Considérons enfin un système de tours

A , A', A" qui réagissent les uns sur les autres , comme on le voit dans la fig. 84- Soient r, Fig. sj r', r" les rayons respectifs de leurs cylindres ;

R, R', R" ceux de leurs roues. La corde appliquée tangentiellement au premier cylindre porte, un poids P, et la corde appliquée à la roue, au lieu d’être tirée irnqiédiatement par

3ao

KLKMENTS

uoe puissance, est attachée au cylindre du second tour A'. La roue de celui-ci est de même tirée par une corde qui passe sur le cylindre du troisième tour A", et ainsi de suite jusqu’au dernier, dont la roue est tirée par la puissance Q.

Si le système est en équilibre,, chaqüe tour est en équilibre de lui -même en vertu des tensions des cordons qüi sollicitent le cylindre et la roue. Ainsi , en nommant X la tension du cordon qui va du premier tour au second , on aura ( 186)

en nommant Y celle du cordon suivant , on aura

et de même pour le dernier tour ,

Q : Y :: r" : R"; et multipliant par ordre ,

Q ; P ; ; rr'K : RR'R",

c;’est-à-dire , ta puissance est à la résistance comme le produit des rayons des cylindres est au produit des rayons des topes.

UE STATICJUE.

Des Roues dentées.

226. Si Fon rapproche tous ces' tours, de manière (me la roue dir premier devienne tangente au cylindre du second, et qûe la". roué de celui-ci soit tangente au cylindre ‘du troisièmé , cl%l^si de suite , ct'si l'on supposé que chaque roue s’engage' àu^cylindre contigu , de teUe sorte qu’elle ne puisse tourner s'ans faîte tourner ce cylindre, et' réciproquement ,' on pourra supprinier les cordes qui lient tous ces tours, et l’on aura toujours le même rapport que ci-déssus'entre la puissance et la résistance.

Pour engager solidement chaque roue av£C le cylindre du tour suivant 65 ), on pra-Fiu.gs tique à leurs éirconférencés des. dents égale-' ment espacées , qui engrènent les unes dans le's autres’, dé manière que. chaque’ rbue, qu'on noidrne alôrs roue dentée, ne 'peut -tourner sur son axe, sans que le cylmdre, qu’on’ nomme alors pignon, ne tourne en même temps'sur le sien.

On a donc, pour .l’équilibre ‘de deux forces qui réagissent l’üne sur’ l’autré atr pioycn des ’ roues dentées: la puissance' est à Im'résistance comme ii pfoduit des rayons des pignons. est au produit des rayons des mues.

StaTIQOE P. .21

2Î!7. Ou considère, dans le aie simple,- un pignon que l'on £ait toi/l-ner sur ‘son axe au Fig. 86. moyen ^'une manivelle ce pignon

engçène-avoe une b?rre inflexible Rentée, de manière qu en tourqant sur son axe ^ il oblige la barre à sè *mouvoir dans le sens de sa longueur. .En supposait donc une résistémee .qui s’oppose - directement *au mouvement de cette barre, rèsistançft que l’on peut considérer comme une, force perpendiculaire à l’extrémité du rayon du pignon, il esit visible que , l’on aura ; /ri puissance appliquée à la numivelle est à la résistance, daiu le sens de 'la bdne, comme le rayon du pignon ' est- au rayon de la manivelle. • ^ , •

D’où I ota -voit que l’effort exercé par le cric scra.d’autaut plu§^ cônsidéf able que k rayon du pignon sera plus petit par rapport à celui de la manivelle.

Lorsqu’on veut auçntenter encore la force du cric , sans augmenter le bras du levier de la manivelle et sans diminuer le -rayon du pignon , ny lieu de faire agir immédiatement de pi'gnon sur la barre -dentée , ou la faitagir sur une roiie dentée intermédiaire, et c’est le

DÉ STATIQUE. 3a3

pignon de cette roue qui engrène avec la barre. Alors on a pour l’équilibre : la yuisàance • appliquée à .la manivelle est à la résistance, Hans le sens de ta barre ÿ comme. le produit des rayons des deux pignons est au prôdlitl du rçLyor\ de- la roüe par te rayon dè la manivelle. •

De la Fis sans fin.

