DANS LA MÉCANIQUE

Des Couples.

Dans nia Statique, j’ai nommé couple l’ensemble de deux forces parfaitement égales, parallèles et de sens opposés. On sait que ces deux forces n’ont pas de résultante, c’est-à-dire ne peuvent être tenues en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l’espace. A la vérité , le calcul qui donne , pour cette résultante , une force nulle appliquée à une distance infinie des composantes, ne nous apprend plus rien alors, puisqu’il donne la même expression pour deux autres forces quelconques égales , parallèles et de sens opposés, dont l’effet pourtant n’est pas le même (|ue celui des deux premières ; mais il est évident à priori c[ue de telles forces ne peuvent avoir de résultante unique : car, si l’on pouvait assigner la position de cette résultante à l’égard de l’une des forces du couple , on lui en trouverait sur-lcrchamp une autre parfaitement symétrique et de sens contraire à l'égard

344 MÉMOIRK.

de la seconde ; et elle aurait à la fois deux positions dif-

férentes , ce qui est absurde.

L’effort d’un couple ne peut être contre-balancé que par celui d’un autre couple. J’ai fait .voir que cet effort a pour mesure le produit de l’une des forces par la distance qui les sépare; de sorte qu’en nommant ce produit le moment du couple, deux couples contraires se font équilibre quand leurs moments sont égaux.

Comjtosition des couples , analogue à la composition des forces.

J’ai d’ailleurs établi sur les couples tous les théorèmes qui correspondent à la composition des forces; et même cette proposition (dont on fait si souvent usage) , qu’une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction , trouve ici son analogue , qui consiste en ce qu’u/i couple peut être transporté partout où Von voudra dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan , sans que son eff^ en soit changé.

Ainsi des couples situés arbitrairement dans le même plan ou dans des plans parallèles sont des couples de même direction; d’où l’on voit combien est illusoire l’expression que donne le calcul pour la résultante d’un couple, puisque, d’après cette propriété, il n’y aurait pas de lieu de l’espace où l’on ne pût la supposer appliquée ; ce qui n’a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est prmdpalement utile dans la composition des couples, où elle permet de les rapprocher et de les disposer entre eux de la manière la plus favorable à la démonstration , et nous conduit par une voie très-simple aux théorèmes suivants :

MBMOIKE. 345

1°. Deux couples situés d'une manière quelconque dans le riu’ine plan ou dans deux plans parallèles, se composent en un seul égal à leur somme ou à leur différence, selon que ces deux couples sont de même sens ou de sens contraires.

a”. Deux couples situés d'une manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux côtés d’un parallélogramme, et représenté en grandeur par ees côtés, se composent en un seul situé dans un plan perpendiculaire à la diagonale , et représentés en grandeur par cette diagonale, ^

D’où l’on peut conclure que Trois couples perpendiculaires aux trois arêtes contiguës d’un parallélipipède quelconque , et représentés , pour leurs moments , par les

longueurs de ces arêtes, se composent en un seul, per-

pendioulaire à la diagonale , et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale. ^

Ces théorèmes , comme nous le verrons - tout k ‘ l’heure, renferment la théorie des moments , considérée de la manière la plus générale, et la théorie des aires, qui ne sont autre chose, dans le mouvement des corps, que les moments des forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité .que le parallélogramme des forces , et font descendre ainsi dans les Éléments les propositions les plus élevées de la Mécanique.

Qu’on me permette ici d’en rappeler en peu de mots l’usage dans la Statique, et, sans cesser de tendre vers l’objet de ce Mémoire, d’y arriver dans l’ordre naturel de nos idées.

Mt: MOIRE.

Usage des Couples dans ta Stalù/ue.

