N - X/ + Yr)’= HS

qui appartient à une surface cylindrique à base'' circulaire décrite autour de la première droite, c< qni est conforme à ce que nous avons vu précédemment.'

Mais nous ne nous arrêterons pas à ces détails, et nous passerons sur-le-champ aux applications de la théorie des moments à la Dynamique. - «■

Application de la théorie précédente à la Dynamique .

Soient tant de corps libres qu’on voudra qui se lueuvent , sans aucune dépendance mutuelle , avec des vi- % tesses uniformes èuivant des droites quelconques ^ dans l'espace. , Ci-é,r •.

Puisque chaque corps se meut uniformément en lignq J’ " droite, la force qui l’anime demeure constante et de«^ même direction.

Donc la résultante cénrrale de toutes , les forces qui animent les corps du système , et leur moment résultant par rapport à un point fixe quelconque, demeurent constamment les mêmes dans tout le cours du mouvement.

Consen’atinn des forces .ét conscivalion des moments.

Actuellement, si l’on suppose que tous ces corps, qui étaient libres, viennent tout à coup à se lier ensemble d’une 'manière quelconque, et ù réagir encore les uns

366 vikmoire.

sur les autres en vertu de nouvelles forces quelconques , mais réciproques , c’est-à-dire telles qu'entre deux corps l’action 'soit toujours f>arfaitement é"ale et contraire à la réaction , ce qui comprend toutes les forces de la nature; leS mouvements individuels des différents corps seront changés , et les forces qui les animent varieront de grandeurs et de directions , et continueront de varier à chaque instant du mouvement. Mais ce qui est bien remarquable , et forme un des plus beaux principes de la Dynamique , c’est que la résultante générale de toutes ces forces , et leur moment résultant par rajrport au point fixe, demeureront toujours les mêmes 'qu’anparavant , et seraient encore conservés si tous les corps redevenaient libres , et que chacun d’eux s’échappât en ligne droite avec la nouvelle vitesse dont il est actuellement animé. •

némnnstration trrs-simple de ces deux lois générales.

Ce principe, qui se déduit des équations différentielles du mouvement , peut aussi se démontrer par un raisonnement si simple , que je ne crois pas devoir I omettre ici.

Il est clair, en effet, que si chaque corps, à cause de sa liaison avec les autres , ne peut plus obéir pleinement à l’impulsion qu’il a reçue, sa force se décompose en deux autres, l’une qui est détruite, et 1 autre qui subsiste actuellement. Tout se passe comme à la rencontre d’un obstocle invincible, excepté que la composante, qui serait anéantie par l’obstacle, va se reporter sur les autres corps qui la détruisent par Jeur action. La force de chaque corps étant ainsi remplacée par deux semblables composantes, la résuHante de

MKMOIRR. 3G7

tontes ces tM>uvelles forces et leur moment résultant sont toujours les mêmes qu’avant cette substitution. Mais les composantes , qui se font équilibre entre elles , donnent leur résultante et leur moment résultant nuis, comme nous l’avons vu dans les lois générales de l’equilibre : donc la première résultante et le premier moment résultant sont conservés, et n’ont souffert aucune altération par l’action mutuelle des .différents cor|>s du système. Quant aux autres forces qui pourraient exifter entre ces corps, comme elles sont réciproques, c'est-àdire deux à deux égales et contraires , elles ne changent * rien non plus aux valeurs précédentes, car ' leur résnl- . tante et leur moment résultant sont évidemment nuls^ d’eux-mémes.

On voit donc (fue, dans un système de corps qni ont reçu, des impulsions primitives, et qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres, la' somme de toutes les forces qui les animent, estimées suivant une ^ même droite, et la somme de leurs moments estimés autour d'un même axe fixe quelconque, demeurent constamment les mêmes, malgré les variations qu'éprouvent les mouvements individuels des corps , et soit qtse ces mouvements changent par des nuances insensibles , soit qu’il survienne entre eux des changements brusques par l'action réciproque des corps, ou par toute autre liaison nouvelle qu'on voudrait établir subitement entre ces corps.

Ces deux propriéti-s générales du mouvement correspondent , en quelque sorte , aux deux propriétés générales de l’équilibre ; les memes sommes qui doivent être nulles dans l’état d'équilibre demeurent constantes dans l’état de mouvement , et la conservation des forces

Ki8 MÉMOIRE.

et des moments, présentée de celte manière, subsiste egalement pour toutes les lois possibles entre la force et la vitesse du corps en mouvement.

A quoi répondent les lois précédentes dans la nature.