228. On peut encore considérer une vis mobile autour de son axe , et dout le Blet mène les dents successives d’une roue à laquelle il 'se présente toujours d’une manière uniforme ; et , c’est ce qui compose la vis sans fin.

Par^ l’équilibçe déjà vis, on wit (fig. 8"j)rig.sj. que la puissance Q, appliquée à la manivëlle dont le rayon est -R', est à l’effort f , avèc lequel le filet pl-esse la denfdelà roue, comme lè'pas h de la vis est à la circonférence 2®R , que ténd à,décrire la puissance; et l’on a '

Actuellemeùt "si • cette roue dentée, 'd’un rayon A., fait' tourner • un cylindre de ui^nie ‘ axe, et monter un* poids P, suspendu au. bout d’une corde qui s’enroulfe sur ce cylindre, ^on aura par l’équilibre du treuil ,' en faomm'ant a le rayon du cylindre.

KLIÎMENTS

Fig. 88 et 8<>

et multipliant par ordre,

Q ; P r: oA : 2ctR.a,

c'ept-à^dire, la pui^nce est au poids comme le produit du pas de la vis par le rayon du treiul est au prodxdt du rayon dp la roue dentéej^pr la circonférence que tend à décrire la putssancé. • . . ' •

r D’ûue machine noiwelle quon a nordmée le • ’ Genou.

229. Cette lùacliine est composée de deux barrçs ou vçrges roides AO, BO(^ÿ. 88 et 89), jointes ,-en O par une charnière sur laquelle elles peuvent tourner comme les deux brandies d*ün contpas. L’extrémité A de Id première' est liée par une autre charûièré'à une bai-rè'inébranlable AC, de sorte tj^ue cette branche AO est comme un levier dont l’appui fixe est au point A; mais l’extrémité* B de la ' seconde braetche ne fait <jue poser sur* la barre’ inébranlable, pu plutôt elle’ est contenue dans’Ia rainui’e fixe AC,. lé \ong de' laquelle elle, petit glisser librement. ' '

’ Par la dature’ même 3e cet ‘asseUiblâge , il e'st évident que, si une puissance agit pour

Digitizud by Googic

faire tourner la branche 4)A autour du point A ^-et rapprocher ainsi le point O de l’axe fixe AC, 'l’angle O 'du genou tend à s'ouvrir,* et le point B tend à s’éloigner -de A en glissant dans la rainure AO. Donc, si l’ou appliquera B Une force convenable’ en sens contraire, elle fera équilibre à la puissance ; et 'é’est dans le rapport de ces deux forces que consiste la loi de cette machine, qui dépend, comme on voit, de la théorie du levier et du plan inciiué.

Ah lieu d’appliquer immédiatement la puissance P à la ‘branche OA, on rapplique” ordinairement à ’iine barre mn sofidement liée avec

elle;’ et c’est à l’aide de cette barre mn qu’on agit sur le genou , pour exercer en B , le longde la rainnre, l’effort Q ou la pression qu’on veut produire. •

Supposons donc que là puissance P agisse au point n , perpendiculairement à la distance An , ce qui est la position Ja plus favorable, à l’action de cètte puissance, et réduisohç touta la v. figure nux lignes droites OA , OB, AC, 'An, qui sont toutes dans un même plan avec les directions des forces 'appliquées.. • • » ' ■

Si I qn considère d’abord cette puissance P qui tend à faire* tourner ^e^ levier AO aytdur du point A, et qu’on cherche avec quelle force X elle pousse le point O, et pAr cnnstiqilent

le point B, dans le-sensüB^ on verra, par la loi du levier, que ces deux forces P et X sont ’ entre ‘elles comme leurs bras dfe levier kh et An, de sorte qu’on aura P ; X \’.'Ah : An; ou si l’on fait, pour abréger, le bras An. = r, le côté AO = a , et par conséquent AA a= n sin O ; en désignant par O l’angle du genou, oh aura plus simplement •

P : X ; : a sin O : r.