Une force étant appliquée en un point d’un corps ou système quelconque solide, si l’on prend un autre point quelconque dans ce corps , ou au dehors , pourvu qu'on l’y suppose invariablemeat attaché , et cpi’on applique à ce nouveau point deux forces contraires égales et parallèles à la première, il est clair que l’état du corps ne sera pas changé; mais on pourra considérer actuellement, au lieu de la simple force proposée, I® une force parfaitement égale, parallèle et de même !ÿns , appliquée au nouveau point ; 2® un couple formé pai'* les deux forces parallèles restantes. Si , pour plus de Vlarlé, on transporte ce couple tiilleurs, dans ua ''plan* quelconque parallèle au sien , ce qui est permis ,

■ il ne restera au point dont il s’agit qu’une force parfaitement, égale et parallèle à la force primitive, et qui ne serait en quelque sorte que cette meme force qu’on y aurait transportée parallèlement à elle-même.

On peut donc dire qu’une force peut être transportée parallèlement à elle-mêirte en un -point quelconque,, («iirvu que l’on considère le couple qu’elle engendre dans cette translation , et qui a pour mesure le produit de la force par le chemin qu’elle a parcouru.

Cela posé, tant de forces que l’on voudra étant appliquées d’une manière quelconque à un corps, 4i on les transporte toutes parallèleme^it à elles-mêmes en \m même point quelconque , elles viei*lront s y composer en une seule que je nommerai la résultante , et tous

MÉMOIRL.

les couples qu’elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul , que je nommerai le souple résultant.

dans l’espace peuvent toujours se réduire à une seule , et à un couple unique, lesqu^s sont, en général , ^ situés dans des plant différents. Sur quoi l’on peut observer que la direction , la quantité et le sens de la résultante seront toujours les mêmes en quelque lieu qu’on ait pris Vorigine, c’est-à-dire le point où l’on a transporté toutes les forces. En variant la position de ce point , la résultante ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en divers lieux de l’espace , mais le plan et la valeur du couple changeront nécessairement. .

Mais, quelle que soit la position de l’origine ,* un couple ne pouvabt jamais être ^tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l’espace, il résulte de ce que nous venons de dire qu’il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces, à moins que la résultante et le couple résultant ne soient tous les deux nuis à la fois.

Ainsi toutes les forces appliquées au corps, étant transportées parallèluaient à ■ elles-mêmes en un point quelconque, doivent is’y faire équilibre intre elles, et tous les côtoies qu’elles produisent en se transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux.^

Cotnposition générale des forces.

Ainsi, des forces dirigées d’une manière quelconque

Lois de l’équilibre.

34H MÉMOiKE.

Telles sont les propriétés générales de l’équilibre , c'està-dire les conditions qui existent néce^airement dans l’équilibre de tout système libre. Elles fournissent les six équations connues , entre les forces décomposées suivant trois axes quelconques dans l’espace , et entre les couples décomposés suivant trois plans différents qu’on peut supposer conduits par ces axes.

A quoi SC réduisent les conditions précédentes quand U y

a un point fixe dans le système.

'Ces trois dernières équations suffisent , lorsqu’il y a un point fixe dans le système , en supposant qu’on ait pris ce point pour l’origine : car la résultante , se trouvant détruite par sa résistance, peut avoir telle valeur qu’on voudra, et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par U que la pression exercée sur le point fixe est identiquement la même que si toutes les forces du système y étaient transportées parallèlement à leurs directions , car elles y sont actuellement transportées; et pour les couples qu’elles ont produits, comme ils doivent être en équilibre d’eux-mêmes, c’est-à-dire quand bien même le corps ne serait pas soutenu , il est évident qu’ils ne peuvent nullement charger le |>oint

fixe. ,

Propriété nouvelle de l’équilibre d’un corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibré autour d’un système quelconque invariable de forme, on sait qu’elles peuvent tontes varier proportionnellen^ent à leurs grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Mais un voit

ici qu’elles peuvent encore s’approcher ou s’éloigner toutes d’un même point quelconque , pro|K>rtionnellement à leurs distances à ce point , sans que cet équilibre soit troublé : car, si chaque force se meut ainsi parallèleinent à we-mém(e, dans le plan formé par sa di- ^ recüon'et le point dont il s’agit, elle augmente ou dimi- 4 nue le couple qn’elle donne ivson égard, dansle-mème * rapport que sa distance à ce point, et par conséquent tous les couples du système conservent leurs positions , et demeurent proportionnels. Ainsi la résultante et le couple résultant, étant une fois nuis , le seront toujours , et l’équilibre subsistera.

