Considérons premièrement un po

funiculaire ,c'çst-k-dire un assemblage de points liés entre eux par des cordons parfaiteii|eti( flexibles et inextensibles.

On .sait d'abord, que si tcois forces P, Q, R

3oo ‘ KLÉMENTS ^

Fis- {Jig- 74 ) dirigées, suivant les aHes de trois cordons APi AQ, AR, sont en ^uiUbre autour d’un même point A, chacune de ce» forces doit être égalé et directement opposée à la résultante des deux autres;

II’ faut donc, 1°. que les axes des trois cordons soient dans un même plan ; 2’.- que les rapports des forces soient tels, que chacune d’elles puisse être représentée par le sinu» de l’angle fo«hié parles directions des deux autres. Ainsi Ton à, pour l’équilihre, cette suite de rapports :

211. Si Ton suppose qne les extrémités des cordons AQ, AR; soient fixes, les valeurs de Q et R , données par les rapports ci-dessus, exprimeront les efforts que supportent ces points fixes n i^rtu de la force P, ou les tensions des deux ^jAQiAR.

^Ait que ces tensions seront d’autant plus gpâisdVîs que Taogic QAR sera phis obtus, et qu'eRes deviendront infinies, si cet angle dev'iéûliégftl à deux angles xlroits.

« nie torde tendue en ligne droite è deux

pointsrftxcs sera donc nécessairement rompue par la plus petite force qui lui serait appliquée transversalement , «i cette corde , n étant pa«

DE STATIQUE. . 3o l

susceptible île s’étendre, n’a pas d’ailleurs une résistance longitudinale infinie.

212. Les conditions précédentes pour l’équilibre des trois forces P, Q , R , supposent que le point A soit invariablement attaché à chacun des cordons, ou que le -nœud qui les i^eutble soit fixe : mais si le point A pouvait couler le long du cordon R AQ {Jig. ’]S ) , comme ferait Fie. un anneau infiniment petit, .enfilé par ce cordon, alors il ne suffirait plus que les forces P,

Q, eussent les relations données oi-dessus, ü faudrait encore que la direction de la force P divisât en deux également l’angle formé par les deux parties de la corde QAR. ri;

En- effet, si Ion suppose que .l'équilibre ait heu, et qu’on fixe invariablement deux points F et F' pris où l’on voudra sur ces cordons, il est clair que le ^jnt A est dans le mênae cas que s’il avaU la Uberté de se moüvoirtdhns une ellipse dont .F et F' sont les deux et AF, 'AF', les rayons -vecteurs. ||Pr, pour qu’il soit en équilibre sur cette courbe en vertu de la force P^ il faut que cette force soit perpendiculaire à la .tangente à relli|iue. en ce perint (‘190)-, et par conséquent divise en deux pattiés égales l’angle FAF', formé par les rayons vecteurs. < . •.

3o2 éléments

Ainsi, dans le cas d'un nœud coulant, les deux parties de la corde le long de laquelle le nœud peut glisser doivent être également tendues. ■ ' .

215. On voit en même temps que, si l'on’ suppose le point ou l'anneau A fixe, les deux forces Q et B , appliquées au cordon QAR qui passe dans cet anneau, doivent être égale* entre elles pour l’équilibre, et que la pression exercée par les deux forces sur le point fixe A est dirigée suivant laf ligné • qui ■ divise en deux parties égales l’angle formé par les deux >parties du cordon.

Quant au rapport de cette pression P à lu tension Q du cordon, ou aura , en nommant a la moitié de l’angle QAR , P : Q : ; sin aa ; sin a : ou bien, P î Q : : a cos a 1 .

D’où l’on voit que la pression exercée sur le point A est égde à la tension dp la corde multipliée par le double cosinus de la moitié de l’angle Q^.

214. Actuellement soient plusieurs points 76. A, B, D(^. ',76), liés eutre eux par des

Cordons AB, BC , CD , et tires par de§ forces N , P, Q , R , S , T, suivant d’autres coCdorns , mais de manière que chacun des poidts ou

DE STATIQUE, ;5o.i >

nœuds A, B, C, O n'en assemble pas. plus de trois en même temps. ,

Si tout le système est , ep équilibre , chaque point doit être en éqûilibre de lui*même , en vertu des forces qui lui sont appliquées et des tensions des cordons adjacents. Le point A, par exemple , n’étant lié immédiatement qu’au seul point B, doit être en équilibre en vertu des deux forces N et et la tension du cordon AB; car les autres points G et D ne peuvent, réapir sur lui que par le cordon AB. * ‘ -

Il faut donc que les trois cordons AN , AP, AB soient dans un même plan ; et si L’on nomme X la tension du cordon AB, il faut qu’on ait les rapports suivants :

N : P sini’AB : sinNAB,

' ' P : X sin NAB sin NAP.

