IX

Quant ces aires nouvelles qui . doivent entfcr dans la détermination de notre plan invariable , on pourrait dire que celles qui viennent des mouvements particuliers des satellites, et même de la rotation de quelques planètes, sont des quantités assez petites, et que le plan invariable , déterminé en ne négligeant que ces petites quantités, différerait pendu véritable. Mais il faut remarquer que l'aire due la rotation du Soleil est vae quantité considérable, et qui ne peut être omise dans aucun cas ; car, en supposant d’abord le Soleil homogène, je trouve que celte aire vaut plus de 5o fois celle que la terre décrit en vertu de son mouvement dans son orbite annuelle. Si, comme il est vraisemblable, la densité du Soleil n’est pas uniforme , mais qu’elle augmente de la surface au centre en raison (Je la profondeur, ou bien encore suivant cette loi de densité que Laplace emploie pour la figure de la Terre , dans le tome V de sa Mécanique céleste , et qui fait la • densité proportionnelle à la raeirte carrée de la pression , je trouve <jue l'aire décrite a encore les deux tiers de la valeur précédente. Et dans l'hypothèse même où la densité irait en croissant , depuis la surface , où elle serait nulle, jusqu’au centre , où elle deviendrait infinie , comme ferait l’ord^AnéÉsd’une hypeiiiole équilatère qui s’avancerait parallif(^iil^t à elle-même pour se confondre avec l’asymptote , je trouve que l’aire dont il s’agit vaudrait encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de l’homogénéité. De sorte que, dans cette hypothèse tpii paraît extrême , le plan invariable de Laplace , détermine

DU SYSTEM i:^ SÜLAIHE. 3y 1

sans tenir compte de cette quantité, diflëre agitant du véritable ^e si l'un eût oublie dans I? calcul au moins a5 globes tels que le nôtre, qiii auraie||t circulé comme lui, ù la, même distance du' Soleil^ et Sans -un plan incliné d’environ 7” au plan de notre écliptique. Cette omission ^ altère donc d’une manière très-sensible la position du plan invariable : car il est aisé de voir qu’elle changé de ^lusflurS minutes son inclinaison à l’écliptique , et de plusieurs degrés, la longitude.de son nœud ascendant. .(Vinsi il paraît aussi nécessaire pour l’application que pour la théorie d’avoir au moins égard , dans le système du ^ monde , à cette partie des aires qui ^ent de la rotation * connue du soleil.

Il peut paraître surprenant que Laplace , qui le pre- ’ inier a eu l’idée de chercher, dans le système du monde , la position d'un plan invariable dé^m^é par la condition que la somme des aires projetécs'.jnaoit un maximum , n’ait, considéré dans son analyse que les aires décrites par les planètes en vertu de leurs mouvements de révolution autour du Soleil, et qu’il ait oublié, nonseulement les aires ducs aux révolutions particulières des satellites, mais encore celles qui naissent de ”la rotation de ces planètes et du Soleil lui-même sur leurs propres axes. Et si l*Qn est surpris que cette omission singulière ait pu avoir lieu , on ne l’est pas moins 'qu'elle ait échappé jusqu’S'i à ceux qui ont pu étudier ce jioint capital de la .Méca'iique céleste. Par le peu qu’on'adit, on voit bien ce qui doit manquer aux formules de Laplace ; le défaut est sensible ; mais ce qu’on cherche ici est la cause naturelle qui y a fait tomber.