Condition nécessaire pour qu'un système Quelconque de forces ait une résultante unique.

Les forces appliquée^- , système étant ramenées ,

comme nous venons' m le voir , à une seule force et à un seul couple , si la force se trouve parallèle ap plan du couple, on pourra amener ce couple daus'ira même plan avec elle, et les réduire tous deux à une' force unique : et réciproquement , comme on montré qu’une force et Un couple ne peuvent sè sfi*' duire à une force unique sans être dans le même pUn ou dans des plans parallèles, ce qui est ici la même chose, fl s’ensuit que des forces dirigées d’une manière quelconque dans l’espace ne peuvent' Jamais se réduire à une seule , à moins que la résultante de toutes ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes qn un point queUet^ke , n’ait une direction parallèle au plo0 da pouple^f^^nt. «y': ‘

C’est par là qu’on peut voir comment trois •forces

J5o MÉMOIRE.

dirigées dans des plans différents , peuvent 'se composer en une seule, sans qu’il y ait aucune rencontre entre leurs directions, et comment une force peut, se décomposer suivant trois directions qui ne rencontrent pas la sienne et qi>i ne se rencontrent pas entre elles.

Exprestion analytique des propriétés précédentes.

Pour soumettre les propositions précédentes au calcul , concevons à l'origine où l’on transporte toutes les forces , trois axes quelconques , que nous prendrons rectangulaires entre eux , pour plus de simplicité dans lés expressions.

Soient R la résultante générale ; X , Y, Z ses trois composantes suivant les axes des x, j, z ; soient a , p, y les trois angles respectifs que sa direction forme avec eux. . *

On aura, par le parallclipipède des forces,

et

cosa =

Or, X , T, Zsont respectivènient égales aux sommes des forces décomposées parallèleoMBt aux trois axes des X, jr, Z. pn trouvera donc faldletBent ces équations la valeur et la direction de la résidtante générale. La première condition de l’équiUbîWt^^i veut que cette résultante soit nulle , donnera ce qn’on nomme les trois équations de l’équilibre de translation, qui reviennent à cequ'e la somme des forces estimées suivant trois axas quelconques soit nulle d’elle-mème par rapport à chacun de ces axes. na'v-'

MKMOIRE.

Soient G le moment du couple résultant ; L, M , N les moments respecufs des trois coupUs dans lesquels il sc décompose perpendicalairèraent aux trois ixes des x, Xt *; soient > , , y les trois angles qwe forme avec ces

axes la perpendiculaire au pl^q -fle ce couple , et que nous avons nommée Taxe du couple. *

On aura , par le parallélipipède des couples, '

et

COSXz=ç, COSft = — , COSv — — .

Or on voit(n~ iOT et 105 delà Statique) que les couples L , M , N sont respectivement .égaux aux sommes tles moments pris dans l'acception ordinaire par rapport aux trois axes x, y, z , c’est-à-dire aux sommes des produits qui résultent des forces projeti-es sur rhacnn des plans coordonnés, multipliées par leurs distances à l'axe qui lui est perpendiculaire : on trouvera donc facilement, par les équations ci-dessus, la valeur et la position du couple résultant.

La seconde condition générale de l’equilibre , qui veut que ce couple soit nul , donnera ce qu’on appelle les équations de l’dqtiililfée de rotation , qui consistent ei^ce que la somme des moments de tontes les forces, par rapport aux trois axes coordonnés, soit nulle d’elleméme relativement à chacun de ces axes.

Que ces sortes de produits, qu’on appelle moments, n'etaient au fond que la mesure de certaines forces ea~ rhées que les couples ont mises en évidence.