De même, le point B doit être en équilibre ' en vertu "de la force Q et des tensions suivantes BA et BC. Or, la tension du cordon AB est la même que tout à l’heure; car l’action du point A sur le point B est parfaitement égale et contraire à l’action du point B sur le point A. Nous ' avons nommé X- cette tension, nommons V celle du cordon BG; on aura

X ; Q i; sin QBG ; .sin ABG,

Q ; Y sinABC ; sinQBÀ.

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3o4 éléments

L’équilibre du point C donnera de même

• Y ; H ; ; sin RÇD : sih BCD ,

Il ; 2 ; ; siii BCD ; sin BCR.

On aura de même pour le point D deux pço- ' portions, ete. ; et ainsi de suite, s’il y avait un plus grand nombre de points.

Ên multipliant ^ar Ordre un nombre convenable de ces proportions, on -trouvera le rapport de l’une quelconque des forces, à telle autre force ou tension que l’on voudra. Si Ion multiplie les trois premières , par exemple , on aura le rapport.de N à Q. Si l’on multiplie les quatre premières, on aura celui de N à la tension Y ; etc.

215. Si les directions, prolongées des forces P, Q, R,S divisent en deux parties égales les angles respectifs, NAB, ABC, BCD, CDT, du polygone funiculaire , les cordons AN , AB , BC , CD, DT seront tous également tendus; car on aura, par les rapports précédents,

Déplus', en nommant aa, 2j3, a 7, ad. les angles dn polygone, ou aura, par les mêmes proportions,

l’ ; R ; S cosa ; cos^ : cos : cosd;

DF. STATIQUE. ' 3o5

c’est-à-dire que les forces appliquées aux divers au{]les du polygone seront proporlidnaelles aux cosinus des moitiés de ces angles.

Donc, si, au lieu des forces P, Q, U, S, on substitue des points Hxes A, B, C, D par> dessus lesquels passe la Corde NABCDT , d’abord les deux forces N et T qui tirent les extrémités de celte corde seront égales entre elles, et la corde sera partout également tendue; et en second lieu, la corde pressera sur chaque point en raison du cosinus de la moitié de l’angle formé eu ce point, car chacun des points fixes A, B, C, D, tient lieu d’une force qui divise en deux également l’angle formé par les deux paiTies de la corde qui y passe (215). lo.

216. Supposons que les deux côtés contigus AB, BC soient égaux : le cosinus de la moitié de l’angle compris est marqué par le rapport de l’un des côtés au diamètre du cercle qui passerait par les trois points A, B, C. Donc, si tous lescôtésdu polygonefuniculaire sont égaux enti'eeux, on peut dire que les forces P, Q, B, S sont réciproques aux diamètres de ces différents cercles dont chacun passe par trois angles consécutifs du polygone.

Or, en considérant une courbe comme un polygone d’une infinité de côtés égaux, chacun

Statique P.

3oG

des cercles dont il s'agit devient, en chaque point de la courbe , ce qu'on nomme le cercle osculateur, c’est-à-dire le cercle qui' a la même courbure en ce point.

Donc,' lorsqu’une courbe funiculaire rentrante sur elle-même, ou dont les deux bouts sont fixes, est tirée eu tous ses points équiciistants par une infinité de forces normales qui se font équilibre , la corde est partout également tendue, et chaque force normale à la courbe est réciproque au rayon de la courbure dans le point où cette force est appliquée.

On a un exemple très- simple de cet équilibre dans une corde tendue par deux forces sur le contour d’une courbe fixe quelconque; car chaque point de la courbe fixe tient lieu d’une force qui serait dirigée suivant la normale à cette courbe. Ainsi, dans l’équilibre de la corde, la tension est partout la même , et chaque point de la courbe fixe est pressé suivant la normale en raison inverse du rayon de courbure.

