V : a ; : sin 9 : cosy

ou V = n tangç; d’où l’on tire ce théorème relatif à la figure que prend le polygone en vertu des forces appliquées : la tangente de l’inclinaison de chaque côté sur t’horizon est proportionnelle à la somme des jmissances verticales appliquées sur le contour, depuis le côté le plus bas jusqu'à relui que l’on considère.

DE STATigi’E.

De la Chaînette. ,

220. On peut considérer une corde pesante comme un fil chargé d’une infinité de petits poids distribués sur toute sa longueur, ou comme un fil sollicité eu tous ces points par de petites forces verticales, et par conséquent parallèles. On voit donc que si cette corde est attachée à deux points fixes S et T (fig. -yS), elle ne peut demeurer en équilibre, à moins qu’elle ne soit tout entière dans un plan vertical. Elle forme alors un polygone funiculaire d’une infinité de côtés, ou plutôt une ligne courbe que l’on nomme la chaînette. '

Pour trouver les efforts que la corde exerce sur les deux points S et T qui la soutiennent , on mènera à la courbe en ces points deux tangentes SO , TO , qui seront comme les, prolongements des derniers côté% du polygone funiculaire; appliquant ensuite au point O une force égale à la résultante de toutes les forces qui la sollicitent, c’est-à-dire égale au poids total de la corde, ou décomposera cette force çn deux autres dirigées suivant les tangentes OS , OT , et qui exprimeront les charges respectives des deux points de suspension (^218).

On trouverait de même la tension de la

Fig 78.

by Googit;

KLKMIüVTS

corde en un point quelconque, en imaginant que ce point est fixe , et eu cherchant, comme ci-dessus, la charge qu'il éprouve par le poids du reste de la corde qui demeure en équilibre au-dessous. ’

Au reste, si l’on nomme t la tension en un point quelconque M de la chaînette, a celle qui a lieu au point Rie plus bas, V le poids de l’arc s compria entre ces deux points , et l'angle formé avec la ligne horizontale par la tangente à l’extrémité de l’arc s, on aura entre ces quatre quantités les mêmes équations qu'au n” 219.

On voit doiic, par la première équation l = a séc , que , dans une corde j>esante en équi~ libre, la tension en chaque point varie comme la sécante de l’inclinaison de la courbe sur la ligne horizontale.

Par la' seconde équation V = t sin^, on voit que la t^ion à [extrémité d’tm arc quelconque de la c»rde est égale au poids de cet andivisé par le sinus de l’inclinaison de la corde en ce pohtt. *

Et l’on doit remarquer que ces équations ont lieu quelle que soit l’inégalité de la corde ou chaîne pesante que l’on considère.

Si la chaîne est. uniforme, on peut représenter le poids V de l’arc s par la longueur de cel arc lui-méme , et la troisième équation

DE STATIQDK. 3 1 3

devient s = n tang 9 : équation très-simple de la chaînette entre les coardonnées s et 9.

Ainsi (a chaînette est une courbe telle, que la tangente de son inclinaison sur un axe Horizontal augmente comme la longueur de l'arc à partir du point 1er plus bas. 0

Cette courbe est donc la même à gauche et à droite de l’axe vertical qui passe paé le sommet B, et, cômme la parabole, elle a deux branches égales qui s'étendeut à l'infini. '

Il est même aisé <le voir que le rayon R de la courbure y est exprimé par R = a : cos*9, et qu’ainsi il est réciproque au carré 'du 'cosinus de l’inclinaison de la courbe son. axe horizontal» m un

<Car, en considérant une courbe comme 4in polygone d’une infinité de côtés égaux c, on a, pour le rayon R du cercle décrit sur deux côtés consécutif comme' cordés, i * ;

'R == c ; 2 sinê,

en nommant 2i l’angle extérieur du polygone («»«)• .

Or, 9 étant l’inclinaison du-premier côté, et par conséquent 9 -f- as étant celle' du second , on a ici par les deux équations s = a tang9 et s c = a tang(9 -t- as) , l’équation

c = e[tang(9 -+■ 2e) — tang9], -tr

Dig^ize-j Oy Googk

expression qu'on peut ramener à celle-ci : 2sini*tcos<

COSf.OOS ((Ji-4-2»)

On a donc

„ c cos f

2Sinc COSf .COS(f -|-2l)

d'où l’on tire, en faisant l'angle extérieur ut égal à zéro (afin de passer du polygone à la courbe même),

ce qu-il fallait démontrer.

221. Ce qu'on vient de dire d’une corde pesante, ou d’ub assemblage de petits corps pesants unis ensemble par un fil inextensible, pourrait' s'appliquer à plusieurs globules appuyés les uns contre les autres , et qui se soutiendraient mutuellement en voûte. Us doivent affecter alors la forme d\ine- chaînette renversée : car , si tous ces globules , à cause de leur impénétrabilité mutuelle, sont en équilibre eh vertu de leur poids ■ ou des forces verticales qui les sollicitent, il est clair quils demeureraient encore en équilibre si ces forces venaient toutes à agir en sens contraire, pourvu qu'alors on supposât tous ces globules liés deux à deux par un fil inextensible;

mais alors ce fil formerait une chaînette renversée : donc il a actuellement cette figure.