3g4 KC^UATEUR

Or, avec va peu de réflexion , il n’est pas dilBcile de remonter à la scftrce de cette erreur, et de ^ trouver dans cette théorie ijjéine qu’on avait autrefois des aires ou des moments : tMéoric imparfaite où l’on ne savait pas d’une manière précise ce que ces quantités représentent , je ne dis pas dans le calcul , mais dans la science des forces considérée en elle-même. Et en effet , polir Laplace comme pour les anciens -auteïirs* le» moments où les aires ne sont que de simples quantités numériques ou géométriques , de pures expressions d’analyse , qui se présentent dans les équations de l’éqirilibrc ou du m^ivement des systèmes , et auxquelles on aurait simplement donné un nom pour abréger le discours. Sous ce point de vue géométrique, le plan invariable que l’auteur- considère n’est donc qu’un certain plan choisi entre les autres par la condition que la projection des aires y soit la plus grande; oit plutôt, c’est l’un des ü^s fAans emydonnés, choisi de manière que la projecti^r des aires soit nulle sur les deux autres ; ce qui est une pure transformation de coordbnnées , qui paraît propre à simplifier le calcul , en faisant disparaître, comme on l’a dit , deux constantes arbitraires. Or, on ne voit là que de» quantités abstraites , de simples formule.s d’analyse, sans aucune idée de la nature propre des graiv deurs dont il s’agit^dans la science de l’équilibre ou du mouvement des systèmes. Et, comme T’idée de considérer les aires dans le système du monde vicnt,i5le célte fameuse loi de Képler, <}ui n’est" relative qu’at^x secteurs décrits par les rayons vecteurs des jilanètes dans leur mouvement elliptique autour du Soleil , il est assez, naturel que laiplace ne songe qu’à ces mêmes aires dues aux révolutions des planètes, et que, dans la théorie de son

DU SYSTKME SOLAIRE.

plan invariable , il oublie toutes les autres^ Il semble d’ailleurs que ces autres aires , produites par les mouvements particuliers des satellites et par la rotation des planètes sur elles-mêmes, n’étanf point tracées, comine les premières, autour d’un même centre , mais sc décrivant à part autour de divers centres particuliers, elles sont en quelque sorte d^aires indépendantes, et qu’elles, ne doivent point eitRrer dans la combinaison dont il s'agit. Ainsi, en supposanl«mêmc que la considération de ces quantités se fût présentée un moment à l’esprit, on voit qu’«lle aurait pu être aussitdt écartée comme une ’ idée étrangère, et sans qu’on en fît aucune mention. C’est ce qui explique naturellement l’oraisÿon ou l’erreur dont je parle et qui a«pu si facilement échapper dans l’ancienne théorie. Mais, dans nûs principes, cette omission est impossible; cat, pourrons, les aires ne sont point ^ des surfaces qu’on projette sur tel ou^el*plan, mais de véritatles forces de rotation ou des couples qui s’exercent dans le système : et il ne s’agit pas ici de simplifier un calcul ou de chercher un plan sur lequel la projection des aires soit un mais bien de CQmposer entre eux ces couples qui agi^nt , et de déterminer la graftdeur • et la position du couple unique qui en résult&ç couple remarquable , dont on démontre que le plan ^ la grandeur se conservent les mème^ans tout le cours du mou- vement, Algré les changements qui arrivent aux* grandeurs et ani inclinaisons mirtuelles dfe différents couples qui ^e compose^. Par cette notion dynamique des aires , il siifScdonc de jeter les ye^.x sur le système du monde pour voir que 1 aire maximum, ou, pour mieux dire, que l’aii-c résultante doit ^fre composée non-^ulemeni de celles qui viennent du mouvem^lfl des planètes dans leurs

3y6 ÉQUATEUR

orbiles, inaÿ encore de celles qui naissent des mouvements particulien des satellites et de la rotation de tous ces corps sur leurs propres axes : car, bien quç ces aires soient décrites autour dfe différents centres, comme ellps ne soÿt qu’une expression géométrique des couples qui les produisent , il est évident qu’elles doivent être toutes rapqjortées à un seul et même foyer^et se composer ensemble comme si leurs plans y étaient tous, transportés parallèlement à eux-méines. ^