— Conservation du mouvement du centre de gravité;

conservation des aires.

Dans la nature , la force d’un corps en moirvemenl

se mesure par le produit de la masse et de la vitesse; et le premier principe répond à la conservation du mouvement du centre de gravité, qui consiste en ce que ce centre se meut toujours uniformément en ligne droite, et de la même manière que si tous les corps du système y étaient réunis et que les forces qui les animent s’y fussent transportées parallèlement Is ellesmêmes.

En effet , puisque la somme des forces estimées suivant une même droite est constante, on peut dire que la somme des sntesscs de toutes les molécules égales du système , et par conséquent leur moyenne vitesse pour s’éloigner d’un plan perpendiculaire à cette droite , est aussiune quantité constante. Or, h chaque instant, les vitesses des molécules sont mesurées par les petits accroissements,, positifs ou négatifs, de leurs distances au plan que je considère : ainsi la moyenne vitesse n’est autre chose que le moyen accroissement ou l’accroissement de la moyenne de toutes ces distances, et par conséquent c’est la vitesse mémi' du point qui est le centre de gravite de tout le système. Donc la vitesse de ce point, estiméi' suivant une droite quelconque dans l'espace, est toujours la même; et, comme elle repré-

MÉMOIRE. 3(h)

sente la moyenue vitesse de toutes les molécules, elle s’exprime par la somme de toutes les vitesses, divisée par leur nombre, ou par la somme de toutes les forces divisée par la masse entière du système.

Si l'on prend , pour cette droite à laquelle on rapporte les forces, la direction même de la résultante générale , on voit que le centre de gravité se meut précisément dans cette direction ; car si l’on cherchait actuellement la vitesse de ce centre , pour s’éloigner d’un plan quelconque mené suivant cette droite, on trouverait cette vitesse nulle , puisque la somme des (orces, estimées dans un sens quelconque perpendiculaire à la résultante générale , est toujours nulle.

Ainsi le centre de gravité du système se meut uniformément , en ligne droite , dans la direction même de la résultante générale, et sa vitesse est exprimée par cette résultante divisée par la masse entière du système. ^

Si cette résultante générale est nulle , et qu’ainsi toutes les forces appliquées soient réductibles à un couple , le centre de gravité du système reste donc en repos dans l’espace, quels que soient les mouvements particuliers des différents corps qui le composent. -

Si tous ces corps sont liés entre eux de manière à former un système invariable de ligure, le système ne peut donc avoir qu’un mouvement de rotation autoiur du centre de gravité; d’où Uon voit que l’effet d’un couple sur un corps ou système solide, est de le faire tourner autour d’un point déterminé, qui ne dépend ni de la grandenr ni de la direction du couple . appliqué, mais uniquement de la figure dq coips, ou plutôt de la disposition mutuelle des difierentes particules qui le composent. Ainsi le centre de gra%ité des corps Statique P. -

3'jo

si- presenle d’une manière aussi naturelle dans la théorie du mouvement que dans celle de l’équilibre : et il ne faut pas, avec quelques géomètres, le regarder seulement comme un point qu’il est préférable de choisir, parce que certaines expressions analytiques qu’on y rapporte se simplifient , ou que certaines intégrales s’y évanouissent , mais bien comme un point dont* la considération s’offre d’elle-même dans la nature , et vient , pour nous , de cette loi qui fait simplement la force proportionnelle à la vitesse. On doit dire la même chose de ces trois axes principaux de rotation , autour desquels un corps peut tourner librement, parce que les forces centrifuges s’y contre-balancent. C’est en vertu de cette même loi dont je viens de parler , qu’il y a de tels axes dans tous les corps , qu’il y en a trois , qu’ils passent au centre de gravité et qu’ils sont rectangulaires entfe eux.

Mais je passe au second principe de la conservation des moments. Si l’on prend un point fixe quelconque et que, de ce point fixe ou foyer, on mène k tous les corps du système des rayons vecteurs , en projetant toutes ces droites sur un , plan quelconque , on verra facilement que le moment de chaque force par rapport à un axe perpendiculaire au pian de projection , et passant par le foyer , est proportionnel au produit de la masse du corps par l’aire que trace«sur ce plan la projection de son rayon vecteur.

Ainsi, dans la loi de ta nature, la conservation des moments revient à la conservation des aires, qui consiste en ce que la somme tles produits des corps par les aires respectives que tracent les projections de leurs rayons vecteurs sur un plan fixe quelconque mené par te foyer.

Digilized by Gi

MKMOIHt:. .^71

fst />ro/ji>rtiormi-lle au temps, c'est-à-iUre est toujours ta m^me , ru temps rf^nl, prneiant tout le mouermrnt'du système.