C’est encore la figure que prendrait une voile verticale enflée par le vent; car, considérez dans cette voile une section quelconque horîzdùtale s que nous regarderons comme un polygone d’une infinité de côtés* égaux : il est visible que le nombre des molécules d’uir qui viennent rencontrer un de ces côtés est proportionnel , non pas à la longueur c de ce côté , mais à sa projection c.cosç sur une perpendiculaire à la direction du vent. Ainsi la force c|ui vient sur chaque élément de la courbe s est proportionnelle au cosinus de son inclinaison 9 à la perpendiculaire dont il s'agit. Mais cc^tto force n’agit pas tout entière sur la voilë : car, à la rencontfe du côté c, la vitesse v de chaque molécule d’air se décompose en deux : l’une 0 sin 9 parallèle à r, et qui ne tend qu’à fair« glisser cette molécule sur la voile sans y produise»» aucun effet ; l’autre v cos 9 perpendiculaire au côté c , et qui seule agit pour tendre cette voile. La force normale qui presse chaque élément de la courbé.s est donc proportionnelle à cos *9. .

Mais une courbe étant tenue en , équilibre par des forces normales appliquées en tons ses points équidistants, chacune d’elles (216) est réciproque au rayon -de la copîrbure dans

il O KLK.MKISTS

le point où cette force est appliquée : et vice versa ce rayon est réciproque à la force. Or ici la force est proportionnelle à cos *9 : donc une section quelconque horizontale , faite dans, une voile verticale enflée par le vent, est de telle nature que le rayon osculatenr y est réciproque- au carré du cosinus de l’inclinaison, de la courbe sur une perpendiculaire à la direction du vent ; ce qui est précisément une chainctte dont l’axe serait dans cette direction (220)’. ,

Des Poulies et des Moufles.

222. Considérons maintenant un système de poulies mobiles A, A', A" {jig. ■yq). La première A , qui soutient un poids P attaché à sa chape , se trpuve embr^ée par une corde dont l’une des extrémités F est fixe , tandis que l'au- ^ est attachée à la chape de la poulie sui- 4l|pte A'; cette seconde poulie est de même embrassée par une corde dont l’ane des extrémités P est fixe, tandis J que l’autre.jest attachée à la chape de la troisième poulie A'.^ et ainsi de suite jusqu’à la dernière , dont le^cordon, arrêté d’une partià.uu -point. fixe P'.j.cst tjré de l’autre par une puissance Q.

t Si tout le système est en • équilibre , chaque poulie e%t -en équilibre d'elle-‘même , en vertu

UK STATIQUE. 817

des forces oa des tensions qui agissent sur elle.

Ainsi , nommant r, r', r" les rayons respectifs des poulies; c, c', c" les sous-tendautes des arcs émbrassés par les cordons j X la tension du premier cordon; Y celle du suivant; on aura pour l'équilibre de la poulie A (185),

On aura de même pour l'équilibre de la poulie A',

et pour la troisième A",

fit

V ‘ “tb ^ .lU .

en multipliant par ordre , il viendra ■

Q : P ■. t rr'r" ; reV",

c’est-à-dire, la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des poulies est an produit des sous-tendantes des arcs embrasiés par les cordons.

225. Si tous les cordons deviennent parallèles (Jig.So), les souà-tendantes c, r',- r" de-FîB. 80. viennent égales. aux diamètres ar, ar' ar", et l’on a, en divisant les deux termes du dernier

rapport par le produit tr’r'\

c’est-à-dire qu’en général la puissance est ayi poids comme l'unité est au nombre 2 élevé à une puissance marquée par le nombre des poulies.

C’est le cas le plus favorable à la puissance ; car le produit des sous-tendantes c , c\ c" est le plus grand pQssible , lorsqu’elles sont égales aux diamètres.

Si, dans chaque poulie , l'arc embrassé par la corde était le tiers de la demi-circonférence , les sous-tendantes de ces arcs seraient égales aux rayons respectifs des poulies, et la puissance serait égale au poids.

224. Cne moujle est un système de poulies assemblées dans une même chape, ou sur des Fig. 81, axes particuliers (yÇÿ. 81 et 82), ou sur le même 8a, 83. axe 83).

Considérons deux moufles, l’une fixe et l’autre mobile , et supposons que toutes les poulies soiem.embrassées par une même corde attachée par tme extrémité à la chape de l’une des moufles , et tirée à l’autre extrémité par une puissance Q, qui fait équilibre à un poids P .suspendu à la moufle mobile.

Si l’on suppose, ce qui a prc:'.(|tie toujours lieu d’une manière sensible, que les diverses

DE STATIQUE. Jiy

parties de la corde soient parallèles, il est visible qn’on aura : la puissance Q est à la rësisemce P, comme l'unité est au nombre des cordons qui soutiennent la moufle mobile; car, toutes les poulies étant embrassées par la même corde, et devant être en équilibre, chacune en particulier, les cordons sont également tendus. On peut donc considérer le poids P 'comme soutenu par autant de forces égales et parallèles qu’il y a de cordons qui vont directement d'une moufle à l’autre, et par conséquent la teûsion de l’un des cordons, ou la puissance Q, est au poids P comme l’unité est au nombre de ces cordons.

Ainsi, dans le cas de la fig. 8i, la puissance est le sixième de la résistance; et daaas le cas de ’ la fig. 82 , elle n’en est que le cinquième , parce qu’il y a un cordon de moins pour soutenir la moufle mobile.