XL -t- TH -G ZN

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MEMOIKE.

expression très-simple de la valeur du couple minimum K.

Actuellement , soient « , A , c les trois coordonnées de l’extrémité de la perpendiculaire p-, on aura d'abord fl' -H A’ -4- é" =: /»', qui donne, en mettant pour p sa valeur ,

Ensuite, comme p est à la fois perpendiculaire à R et à G , il est clair qu’on aura

aX -f- AY -I- cZ = O, al, -I- AM -I- cN = o;

ce qui fait trois équations au moyen desquelles on pourra déterminer a. A, e, et par conséquent la position de l'axe du couple minimum dans l’espace.

De /’fl.rc central tics moments.

Cet axe remarquable , où la somme des moments est à la fois un maximum relativement aux axes qui se croisent au même point que lui , et un minimum relativement à ceux qui donnent les moinents mari/ua aux divers points de l’espace , pourrait se nommer l’axe central des momeiiLs ; et cette dénomination, déjà motivée en ce qu’il jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres, se trouve pleinement justifiée, si l’on observe^ qu’aux memes distances autour de lui, les moments maximn sont les mêmes, et que leurs axes ont, à son egard , des |K>sitious semblables.

Eu effet , le même raisoniicmenl qui nous a fait pas

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MÉMOIRE. 3ül

ser tout a l’heure du couple résultant G au couple minimum K , nous ramène , dans l’ordre inverse , de celui-ci au premier , et par les mêmes équations ,

, Rp = G sin f , et K = G cos ç.

Mais ici , de quelque coté qu’on transpxlrte la résultante R , pourvu 'que ce soit à une même distance /> de sa position actuelle oii.de VAxe central , on trouvera toujours un couple résultant G de même valeur , et, une même inclinaison ^ entre son axe et la résultante ; et de plus, le plan de ces deux droites sera toujours perpendiculaire à la ligne p : puisque, si tout cela n’avait pas lieu comme ci-dessus, en ramenant la résultante dans l’axe centi-al, on ne retrouverait plus le même couple minimum K , ce qui ne peut pas être.

Les moments inaxima sont donc constants, non-seulement pour toutes les origines prises le long d'une paral^^ lèle à la résultante, comme nous l’avions déjà remarqué, mais encore pour toutes les origines prises sur le cylindre que décrirait cette droite autour de taxe central qui lui c^t parallèle.

, Pour les axes delces moments, tant que l’origtpe qp tort pas d'une même génératrice de ce cylindre, meurent parallèles entre eux et forment un plan; lisais si l'origine passe d'une génératrice à l'autre par la circonférence d’un cercle, ils forment une hyperboloïde de révolution autour de l’axe central.

Les moments maxima G ne varient donc qu’avec les. distances p dç leurs origines à l’a'xe central , et les deux équations précédentes nous donnent '

équation i|ui nous fait voir que ces muincuts croissent , pour les origines prises à différentes distances de l’axe central , comme les ordonnées d’une hyjierboie dont ces distances seraient les abscisses; ainsi leurs valeurs augmentent sans bornes, et il n’y a pas de moment maxintum^waximorum ; ce qui était d’ailleurs asseit évident de soi-inème.

On a de plus tangy = ce <jui donne les inclinai-

sous des axes des moments maxima sur l’axe ceutral , et nous montre que leurs tangentes varient dans le rapport des distances de leurs origines h cet axe.

Remarquons encore que , dans le cas où la résultaute générale est nulle , on a , par la première équation , G = K, quelle que soit la valeur de/>.

Lors donc que les forces appliqu(?es sont telles , qu’étant transportées en un même point, elles se font équilibre entre elles , les moments maxima sont les mêmes pour tous les lieux de l’espace , et leurs axes sont tous parallèles. ^

Si les forces appliquées ont une résultante unique , comme on a pour cette condition cosy = o, l'équation K = G cos tf donne K = o ; c’est-à-dire que le moment minimum maximorum est nul , comme il est clair que cela doit être , puisque l’origine tombe alors sur la direction même de la seule force à laquelle se réduisent toutes celles du système.

Classifcatinn de tous tes axes de l'espace auxquels on

voudrait rapporter les moments d'un système de forces.

Telle est donc la théorie générale exposee ci-dessus, ■ que tous les axes de l’espace auxquels on peut rapportei

MKMOIRK.

les moineuls d’un système quelconque de forces peuvent être disdnguc'S' et classes entre eux de la manière suivante !

D'abord , si pour simplifier les choses , nous ne considérons que les axes qui sa croiseraient aux divers points qu on peut prendre sur un même plan perpendiculaire à la direction de la résultante , nous observons

I®. Que, parmi tous les axes qui se croisent en un même point, il y en a^ un seul distingué de tous les autres, en ce que la somme des moments y est un maximum.

Les autres se classent autour de lui en diverses surfaces coniques circulaires dont il serait l’axe commun. Pour tous ceux qui forment la même surface , les moments sont égaux , et ils varient d’un c6ne à l’autre en raison des cosinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits.

2®. Parmi tous les axes qui donnent les moments maxima relativement aux divers points du plan , il y en a un seu^ distingué de tous les autres, en ce qu'il donne le plus petit de ces maxima , ou le minimum maximorurn des moments.

Les autres axes des maxima se classent autour de lui en diverses sut faces d'hyperboloïdes de révolution dont il serait l’axe commun. Pour tous ceux qui forment la surface d’un même hyperboloïde , les moments maxima ont la même valeur, et .ils varient d’un hvperboloide à l’autre , suivant les loi§ que nous avons données ci-dessus.

Actuellement , tout ce que nous venons de dire relativement aux diverses origines prises dans un même plan perpendiculaire à la résultante subsiste de la

* éJT-

et

3f>4 MÉMOIRK.

luécpe tnanièiv, et avec tes mêmes valeurs, po^r tous les lieux qu’occuperaient successivement tous oes poiVits en transportant le plan parallèlement à lui-même. Les ro<traents maxima restent les mêmes autour des mêmes axes qui deviennent parallèles; et comme il n’y a, parmi eux , que Taxé du moment minimum maximorum qui soit.perpendiculaire au plan mobile , on voit qu’il est le seul qui n’ait absolument qu’une même position dans l’espace; que, de plus, tous-les axes qui ont à son égard des positions semblables donnent les mêmes moments; et c’est ce qui nous a fait nommer cet axe unique, Xnxe central des moments.

Au reste, les résultats précédents, tirés des raisonnements les plus simples , pourraient aussi se déduire du calcul par la méthode ordinaire de maximis et minimis ; et l’on trouve aisément, pour l'axe du moment minimum maximorum , les équations suivantes

(N -h'Yx — ’Xr)Y — (M -+- X* — Zx)Z = •>,

(L -f- Zr — Yz)Z — (X -t- Yx — Xv)X = o,

(M -4- Xz — Zx)X — (T. -+- Zv — Yz)lfc = o,

où X, J-, Z sont les coordonnées de cette droite par rapport à trois axes autour desquels les sommes respectives des moments ^>nt L, M, X, tandis que X, Y , Z sont les sommes des lorces décomposées parallèlement aux mêmes axes.

L’une quelconque de ces équations est une suite necessaire des deux autres, et par conséquent elles ne représentent qu’une seule et même ligne droite, laquelle est manifestement parallèle ù la direction de la résultante generale des forces.

On trouve encore , pour le lieu de tous le.s points rc-

MÉMOIHE,

lativement auxquels les moments maxima sont égaux et représentés par H , l’équation suivante

(L — Yï -t- Z/)’ -f- ( M — Zx 4- Xz)’