Si tontes les masses du système étaient égales entre elles, on n’aurait pas l>esuin de considérer leurs produits respectifs par les aires précédentes , mais simplement ces aires elles-mêmes; et le théorème reviendrait à ce que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs autour du foyer est toujours égale en temps donné. C'est ainsi qu’on peut toujours énoncer le principe des aires, mais en supposant que les masses du système soient disisées en parties égalés, et qu’on ait tiré du foyer des rayons vecteurs à toutes ces parties. '*

Plan du maximum des aires.

Cela pose , puisque les aires tracées par les rayons vecteurs ne sont autre chose que les moments des forces, il s’ensuit qu’on peut appliquer à la composition des aires tout ce que nous avons dit de la composition des moments.

Et d’abord, on voit que, parmi tous les plans menés par le même foyer, et qui reçoivent de la part des ra]fvlM' vecteurs des aires différentes, il y en a un seul qui reçoit la plus grande; et si l’on nomme L, M, N les sommes respectives des aires tracées sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par le foyer, on aura pour la valeur G de l’aire qui est un maximum , r- ‘ .

.if G» =.L>rl- M> N;.

Et , à l’égard ^du plan qui la reçoit, -si l’on nomme > , P , V les trois angles respectifs qu’il forme avec les

Digitued by Googic

MEMOntE.

trois premiers, on aura, pour les cosinus de ces angles,

rosi =z:r, cosu = - , rtHiv = - ,

re qui détermine sur-le-champ la position de ce plan remarquable.

Lorsque l'on connaît l’aire maximum G , et le plan sur lequel elle tombe, on trouve facilement les aires que reçoivent les divers plans menes par le foyer. Car 0 étant l’angle que forme un plan quelconque avec celui du maximum des aires, on a pour l'aire décrite sur ce nouveau plan , G cos 9 ; d'oii l'on voit que les aires sont égales sur tous les plans qui font # même angle avec celui du maximum , ou qui touchent un cône décrit sous le complément de cet angle autour de l’axe perpendiculaire il ce dernier pian ; que, de plus, elles sont nulles quand l’angle 9 est droit, c’est-à-dire sur tous les plans jierpendiculaires à celui du maximum.

Plan du minimum drs aires maxima.

Actuellement, parmi tous les plans qui donnent les aires maxima , relativement aux divers points de l’espace considérés comme foyers, il y en a un seul qui donne le minimum de ces maxima, ou l’aire minimum maximorum.

Ce plan est perpendiculaire à la direction de la résultante générale , ou du mouvement commun qui emporte le système. Son axe, c’est-à-dire la perpendiculaire qui y serait élevée'au foyer, se trouvera absolument de la même manièi-e que l’axe central des moments, et le foyer pourra être pris partout oii l’on

Digilized by CoogK^

MKMflIKF..

vuiidra sur ct'Ue droite. Pour tous les foyers qui en seraient aux mêmes distances dans un plan perpendiculaire , les aires maxima auront les mêmes valeurs , et leurs plans seront perpendiculaires aux diverses génératrices d’un hyperbololde de révolution décrit autour de cet axe central. D’ailleurs, ces aires max/ma- et les inclinaisons de leurs plans varieront , en vertu des distances précédentes, d’après les mêmes lois que nous avons données plus haut; et l’on trouvera sur les aires tous les théorèmes analogues à ceux qui ont été rapport<-s sur les moments.

Usagr de ces plans; de ceux i/u’il faut choisir pour i rapporter les corps du système.

Cette constance des aires décrites sur des pians qui restent immobiles au foyer nous donne d’abord l'idée de les observer sur les plans auxquels nous rapportons les différents corps, afin qu’à toutes les époques du mouvement nous puissions retrouver la position de ces plans , et reconnaître les changements survenus dans le système. Mais, d’après ce que nous venons de dire, on voit qu’il y a un choix à faire entre ces plans coordonnés; car si un plan qui reste immobile au foyer reçoit constamment la même aire 'de la part des rayons vecteurs, un plan qui recevrait constamment une même aire donnée ne serait pas pour cela immobile, et pourrait se mouvoir d’une manière ^ quelconque taugentiellement à up certain cène décrit autour du foyer. Donc, si l’on avait rapporté primitivement tous les corps du système à un cértain plan , et qu’on ne sût rien autre chose de ce plan, sinon qu’il recevait une

aii*e donnée, on ne pourrait plus reconnaître actuellement sa position dans l’espace, parce qu’il a pu changer, ou, plus exactement, parce qu’il y en aune infinité d’autres qui jouissent de la même propriété que lui.