Actuellement , cette force X, qui pousse B .vers le plan incliné AG, est à la force Q , qui retient ce point le long* du même plan, comme le rayon est au cosinus de l’inclipaison OBA ; de sorte qu’en nommant B cet angle, on a ,

X ; Q : : 1 : cosB ; et , multipliant par ordre , il vient

P ; Q ! ' fl sinO ; r cosB,

proportiou qui contient la loi. cherchée de l’équilibre du getioM-

5250/ On pourrait -encore présenter la démonkration précédente d’une manière aussi simple et plus conforme à la méthode générale indiquée ft la fin, ^^u b* 209; car, le système étant supposé en équilibre , chaque partie doit être eh équilibre d’elle-même, en vertu des

DE ÎSTATIQUE. J27

forces appliquées fCl : de la réaction qu’elle éprouve* de la përt des autres parties. Ain^ le levier OA doit éifô en équilibre en vertu de la puissance P et de l’action X du pqint B sur le point O de ce levier, action qui .ne peut avoir lieu^que dans le s^$ BO , et l’on a • , .

P ; X : ; <1 sinO-l r. ‘ '

■bf‘

Maintenant le point B doit étx'e en équilibre dç lui-inéuie en vertu de la force qui le tire le long du plan BA , et de la réaction du point O. qui le pousse suivanl OB contre ce même plan ; et comme cette réaction est encore égale à X , on a , par la tbéorie du plan inclitié ,

. *X rQ-tt r: tfosB, 'f*-

ce qui redonne, en mulûpiiaut par ordre, la ' même proportion trouvée cv-de^us^ .d’où l’on tire

„ PreosB

nsinO ’ ■ •

pour l’exprossiou .de l’effort Q exeroé par. la puissance. . J

Hemarqtie, ' • , ’ *

291. A mesure que l’angle B diminue , l’angle O du gepuu augmente; le factèumcosB. croît donc sans cesse vers l'unité , et le facteur sinO

Digiti^ori by Googte

328 KLKMENTS

diminue -vers zéro, de riiaujère peuvent

approcher de ces limites daussi^ prés qu on voqdrÿ. Or , la résistance Q. étant • prbportionnelle à cosB et réciproque à sinO, op voit, par cette double raison, que la.forc/e Q augmente à m^ure que les deqK côtés du genou s’approchent d’être en ligne droite, et qu’à cette limite elle serait inhnie : ce qui veut dire qu’elle augmente sans bornes, et q'u’ainsi la pression ext^cée par le genou, dans le sens de la rainurë, peut devenir plus grande que tonte pression donnée. ^

On voit encore que la puis^nce a d’autant plus d’avantage , que le côté AO = a est plus court, et queie bras düJevier'A» = rest plus considérable. Par cette dernière raison , il y aura de l’avantagé*, pour une |nême longeur de la barre mn , à implanter cette barre sur le côté le plus près qu’on pourra de l’angle du genou.

' , Si la puissance P, au lieu d’agir perpendicu-

lairement sur la ligne An,» agissait sous un auv« angle quelconque dans le même plan , H faudrait prendre, pour le bras de levier r, la distàpce de cette force au point fixe.

■ , S’il y avait plusieyrs forces pour faire tourner le levier AO , il faudrait mettre dans l’équation précédente , . au lieu du momeitt Pr, la somme des moments de toutes ces forces.

-l|li CliîWQiH!. ; . ^ ‘^.29

■ ' * - r - Jf ■ ■ , / *

Du^ (HOU isoscèle.