217. Le polygone funiculaire NABCDT étant en équilibre en vertu des forces N , P, Q , R , S, T, côncevons que sa figure devienne parfaitement invariable, de manière que les points A, B, C, D ne puissent plus changer leurs

distances mutuelles : il est clair qiie l’équilibre subsistera toujours. Mais alors, les forces N, P, Q, R, S, T étant en équilibre sur un système invariable, l’une d’elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres ; ainsi ces autres forces ont une résultante. Or, comme cette résultante est exactement la même que si toutes les composantes s’étaient réunies parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de sa direction , il s’ensuit que chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite , comme il le serait par la résultante de toutes les ' autres forces qu’on y transporterait parallèlement à elles-mêmes.

^8. Lorsque les cordons extrêmes AM, DT sont dans un même plan , les deux forces N et T ont une résultante; et, d’après ce qu’on vient de dire, cette force doit être égale et directement opposée à la résultante V des autres forces

P, Q,R,S, comme si le polygone était invariable de figure. La résultante des forces P,

Q, R, S appliquées aux angles du polygone, doit donc passer par le point O où vont con-, courir les deux cordons extrêmes ; et par conséquent si les deux extrémités N et T de ces cordons sont fixes , on aura sur-le-champ les deux efforts que supportent ces points fixes ,

ao. .

3o8 ÉLÉMENTS

on les tensions des cordons AN , DT, en décomposant^ au point O, la résultante V en deux forces N et T dirigées suivant ces cordons.

On trouverait de même les tensions de deux cordons quelconques situés dans un même plan , en prenant la résultante des forces appliquées sur les nœuds intermédiaires, et la décomposant suivant ces deux cordons au point où ils concourent ; car si un polygone funiculàire est en équilibre, une partie quelconque de ce polygone est aussi en équilibre d'elle-même , en vertu ‘des forces appliquées sur 'cette partie, et des tensions des deux derniers cordons que. l’on y considère.

219. Lorsque les directions des forces P; Q, 77 R, S, sont toutes parallèles (^gr. 77), on a toujours pour les forces et les tensions les mêmes proportions que ci dessus (214); mais il faut une condition de plus pour l’équilibre ; c’est que toutes les forces -P, Q , R , S et les côtés du polygone soient dans un même plan ; car , autour de chaque nœud , les cordons doivent être dans un même' plan (210). Mais, si le cordon BQ est parallèle au cordon AP, le plan PAB des trois premiers cordons est le même ([ùe le plan ABQ des trois suivants, et ainsi de suite.

OK STATIQUK. 3o(j

IJatis cette liypoth«>se de puissances parallèles, cüiiime on a

sin PAB = sin QBA , sin QB(J = sin RGB , etc. ,

on trouvera par les proportions (214) que les tensions successives N, X, Y, Z, T, sont réciproques aux sinus des inclinaisons des côtés sur la direction des puissances parallèles P, Q . R, S, et qu’ainsi chacune des tensions est représentée par la sécante de son inclinaison sur une perpendiculaire à ces puissances.

Cela pourrait se voir aussi , comme au n«218 en comparant immédiatement les tensions de deux côtés quelconques, qui seront toujours ici situés dans un même plan.

Mais, pour avoir des expressions plus simples et plus commodes, regardons toutes les forces appliquées au polygone comme étant verticales, et supposons cpi’un des côtés de ce polygone soit horizontal.

Si l’on voulait comparer la tension t d’un côté quelconque à la tension a du' côté horizontal d’où l’on part, on imaginerait ces deux côtés prolongés jusqu’à leur rencontre, et l’on supposerait en ce point une force verticale V égale à la somme des puissances appliquées sur les noeuds intermédiaires, et qui ferait équilibre aux deux tensions a ci t.

On aura donc , en nommant f l’inclinaison de la tension t sur la tension horizontale a ,

t a y. 1 ; cos f ,

ou l = aséccp : doù l'on voit que, dans l’équilibre d’un polygone funiculaire tiré par des puissances, verticales, la tension de chaque côté est proportionnelle à la sécante de l’angle que fait ce côté avec l’horizon.

On aurait eusuite

< : V ; : I ; sin^;

ce qui donne la tension d’un côté quelconque exprimée par son inclinaison sur le côté horizontal , et par la somme des puissances parallèles qui agissent entre ces -deux côtés.

On auràit enfin (ce qui, d’ailleurs, est une suite des deux proportions précédentes)