Mais si l’on savait que le plan cherché était, entre tous ceux qui passent au même foyer, celui qui recevait l’aire la plus grande, on le retrouverait sur-le-champ, parce qu’il est unique et jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres.

C’est donc ce plan qu’il faut choisir, de preference « tous ceiLT (jui passent en un meme point , pour y rapporter les differents corps du système; et, sans connaître la grandeur de l’aire qui y est décrite, on pourra retrouver sa position dans tous les temps, pourvu qu’on connaisse le point fixe d’oît-qjartaient les rayons vecteurs , ou du moins quelque autre point fixe qui soit, avec le premier, dans la direction du mouvement général; car nous avons vu que, pour ce nouveau foyer, le plan de l’aire maximum serait parallèle au premier.

Si l’on ne connaissait point la position de ce foyer, quand bien même on saurait que l’aire maximum décrite sur le plan cherché avait une valeur donnée, on ne pourrait pas encore distinguer ce plan d’une inhuité d’autres perpendiculaires aux génératrices d’un certain hyperbolo'ide de révolution, parce que chacun de ces plans jouirait de la même propriété de recevoir une aire égale, et maximum entre celle des plans qui se croiseraient avec lui au même point.

Mais si l’on ajoutait qOe l’aire maximum dont il s’agit était le minimum des aires maximn relatives aux

MKMOIHE. S'ji

ilivers loyors <le l'uspacc, on rfti'niivti'ait sur-le-<'liaiii|) la position du plan cherche, parce qu'il jouit non -seulement d’une propriété exclusive par raj>port a ceux (|ui passeraient au même lover, mais encore d'une autre propriété exclusive par rapport à tous ceux qui auraient lu première commune avec lui. S

C’est donc ce nouveau plan qu’il faut choisir de préférence à tous ceux de l'espace; et l’on en pourra retrouver la position à toutes les époques, sans connaître ni la ;;randeur de l’aire qui y est décrite , ni^ le point qu’on a pris pour centre des rayons vecteurs. Mais, pour le déterminer, il faudra toujours avoir quelque point fixe d’où l’on puisse partir actuellement , et connaître en outre la grandeur et la direction de la résultante generale qui emporte le système dans l'espace.

nan> le cas des aires relatives , que l'aire minimum maximorum est la meme que l’aire maximum autour d'un foyer quelconque.

Lorsqu’on ne connaît aucun point fixe auquel on puisse rapporter les rayons vecteurs, et qu’on partage les mouvements des corps eux-mémes que l’on considère , on ne peut plus observer que des aires décrites autour de foyers mobiles dans la direction du mouvement général. Or ces aires sont alors les memes que si le mouvement général était nul , ou que le centre de gravité du système fut en repos.

On a pu voir, en effet, par l’équation G’ = K.’-I- R’/»’» qu’un moment maximum G, relatif à une certaine origine , se compose du moment minimum maximorum K , Pt du moment R/; de la résultante générale par la distance de l’axe central à cette origine. De même

■^-6 MÉMOIBK.

l'aire maximum, par rapport à un foyer fixe, est la résultante (le l'yire minimum maximorum et de l’aire qui est décrite par le rayon vecteur de la masse entière du système , considérée comme réunie dans l’axe central , et animée', suivant <*t axe, de la vitesse commune. Si donc le foyer que l’on considère, au lieu d’étre fixe dans l’espace , se meut avec la 'vitesse ix>mmune parallèlement à l'axe centrai , cette partie des aires qui sont décrites en vertu du mouveitient général disparaît d’ellc-mènie ; et les aires observées sont parfaitement les mêmes que si la résultante générale ctail nulle , ou que le centre de gravité du système fût en repos dans l’espace.

Mais, truand la résultante générale est nulle , les aires muxima sont égales pour tous les foyers de l’espace, et leurs plans sont tous parallèles; donc alors le foyer de l’aire minimum maximorum peut être pris partout où l’on voudra.

.4i>plicalion au système du monde.