232.. Supposoift c|ue le triangle AOB soit isoscèle, et qu ainsi, les angles A et B soient égaujt :i’aBgfe O devient lé supplémeuï de 2B, -

et l’on a sia O =-2'sinB cos B. La proportion donnée plus haut pour l’équilibre^devient donc

B ; Q ; aa sinB ; r,’'*

ou bien, si l’on aiqie mieux introduire dans la . ^

propprtion l’angle^) des deux <s6tés du genou ,

comme l'angle B est complément de - ' on aura

sinB= cbs -, ou simplement sinB cosy ,

en faisant, pour simplifier, 5 =^'ç> , et la propor-

tion ^ra • • *

■ B : Q ; : 2U cos 9 ,

ce' qui donne une expression très-siiiiple de la loi de l’équilibre. -i ‘ *

Mais on peut encore, au lieu des sinus ou cosinus , n’employer que des lignes tirées dè la construction de la 'machine; car il est évidént que le terme 2a sinB, ou za cos 9, vaut ^enx fois la flèche OI = / d’un arc dé cercle qui se- 1

rait conduit par AOB; donc, si l’-on voulait «

nommer simplement cette ligne 01 \ejlèch« du genou", la loi de l’équilibre pourrait s’énoncer de la manière suivante : • ’

Digilizcn by Googlt

* 'Ddfis létfuiliat'e 'Hit genOu dont les côtés sonl égaux , la puissance güi ' teiufkà faire tourner le préniier .côté àutour de son Extrémité fixé, est à la résistance -que l’extrémité mobile dutsecorid côté éprouve dans le sens de la ramure ^ comme le double de 4a flèche' du genou est au bras du levier par lequel agit la puissaïu'e.

233. -J’ai' fait abstraction du poids des pai^ des de lu machine , 'niais i^^ est bien aisé d’y avoir égard. Bt d’abord, là barre AC étant supposée, fixe , sou poids G ne change en rien la proportion trouvée* pour l’équilibre ; il ne fait qu’ajoutér à la pression de cette barre sur ses appuis. Mais le^ poids de 1« première branche AO, que je représente par 2p, favorise l’action de . la puissance; et si l’on suppose, par exemple , que l’axe AG soit vertical, et la branche AO d’une gi'osseur uniforme, de manière que son centre* de gravité tôn4>e au milicU' de AO, il est évident que le poids 2p ajoute au moment Pr de la puissance le. moment pf Enfin le poids apdéla seconde bt^che BO, que je suppose .égal et appliqué' de même au milien de BOi peut -se décomposer en deux forces égales-, l’une // appliquée en O,, l’autre p ap pliqué,e en B en sens opposé de Q. Or la première force p, à- la distance / du, point fixcj ajoute eftcorc au inoiiient de la puissance le

DE STATKirE. Î3l

moment et la seconde, applujuée ; eii B , diminue la force Q de'^. * *•-

Ainsi l’équation. de lVk{uilibre, qui était ^ P.r^Q.2jr, •

devient, quand on a égard au poids de la machine, ■ . •

P.r-Hp/+/>/=(Q -p)2/,-

ce qui donne . ,

P-r — (Q- ap)2/;

d’où l’on voit tjue le poids de la ‘machine, dans la situation que je lui ai donnée, augmente l’effort Q d’une quantité ip égale à la moitié du

poids (fes deux branches mobiles du genou.

Des pressions exercées sur les' appuis.

254. Quant aux pressions que souffre l’axe fixe AC , tant en vertu des forces appliquées que du poids de la machine, voici comment on peut les calculer.

Premièrement , cet axe e'st pre.ssé au point B par une force perpendiculaire V, résultante de X et de Q — p, et dont la valeur est exprimée par (Q —p) cotçi.

En second lieü, le point fixe A est pressé par le poids G de la barre AC et par la résultante de' toutes les- forces qui agissent sur la branche AO, et qu’on transporterait parallèletneut à

33a , ^ KLÉMKNTS

eUes-méoies au puint A. Or, qu’ou décompose 4 abord chacune' de tês pressions* en deux autres, Vune dirigée dafls*Faxe*AG , l’autre perpendiculaire au même axe, on aura, pour les deux composantes de P, Pcosw et P sin u , U étant l’inclinaison de P sur AC^ pour les deux composantes de X, on aura (0— ‘/î) et V ; enfin pour les deux poids ip et p transportés en A, ou aura la force 3p dirigée suivant Taxé AC. Donc, en réduisant, le point A souffrira, dans le .sens de l’axe AC , une pression a égale à G-)- Pco'su -7 Q 4- 4p; et dans une direction ' perpendiculaire, une pression j3 égale à Psin w 4- (Q-^ — p) cot<p. De«sorte que la pression totale du point fixe sera exprimée en grandeur par y/4* 4* /3*> et sera inclinée sur

l’axe AC d’un angle dont la tangente sera

Ainsi l’oi\^ saura avec quelle force l’axe d.u genou doit être retenu en A.et en B , pour n’être pas entraîné par l’acttan combinée des forces appliquées et du poids de la machine.