Ainsi la composition des couples , qui a étendu et sim- ' pliiié toute la doctrine des aires , aura servi qncore à nous faire découvrir une erreur qui pouvait rester longtemps cachég dans une application de la Mécanique à l'un des plus grands objets du système du monde. Cet exemple nous fait setfUr toute l’importance qu’on doit atl;acher aux notions primitives et aux vraiH principes des choses; car le calcul n’est qu’Utt instrument , qui ne produit rien par lui-niéme, et qui ne rend en quelque sorte que les' idées <|u’on lui confie. Si nous n’avons qSe des notions imparfaites, ou si l’esprit ne regarde la question que d’un point de vue borné , ni l’analyse ni le calcul ne . lui apporteront plus de lumière , et ne donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d’étendue: au contraire , «n peut diée que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul, de fibsses ou de vagues conceptions, h’est propre qu’à rendre rerreur plus -^ur^ble en lui donnant, pour albsi dire, une sorte de consistance.

Au reste, sU'on veut voir, par le calcul même, le défaut des formules de La|^ace, il n’y a qu’à considérer

Di.i

-■J by Gc->j;’li

Ur SYSTÈME SOLAIHE. iijJ

les trois équations qu'il emploie, et, d'où il part comme d'une expression exacte de la conservation des aires sur les trois plans rectangles des axes coordomn'^.

En plaçant l'origine ou le foyer des rayons vecteurs au commun centre de gravité de tous les corps m, //»', m", etc., qui composdht le système proposé, et nommant X, y, Z, les trois coordonnées du centre du corps m ; x', y , z', celles du centre de m'\ etc., et employant , pour abréger, le signe t pour indiquer la somme Sn tous les termes semblables ù c^ui qu'on écrit à la suite de ce signe, les trois équations dont il s’agit sont représentées simplement par '

ïm

constante, .

, / dx dz\ ,

ïm [t — — X — i = «r=: constante ,

\ dt dt) •

f dt dr\ „

ïm y-r — z 1 = e = constante. ~ - V dt dt ^

Or, je dis que ces formules ne sont vraies qu'autant que les corps du système y sont réellement des points dont les masses respectives seraient m , m' , m" , etc.

Que si m , par exemple , est un corps de dimension

/ dy dx

finie, te terme m \x- ^ ~dt

dans la première équation , n’exprime pas la projection , sur le plan des xv, de l'aire décrite autour de l’origine par le mouvement de ce corps m. Et, en elTct, il est évident que cette aire est la somme de toutes celles qui sont ducs au monvcinent de tontes les particules du même corps. Or, en nommant X et Y Us

ÉQUATEUH

coordonn<Vs de la jwirticule dm par rapport aux mêmes axes , H est clam que la somme dont il s’agit est l’intégrale Ci X ^ — Y dm etendue à la masse entière

® J \ dt dt J

dji corps m ; et l’on va voir que celte intégrale n’est pas exprimée , comme un le sl!{>pose , par le terme

Soient bn effet, $ et >i l<js deux coordonnées de la particule dm , parallèles aux x et mais rapportées au centre de gravité du corps m , de forte que l’on ait*

dx\

■y-dt)-

et

rfX ^

dt ~ dt

rfÇ ^ dy drt

dt ’ dt dt dt '

Si l’on sqbstitue ces.valeurs dans l’intégrale précédente j'( X ^ — Y ^ J dm , et si l’on observe que , l’origine des Ç et » étant au centre de gravité de /», on^

f\dm = o, fndm=o, J' ■— dm = o , ~^dm z= o ;

IV ■ •. r/\r ^ d\\ ,

on trouvera que 1 intégrale X — Y *

pour valeur la somme des deux termes

( dy dx . /’/ dn \

de sorte que la valeur de l’aire décrite diffère précisément de la valeur qu’on emploie , de l’intégrale

I)i; SYSTKMl. SOl.AIllE. ,^9()

Ç ^ ’ ‘1“* exprime l’aire due ü la, ro-

tation de m sur son propre centre ; quantité «jui doit

ri y

rix\

être ajoutée à l’aire m f J > rotation •

du corps a lieu dans le même sens que son mouvement de révolution, et qui doit en être retranchée dans le cas contraire. , ’ •