On voit ici , par l'identité des couples avec les mo-

-ir ' ' •

.552 ' MKMOIRK.

ments tels qn'on les considère ordinairement en statique, quel rôle joiKilt ces sortes de produits dans la compositioif générale des forces et ‘dans les lois de leur équilibré. A la vérité, dans 'l’équilibre d’un corps as-, • sujetti à tourner autc^g^'un axe fixe , les lois connll^s du levier nousA montraient bien ces produits coijf^ie les efforts des puissance pour faire tourner le corps autour de cet axe , pitisqnc l’on trouvait que la sornine des moments fcs forces qui tendent ^^aire tourner dans' un' sens doit être ^a?e ^ la somme des moments de celles qui tendent i ^ire tourner dans le sens contraire. Mais , loi-squ’il n’y avait aucun point d’appui , et que le système était parfaitement libre dans l’espace, les moments ne restaient plus dans les conditions de l’équilibre que comme de simples expressions de calcul, et perdaient cette -espèce 4e signification que leur donne la présence d’un axe fixe, et qui les avait fait nomuier moments par les anciens géomètres. Or , par la théorie des couples , ils reparaissent dans l’équilibre des corps libres , comme dans l’équilibre des corps génés par des obstacles. Estimés par rapport à un point quelconque du corps , ils imesurent certains efforts particuliers que l’on peut concevoir comme engendrés par les puissances qui se transportent parai-, lèlement à elles-mêmes en ce point, et qui, tandis que ces puissances s’y composent et s’y font équilibre à leur manière, doivent aussi se composer et se faire équilibre à la leur. Ce n’est pas qu’au fond les valeurs des moments et des couples ne soient parfaitement les mêmes.* L’analyse n’a pour objet que de simples rapports, et les diverses grandeurs, sous ses formules, ne conservent plus aucune trace des premières idées

mémoirfI 353

qu'on y avait jointes. Mais , en Géométrie comme en Algèbre , la plupart des idées dilTérentes ne sont que des transformations ; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image , et que l’esprit combine avec le plus de. facilité dans le discours et dans le calcul : or les couples ont éminemment cet avantage sur les moments ; et si l'on considère que la théorie des moments se présente d’elleméme dans la réduction générale des - forces et dans les conditions de leur équilibre ; que , d’uniJtutre côté , dans la Dynamique, la composition des mouvements de rotation est aussi nécessaire que celle des mouvements de translation pour l'analyse complète du mouvement d’un corps de grandeur sensible , on verra que la composition des couples exposée ci-dessus, tant par la symétrie des théorèmes que par la simplicité des démonstrations, vient se ranger naturellement à côté de la composition des forces , et forme ainsi la seconde partie essentielle des Éléments.

Equation de condition pour qu’un système de forces ait une résultante unique.

Nous avons vu tout à l’heure que si des forces quelconques sont réductibles à une seule , la résultante générale sera parallèle au plan du couple résultant. Pour exprimer cette condition dans le calcul , il n’y a donc qu'à exprimer que l’axe du couple est per|>endiculaire à la direction de la résultante , ou que le cosinus de leur incUnaison mutuelle est nul. Mais, d’après les dénominations précédentes, le cosinus de cet angle est

cosi.cosli ■+- cosp cosp 4- cosy.cosv;

.Statiouf, P. 7.3

354 Mh^MOfRE.

<-xpressioii nui , l'tant éj^alc-c à zéro, apres y avoir substitué à la place des cosinus leurs valeurs , donne sur-lechamp l’equation

XL YM -+- ZN = O ,

qui établit la relation cherchée entre les forces et leurs moments estimés par rapport aux trois axes.

Équations de condition pour qu’il y ait une résultante unique qui passe en un point donne.