Ainsi, dans le système du monde, comme on ne connaît aucun point fixe auquel on puisse rapporter les différents corps célestes, et qu’on ignore d’ailleurs dans quel sens et avec quelle force ce système est entraîné dans l’espace, on ne peut déterminer ni le plan ni la valeur de l’aire minimum maximorum, et l’on peut choisir simplement le plan du maximum des aires, relativeinent à un point quelconque, qui se meuve en ligne droite avec la vitesse commune du système. On peut donc prendre le foyer au centre de gravité, qui jouit de cette propriété dans tout le cours du mouvement; et c’est ce qu’a fait l’auteur de la Mécanique

. MKMOIIIE. .^77

cétestr , <j»ii , le premier , a considéré ce plan dans notre système planétaire , et qui lui a donné le nom de plan invariable. '

Au reste, on peut encore prendre le foyer au centre de l’un quelconque de? corps considéré comme fixe à chaque instant, c’est-à-dire comme actuellement privé de sa vitesse relative: ce point, n’ayant plus alors que la vitesse commune, sera dans le même ras que le centre de gravité ; ainsi le plan de l’aire maximum relative à ce point sera parallèle au premier , et recevra la même aire

Si donc, pour considérer également tous les corps du système , on prend successivement les aires élémentaires décrites autour de chaque corps par tous les autres, en multipliant ces diverses sommes par les masses respectives des corps qui ont servi successivement de foyers , on trouvera , en les ajoutant , tous les produits des masses prises deux à deux , multiplies par les aires qu’elles tracent dans le même temps, l’une autour de l’autre considérée comme immobile.

Le plan dont nous avons parlé jouit donc encore de cette pro|>riété remarquable , que la somme des produits précédents y e^t un maximum , aussi bien que sur tous ceux qui lui sont, parallèles ; et l’on volt que cette somme n’est autre chose que l’aire maximum relative au centre de gravité , multipliée par la masse entière du système. C’est ainsi que Laplacc présente encore la théorie de ce plan invariable , en ramenant Je principe des aires à des relations entre les distances mutuelles des différents corps du système.

Ce plan forme en quelque sorte l’immuable équateur du système du monde. Quels que soient les change-

. MKMOlKli.

inents que la suite des siècles amène entre les curps célestes, il demeurera toujours parallèle à lui-même; et,' puisqu'on en peut retrouver là position dans tous les temps, comme on retrouve celle du centre de gravite , on aura toujours, en y rapportant tous les corps du système, le moyen de comparer, d’une manière précise , les observations . de l’Astronomie faites ‘aux époques les plus éloignées.

Nous rappellerons encore ce corollaire remarquable de la théorie précédente, . que , dans un système de molécules solides et fluides, animées primitivement par des forces quelconques et soumises à leur action mutuelle, s’H arrive qu’après un grand nombre d’oscillations ces molécules se fixent à un état permanent de rotation , autour d’un axe invariable passant par leur commun centre de gravite ( et l’on conjecture avec assez de vraisemblance que c’est le cas îles corps célestes), alors leur équateur, ou le plan perpendiculaire à cet axe, sera parallèle à celui qui recevait, à l’origine du temps , le maximum des aires relativement au centre de gravité.

Mais nous n'étendrons pas plus loin ces dernières considérations, qui ont été assez approfondies par le géomètre que nous avons cité. • Notre objet principal était de fonder une nouvelle théorie des moments et des aires, d’étendre et de simplifier à la fois toute cette partie de la Mécanique, et de faire passer ainsi dans les Éléments les plus 'beaux théorèmes qu on y eût trouvés jusqu’ici.

Jicmartjut' noiiveilt' sut' les aires.

Nous finirons par faire observer, sur la loi des aires , que

MK.VIOIIIK. 379

les plans ne sont pas les seules surfaces sur lesquelles elles se conservent sans altération pendant le mouvement du système. La même propriété appartient aussi à toute surface conique circulaire dont le sommet est placé au fover des rayons vecteurs, mais il faut projeter ces rayons sur le cône par des lignes parallèles à son axe.

Les aires décrites sur les surfaces de différents cônes de même axe et de même sommet seront réciproquement proportionnelles aux sinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits ; d’où l’on voit que le cône qui recevra l’aire la plus |>etite sera le cône décrit sous l’angle droit autour de l’axe commun , c’est-à-dire le plan perpendiculaire à cet axe.

Entre tous lt*s cônes semblables de même sommet , mais d’axes différents, il y en aura un seul sur la surface duquel l’aire tracée par les rayons vecteurs sera un maximum .

Parmi tous ceux qui donneraient de même les aires maxima relativement aux divers foyers de l’espace, il V en aura un seul qui donnera le minimum de ces aires maxima .

Pour les axes de ces cônes remarquables, ils ne sont autre chose que les axes des moments ou des aires qui jouissent des propriétés analogues , et ils se détermineront absolument de la même manière. Enfin l’on trouvera, en considérant les aires tracées sur des cônes quelconques semblables, tous les théorèmes que nous avons donnés par rapport aux aires qui sont tracées sur de simples plans.