235. 3’ai cru devoir expliquer cfette machine nouvelle avec assez de détail, parce qu’elle m’^a * paru ingénieuse, et qu’elle n’est encore'démon- Irée nulle* part. Elle est à peu. près du même genre que la vis, mais çFuoe construction beaucoup plus simple: on peut s’en servir de la

DE SïATIQUt. 333^

même manière,* poiu; '«^xerccL, à l’aide d’iiue puissance médiocre, des pressions très-considérables, ou pour former sur certains corps* dé fortes et vives empreintes, ' '

Sur un ancien paradoxe de Statique relatif à • la théorie des Inoments.

256. La loi du levier , comme on l'a vu plus haut) et comme on le sait depuis lon^emps, est que les deux, forces appliquées soient réciproques à leurs distances au point d’appui,^ et qu’ainsi les moments de ces forces soient égaux entre eux pour l'équilibte. ' • . ’

Or il y a une machine singulière, dont. l’idée est due à Roberval, et qiri présente une espè'ce dé levier où, deux poids égaux se font toujours équilibre, quoiqu’on les suspende- à des bças 'de leviec quelconques inégaux; et* de là résulte, dans la théorie des moments, une espèce de paradoxe, qu’on a tâché de .résoudre par une. certaine décomposition de fgrces, mais dont il me semble qu’on n’a point encore donné la vétitable explication. (^F oyez l’article de d' AJènihert, au inot Levier, dans \ Encyclopédie. ) *

Cependant on pouvait éeconnattre' d’abord (jue ce cas' d’équilibre n’a rien de contraire â la loi général»' du levier ; car la machine de Rober-

val ncst point uu véritable levier, c’est-à^irc UQ corps ou une verge roide mobile, autour d’un Seal point 6i(e : c'est un assemblage ou système de figure hnriahle, dans.lequel.il y a deux points fixes, et où il n’est pas- du tout surprenant que la condition de l’équilibre soit tout autre que dans le levier simple. Ainsi, par cette seule distinction que nous avons établie entre une machine simple et une machine cnmposée, le paradoxe s’évanouit. Mais on .n’avait point encore une -d^éfinitign bien précise des machines , ni surtout une idé.e nette des moments , efforts d’un- certain genÿe que Jes couples seuls ont mis en évidence, çt pour ainsi dire rendus ■sensibles dans toute la mécanique. Et en effet, pËr cette tliéoïié des* couples, la machine de RoBeryal n’offre pàs même de dif^pulté : car; à i’aide^des deux points fixes qui existent dans le système , il .peut très-bien arriver- que chacun des couples- qui viennènt.des deux forces appliquées se .trouve séparément détruit .par la résis^nce de «ces pointe, et que, dans une pareille machinç, le, rapport dps moments soit tout ^*fait arbitraire. C’est en efifet * ce qui a lieu, comme on va-lç voir toutA l’heure : et ce cas-singulier d’équilibrei loin ,d’offrir.an paradoxe, .n'est qu'une, nouvelle confirmation de nos principes ; et je ne m’y arrête un instant

Digilized >y G( «

DE ST, ETIQUE. 33i

tjiK; pour en douner, -par les ç<KpleS, la déinoDstratiqn la plus plaire , et pçut-étre Ja Seule exacte qu’on en ait em;oi;e. présentée jusqu'ici.