Mais si l'on voulait exprimer que les forces sont réductibles à une seule qui passe en un point donné, on » transporterait l’origine en ce point, et l’on exprimerait que le couple résultant y est nul. Ainsi a, b, c étant les coordonnées de la nouvelle origine , il suffirait , dans les expressions L , M , N , de mettre x — a , y — b, Z — c, à la place de a-, y, z; ce qui donnerait les nouveaux moments L', M', N', et l’on aurait les trois équations

qui nous fortt voir que la somme des moments doit être nulle par rapport à trois axes qui se croisent au point donné.

Si le point n’est pas donné , et qu’on cberche au contraire s’il y a dans l’espace quelque point où les forces peuvent donner un couple nul , on aura les trois mêmes équations , mais où a, b, c seront alors les inconnues. Or, en les éliminant, on trouvera d’abord, entre les forces proposées, l’équation de condition XL-f- YM -t- ZN = o, sans laquelle les trois premières ne peuvent subsister, et qui nous redonne ainsi la condition d’une résultante unique, comme cela doit être.

M^MOiriK.

Des roupies ou moments rapportés à différents axes.

Le couple ^résultant G , décomposé perpendiculaire - •

ment à un axe qui forme avec le sien un angle 9 , étant égal à G cosO; si l’on nomme V, p', »' les trois angles que cet axe forme avec ceux des coordonnées , comme on a par la Géométrie

cos 6 = COS> COSi' -H COS(X cosp' -f- cosv cos/,.

on trouvera ^

G cos 9 = L cosX' -t- M cos p' + N cosv',

formule tri-s-simplc <\\\'Euler a donnée dans le tome Vil des Nouveaux Jetés de Pétersbourg , mais k laquelle il n’était parvenu que par de longs circuits d'analyse. Cette équation nous apprend que si l’on connaît les sommes L, M , N, des moments par rapport à trois axes rectangulaires, on trouvera sur-le-champ la somme des moments par rapport h un axe quelconque , en multipliant ces trois sommes respectives par les cosinus des angles que les trois axes font avec le nouvel axe donné.

C’est ainsi qu’en Géométrie, pou^ projeter une ligne sur un axe quelconque , on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires; projeter ensuite ces trois projections sur l’axe donné, et ajouter ensemble ces projections de projections.

Du moment maximum entre les moments rapportés aux différents axes qui passent par un même point.

Puisque la somme des moments , par rapport à un axe

qui fait, avec celui du couple résultant , un angle 6 , est G cos 0 , il s’ensuit j

I®. Que, de tous les .axes qui j/assent par l’origine , l'axe du couple résultant est celui par rapport auquel la somme des moments est le plus grande ;

2®. Que la somme des moments est la même par rapport à tous les axes qui font un même angle avee celui du plus grand moment , ou qui forment une surface conique décrite autour de lui sous cet angle ;

3®. Que la somme des moments est nulle par rapport à tous ceux qui font cet angle droit , ou qui forment un plan perpendiculaire à sa direction.

L’axe et la valeur <iu moment maximum ne sont • autre chose que l’axe et la valeur du couple résultant, et

se déterminent par les mêmes équations. D'où l’on voit que le carré du moment maximum est égal h la somme des carrés des moments par rapport à trois axes rectangulaires , et que son axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois lignes qui représenteraient sur CCS axes les grandeurs respectives des trois moments précédents.

Ce sont les résultats que Laplace avait déjà tirés de l’Analyse; ils formaient de beaux théorèmes de Mécanique', et ils ne sont plus ici que des corollaires évidents de la composition des couples.

Mais voici de nouvelles conséquences , entièrement dues à nos principes, et qui achèvent toute la théorie ^ des moments.

Du moment minimum entre l’infinité des moments maxima relatifs à tous les points de l’espace.

