force parallèle q en un point quelconque du levier bo; et cette force q ferait sentir au point a la même impressicAi que la force /, si elle était à celle-ci dans la raison réciproque des deux bras de levier 6o et ao, c’est-à-dire ( en faisant ^ = R , et observant qué ao est le l'ayon r du cylindre) , si l’on avait • •

mais on a trouvé 'ci-dessus

Donc, eu multipliant par ordre, on

q : P :: h : 2wR; ' •

c’est-à-dire que la puissance horizontale q sera à la 'force verticale p qui presse le point a sur l’hélice , comme le pas de l'hélice est à la circonférence que tend à décrire la puissance q autour de l’a.\e du cylindre.

Observons (|ue le rayon r du cylindre , ou la distance de l^hélice à l’axe , ji’eutre plus dans cette pro|)ortion. Ainsi, l’on aura toujours le même rapport entre la puissance q et la foi^ p, quel que soit le cylindre sur lequel, l’hélice est tracée, pourvu que le pas de cette hélice.soit le même.

On ne doit pas perdre de vue d’ailleurs que l’on n’a supposé le cylindre’ vertical que pour mieux fixer les idées et simplifier le discours;

mais que tout ce qu’on a dit de la force verticale p et de la puissance horizontale q , doit s’entendre en général 'd’une force parallèle, à l’axe du cylindre , et d’une puissance qui agi-rait dans un plan perpendiculaire au même axe , à la distance R de oette ligne.

Îi07. Actuellement il 'n’est pas difficile de définir la vis et de trouver les conditions de son équilibre.

IA vis est un cyli

roit revêtu d’un

3p2 ÉLKMElNTiJ

filet sni^nt eugendi'é par le plan d’un triangle, ou d’un parallélogfamme , ou d’une figure quelconque qui, s’appuyant par sa base sur une génératrice, tourne autour de l’axe du cylindre,' en descendant le long d'une hélice tracée sur sa surface. Tous les points qui composent le filet de la vis peuvent donc être regardés comme appartenant à des hélices décrites sur des cylindres de même axe, mais de rayons différents. Or„touteS ces hélices ont évidemment le même pas , et c’est ce que l’on noiftme le pas de la vis.

lia génération de l’tVroM est la 'même. Concevons un pièce M, de figure quelconque, pénétrée par le cylindre : le triangle ou le parallélogramme qui produit sur le cylindre le filet de la vis, produira dans l’inléi icur de cette pièce un sillon ou creux parfaitement égal au filet, et que celui-ci remplira exactement; et cette seconde pièce, qui peut être regardée comme le moule de la première , forme réerow de la vis. ^

Maintenant, si l’une de ces deux pièces est fixe , il est clair que l’autre lui est tellement assujettie, qu’elle n’a plus qué la .liberté de tourner auto.nr-de l’axe du eylindre, et de descendre en même temps sur la seconde, comme sur une surface .^^hiée. Il y a donc,' entre

les forces qui se feraiént équilibre sur la pièce mobile, des relations particulières qui dépendent de son assujettissement à la seconde; et ce sont^ces relations qui constituent les conditions de l'éqililibre dans la .vis.

On ne considère ordinairement qûè .deux forces appliquées à la pièce mobile : l’une P parallèle à l'axe, et qui tend à la faire descendre en tournant autour de cet axe; l’autre Q située dans un plan perpendiculaire à l’axe, et qui, au moyen d’un levier, teiid à la faire remonter en sens contraire. Pour fixer les idées, nous supposerons ici que l’écrou soit mobile {fiq. 70) et que la vis soit fixe :1e i-apport desFig. 70. denk forces P et Q serait absolument le ihéme dans le cas où, l’écrou étant fixe, la vis serait mobile. •

D’abord , si l’écrou ne posait que par un seul point sur le filet de la vis, en nommant h le pas de la vis, et R le bras de levier de la puissance ou la distance à l’axe, on aurait, d’après ce qu’on a vu ,

Mais, en quelque nombre de points que l’écrou s’appuie sur le filet, on peut imaginer que la résistance P est décomposée en autant de forces parallèles />, />', p", etc. , qui pres-

2g4 * ÉLÉMENTS

sent en ces différents points , et que la puissance Q est partagée en autant de forces q, q", etc.j dont chacune fait équilibre en particulier à la fprce qui lui répond parmi les forces p, p', p", etc.; et, comme on a constamment *

' q \ P y. h : 2®R, q[ pf y h 2srR , q" \ p’ y h ; 2crR , etc. ,

on aura

q-t-p'-t-p'... ou Q;p-t-p'-l-p"... ofti P; :/i:2BrR;

c’estrà-dire que, dans l'équilibre de la vis, la puissance qui tend à faire tourner l'écrou, est à la résistance qui le presse dans le sens de l’axe, comme le pas de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.

Ainsi la puissance a d'autant plus davantage pour contre-balancer la résistance, ou pour comprimer dans le sens de l’axe de la vis , que cette puissance agit à une plus grande distance de l’axe , et que le pas de la vis est moindre.

Du Coin.

208. Le coin est tin prisme triangulaire ÂF Fit-ri-ifiq. 7x), que l’on introduit par l’une de ses

arêtes EF entre deux obstacles , pour exercer latéralement deux efforts qui tendent à les écarter. ‘ ■

L’aréte EF, par laquelle le coin tend à s’enfoncer, se nomme le tranchant du coin; les deux faces adjacentes ADFE , BGFE, se nomment le^ .côtés; et la face opposée ABGD, la tête. ' ^

G’est sur cette face qu’on applique le coup, au moyen d’un marteau ou d’un corps quelconque. Quelle que soit la direction du choc, on peut toujours concevoir son action comme décomposée en deux antres. Tune pefpendiculaire à la tête du coin , et qui obtient tout son effet sur lui; l’autre parallèle, et qui né lui imprime aucun mouvement, parce qu’elle ne peut tendre qu’à faire gli.sser le marteau sur ce coin.

Nous supposerons donc sur-le-champ que la puissance soit appliquée perpendiculairement à la tête du coin , ' et nous chercherons simplement les éfforts qui en résultent contre les deux obstacles perpendiculairement aux deux côtés.

Par la direction de la puissance P, et perpendinilairement aux arêtes . du coin , faisons pas.ser une section MNO ( fig. 73); la ligne MN Fig 7^ pourra représenter la tête du coin, et les deux

lignes MO et KO les deux côtés. D'un point A pris' sur la directiuu de la puissance, abaissons deux pe^peudiculaires AB, AG ’sui’ les côtés MO, NO; prenons la partie AD qui représente la quantité et la direction de la puissance P, et achevons le parallélogramme ABCD.

puissance P, représentée par AD, se décomposera en deux autres Q et R , représentées par AB et. AC^ et qui exprimeront les efforts exercés perpendiculairement aux côtés MO, NO^ On aura -donc P:Q: R comme AD; AB; AG; ou, efl mettant .BD au lieu de AG, comme AD ; AB ; BD , c’est-à-dire, comme les trois côtés du. triangle ABD.

t- j'Mais ce triangle est^semblable au triangle MNQ,' parce que les côtés AD, AB, BD sont ’respectivement.perpendiculaires aux -trois côtés

' MK, MO, NO. ''

On aura donc ; v ' -