, De la PaiàUce de RobervaT •

M57. Imaginez ^quatre règl^ deux à deux^^ ^ égales et parallèjes, et‘foini,ân| ijn paralléfo-Fig 90 gramnie hBab^jiç. gor et 9i),“d^nt les côtés 9' • soient mobiles autour des angles A, comme sur dés charfiières.. Supposez que les milieux F et / des deux côtés AB, ab\ soient fixes, et, pour plus de clarté,’ que ces deux points tombent dans la même verticale Vf\ fous aurez une machine foi*mée paC la réunipn de . deux balances égales et parallèles, qui se répondent dans un même plan vertical, et dopt tous les mouvemenîs autour de leurs appuis se suivent sans se nuire en aucune manière : ca,r si

l’une d’elles , AB par exemple , tourne autour de son appui fixe F, l’autre ait tourne en même temps sur le sien dans le même sens et d une même quantité angulaire ; et le paraHélogramme ABa6 prend toutes les figures qu’il peut affecter, en changeant sfs angles , sans changer la longueur de ses côtés.

Si donc, è l’un de ces leviers, tel que AB , et

• 336 Éi.iiM^;WTS •

en dçs ,poÿi\l*(y}elc6ogues de ce levier, «u même de son ^pbolongemc^itn étaient appliquées deux foiA^es^ui së fissent équilibre , il faudrait nécessairement J[u^ ces deux forcés fussent récipnoqu^s fleurs distance^ -au point d’appui F, comnle si le ‘levier AB était ‘seul et'parfaitemént libr;|; ,car ce*levier est libre en effet , puisque l’autre a^'n^fait que suj^ et, pour ainsi dire, répéteç^^sfnfouVemeiits, sans y porter la tnoindra‘elté^tfon. Ainsi les moments devraient êttq^aux de part et d’antre autour du point fixe F, et il n’y aurait là rient^ui lie fût entièrement d’aécord' avec la théorie. •

Mais si, au lieu d’appliquer. les forces ou les deuît poids P et'Q à l’un de ces leviers, on les applique, le premier P* à une barre Kl invariablement fixée à an§le droit sur îe côté B6 qui nuit les deux balances, le second Q à une barre Gif, fixée de même sur Je côté A<r, oh trouve que ces deux poids,- pourvu qu’ils soient égaux, se font toujours équilibre^ quelles que soient les longueurs dès bras IK et GH où ils sont suspendus; et c’est ce qu’il faÿ^ montrer ici comme une conséquence toute naturelle de notr^théorie des moments.’ • • ‘

Pour cela , qu’on transporte la force P parallèlement à elle-même de I-en K dans la droite Bi;, et l’on a un.couple'( P» —.B) dont le bras

DK STATIQITK. 337

de levier est IK. Mais ce couple est détruit par les deux .poiats fixes ; car il peut d’abord être changé en un autre équivalent d’un bras égal à la distance mn des deux balances AB et ab -, ensuite, comme le bras Kl est invariablement attaché an côté B6 , par l’hypothèse même , couple transformé (P, — P) peut être tourné dans son plan, et appliqué exactemen|^,sur le côté B6. Dans cette position, l’une des forces. P se dirige vers le point F qui est fixe , l’antre — P' se dirige vers l’autre point fixe f, et le couple est détruit, quel que soit son moment P' X mn ou P X IK. Ainsi il ne reste, de ce côté de la machine , que la force P ,tràn^qrtée au point K.

Pareillement , la force Q peut être transportée parallèlement à elle-même de G en II , et le couple (Q, — Q) quelle produit, pouvant être changé en un autre (Q', — Q' ) appliqué sur le côté Aa, se trouve détruit, comme le précédent, par la résistance ,des deux points fixes.

11 ne reste donc que les deux forces P et Q , mais appliquées maintenant aux points K et H , ou, si l’on veut, en B et A, et qui, par l’équK libre.de la balance AB, doivent être parfaitement égales entre «lies. Ainsi , dans la balance de Roberval , la condition unique pour l’équilibre est l’égalité des deux poids , quelles

STATioim P. , 2a

338 ÉLÈMïUSTS

que soient leurs distances aux points d’appui.

Cette machine est en quelque sorte, pour les simples forces, ce que le levier ordinaire est pour les couples ou moments. Dans 1 équilibre du levier, les deux forces peuvent être dans un rapport quelconque; il suffit que les moments soient éf;anx : mais , dans la balance de Roberval, d feut que les forces soient égales, et c’est le rapport des moments qui est arbitraire.