Observons que tout ce que nous venons de dire est relatif à l’origine que l’on a choisie pour y transporter toutes les forces. En prenant cette origine ailleurs, la quantité, le sens de la résultante générale, ne changent pas, et sa direction demeure toujours parallèle à ellemcnie ; mais le moment maximum varie de grandeur, et son axe s’incline sur sa première position. Pour chacun des points de l’espace, considérés successivement comme origines, il y a donc un axe autour duquel la somme des moments est un max^um relativement A tous les axes qui se croisent au même point, ün pourrait donc demander en quel lieu il faudrait prendre l’origine ou le centre des moments, pour que le moment maximum y fût plus petit que partout ailleurs, et par 'Conséquent

fût le minimum des moments maxima relativement'^ à

tous les points de l’espace. ■

Pour trouver facilement la position de ce point , regardons toutes les forces comme réduites à une seule e à un couple, par rapport à un point quelconque connu, et suivons les variations qu’éprouve ce couple par le déplacement de l’origine.

D’abord il est visible qu'en déplaçant l’origine dans la direction même de la résultante générale, le couple résultant ne change pas; car le couple que fournit la résultante en se transportant en un autre point de sa propre direction est nul de lui-méme, et le couple primitif n’çst pas altéré. Nous voyons donc que les moment? maxima sont constants pour toutes les origines

.^58 MÉMOIUE.

prises le long d’une même droite parallèle à la direction de la résultante générale, et que leurs axes sont parallèles entre eux. Ainsi , lout ce <|ue nous avons dit plus liauC des moments par rapport aux axes qui sc croisent eu un même point subsiste, de la .uicme manière et avec les mémi^ valeurs , pour toiis Icïs points de la direction de la résultante qui y passe.

Supposons donc que l’origLie s’écarte de cette direction , et soit tellement placée dans l’espace , que le couple résultant suit perpendiculaire à la direction de la résultante; je dis qu'alurs ce couple est dans la (losition du minimum f car si l’on déplace actuellement rorigine d’une manière quelconque , il ne pourra qu’augmenter.

En effet, la n^sultante, en changeant de. position, produira un couple ^^i'pendiculaire sur le premier ; et puisipie ces deux roupies sont rectangulaires, ils donneront par leur composition le nouveau couple ré'sultaut plus grand xpie l’uu ou l’autre d’entre eux : donc le premier couple résultant aura augmente; donc il se trou- ■

vait dans la position du minimum lorsqu’il était perpendiculaire à la direction de la résultante générale , ou lorsque son axe coïncidait avec elle.

Comment on détermine l'axe du couple minimum.

Soient donc G une ligne qui représente à la fuis l’axe et la valeur du couple résultant par rapport à un point ednnu;

R une autre ligne. qui représente la valeur et la direction de la résultante en ce point ; y l’angle que forment ces deux droites.

Pour avoir l’origine du couple résultant minimum , il faudra transporter la résultante R parallèlement k

MÊMone.' ^^9

clle-iiiéiiie , de telle sorte et (Tutie telle (juantite />, que le couple R/> qu’elle étant compost' av^e le

couple primitif G ,yoÇfti^'i^«)iiple résultant dont l’axe' SOU R.

L’axe du couple lÿt ^(i^^Bonc être dans le plan des deux lignes R et G qiid' font un angle f ; d'ailleurs il est nécessairement perpendiculaire à la direction R ; dont'

' on aura, par le parallélogramme des couples Rü = G sin«,

' .:ii^

et, pour la valeur K. du' couple minimum ,

K = G cos (f .

Ainsi , en elevant au sommet de l’angle if , et sur le plan

J 1 J - 1 ■ G sin B

de cet angle, une perpendiculaire /» = ■ — - — , et me-

nant par l’extreinite de cette perpendiculaire une parallèle à la direction de la résultante générale, on anra l’axe du minimum des moments maxima , et l’origine pourra être prise partout où l’on voudra sur cet axe.

Si l’on veut tout rapporter au.x trots axes coordonués, soient <Xj p, y les inclinaisons de R sur ces axes, et À , P , y celles de G sur les mêmes lignes ; on aura , pour l’inclinaison mutuelle ^ de R et G, , ,

cos = cos a cos À -+- cos ^ cos fl -H C0S7 cosv; f ou bien, en mettant, au lien des cosinus, leurs valeurs

données précédemment ,