258. Au reste , ceci n’est qu’un cas particulier d’une proposition plus générale, car, au lieu de dçux balances AB et ah, on pourrait considérer deux leviers égaux et parallèles, dont les appuis F et / ne soient plus au milieu de leurs longueui-s, mais divisent ces lignes 'dans un même rapport quelconque. De plus , on pourrait supposer que les foixes F et Q, qui agissent sur les barres IK, GH, ne soient point parallèles, mais dirigées comme on voudra dans le même plan. On démontrerait exactement de la même manière que, les deux forces P et. Q étant transportées parallèlement à elles-mêmes aux deux bouts B et A de lun • des deux leviers AB de la macbine, les deux couples qui naiæent de cette translation sont séparément détruits par les points fixes ; que, par conséquent, la condition unique pour l’équilibre, est que les deux forces appliquées soient

DE STATIQUE. 33g

entre elles dans un rapport constant, qui ne dépend point de leurs distances au point F, mais uniquement des distances de ce point aux deux parallèles à ces forces, menées par les deux bouts du levier. Ainsi , quand deux forces sont une fois en équilibre sur cette machine , on peut les transporter où l’on veut peu^allèlement à elles-mêmes, sans que l’équilibre soit troublé. Elles réagissent toujours l’une sur l’autre de la même manière. La seule chose qui change est la grandeur des couples détruits , et par conséquent la pression que souffrent en sens contraires les deux points fixes dans la direction des deux leviers.

Par exemple, dans le cas de P et Q parallèles, le point F, outre la pression verticale P -hQ qu’il supporte, comme dans le levier ordinaire, éprouve encore, dans le sens du levier,

une pression P — Q , égale à — ;

et l’autre point fixey éprouve une pression égale et parallèle, et de sens contraire : de sorte qu'il y a , sur l’axe I^qui joindrait les points fixes, un couple dont le moment est P >< Kl — Q X GH, c’est-à-dire égal à la différence des moments des forces appliquées, et qui tend à renverser la machine.

23^J. Il faut remarquer que , dans la démons-

34o ÉLÉMENTS

tration précédente, il n’est pas nécessaire de supposer les barres Kl et GH implantées à angle droit , et sur le milieu des côtés B6 , Aa ; elles peuvent y être fixées où l’on voudra et sous des angles queîconques; il suffit que la liaison avec ces côtés soit ilivariable.

240. On pourrait encore, au lieu de deux leviers AB et ab , imaginer deux tours égaux et parallèles , dont je suppose les deux a^fes projetés en F et f. Si les rayons correspondants des deux roues et des deux cylindres sont unis de même par des côtés parallèles B6, Au, mobiles sur des charnières B , 6 , A , n , on aura encore une n;iacbine du même genre que la balance de Roberval, et où deux poids P et Q, étant une fois en équilibre, y resteront toujours, à quelque distance qu’on les suspende sur les bras Kl et GH.

241. Si l’on imagine enfin que les axes fixes de ces tours soient les axes de deux vis égales, qu’une puissance P tende à faire avancer dans leurs écrous, on verra de même que l’effort de cette puissance pour faire avancer la vis ne change point, quelle que soit la longueur du bras Kl par lequel elle agit, et qu’il est toujoui-s le même que si la force agissait simplement au point B, dans une direction parallèle.

242. Nous pourrions étudier encore d’autres machines; mais, comme elles n’offriraient rien de nouveau qui méritât de trouver place dans les Éléments, noüs n’étendrons pas plus loin ces applications. Notre objet principal, dans ces deux derniers chapitres, était de fixer, par quelques exemples très-simples , les- pifià^iftes que nous avions établis et -développés dxxis 'les deux chapitres précédents. Nous avons cii(4e- Voir indiquer en même temps la marche que l’on peut suivre pour trouver les conditions de l’équilibre dans quelque machine que ce soit , et c’est ce qui n’offrira aucune difficulté , d’après ce qu’on a dit aux n°* 209 et suivants , surtout lorsque l’on ne considérera que deiu forces appliquées à la machine.

, SUK