Les véritables équations qui expriment la conservation des aires dans le système sont donc , en nommant Ç la troisième coordonnée de ilm relative au centre de m ,

D’où l’on voit que, dans cette théorie des aires appliquée au système du monde , lorstju’on réduisait les planètes et le Soleil lui-même à des points massifs placés dans leurs centres de gravité ,. on supprimait, sans s’en ajiercevoir, toute cette partie des aires qui naissent de leurs mouvements de rotation sur eux-mêmes, l.’erreur est toute semblable à celle qui nous ferait prendre , pour le moment d’inertie d’un corps relatif'à un certain axe extérieur, le produit de la*masse de ce corps par le carre de la distance de son centre de gravite à l’axe que l’on considère ; tandis que la vraie valeur de ce moment d’inertie est égale au produit précédent augmenté du moment d'inertie du corps par rapport à l’axe paraUêle qui jiasse en sou centre de gravité.

4oo ÉQüATEUK

Mais, indépendamment de ces aires dues aux rotations du Soleil et des planètes, on avait encore oublie celles ^i naissent des mouvements particuliers des satellites : car, pour en tenir compte , il ne suffit pas , * comme on peut le croire , de prendre po^r là valeur de m là masse de la planète réunie à cdle de ses satellites; il faut encore ajouter les, termes qui expriment

les aires dues aujf révolutions particulières de celte pla-

nète et de ses satellites autour de leur commun centre de gravité; et il faudrait même ajouter les petites aires qui sont dues aux rotations des satellites sur euxmème#-, si l’on voulait être dans toute la rigueur des choses.

Les formules employées par Laplace ne peuvent donc (même en faisant abstraction des satellites) exprimer éxactement les aires décrites que dans le cas où les corps m, m', m" , etc., seraient privés de toute rotation sur eux-mêmes , ou bien encore seraient des points massifs (et dont jl faudrait même sup’poser que la rotation n’est' pas infinie-) ; car il n’y a que l’une ou l’autre de ncs hypothèses qui puisse faire disparaître les ternies qu’il a oubliés dans son analyse. Ces formules ne donnent donc point et donneront jamais les valeurs des aires décrites dans le système des corps célestes ; car tous ces corps sont de dimension finie , et ils tournent actuellement sur leurs axes ; et quand bien même il arriverait , par quelque cause que ce fut , que chacun d’eux se condensât , et se réduisit en quelque sorte à son centre de gravité , les .aires actuelles dues

DU SYSTEME SOEAIHE.

*à lem-s Aouvwnents de nutation ne s’évanoniraîcnt point.

Par le principé même des aires, ’à mesure que chaque corps se condenserait, il serait , pour ainsi dire, forcé de tourner plus vite , et de manière que l’aire due à sa rotation fdt toujours conservée : d’où l’on voit que les expressions qui forment les premiers membres des équations de Laplacc n’en seraient pas moins incomplèlis ^n’aiiparavant, et qulflinsi ces équations ne peuvent jamais doonar le plan du maximum des aires', le seul qui soit rigoureusement invariable.

xni.

A la vérité , si chaque corps était infiniment petit , et que par conji'quent les distances de ses differentes molécules à un centre extérieur d'attraction pussent être regardées comme égales entre elles , on pourrait dire que la rotation de ce corps sur lui-méme ne serait point alté- •. réo par l'attraction des autees. Kt il en serait de même si chaque corps , au lieu d’être un point massif, était ain globe parfait de dimension finie , formé de couches concentriqiies dont chacune serait d’une densité uniforme dans toute son étendue ; car, pour chacun de ces globes , les attractions des autres se réduisant toujours h une force simple qui passerait par le centre de ce glolie, il est évident que son mouvement de rotation n’en serait pas plus troublé que dans le cas précédent. Dans l’une ou l’autre de ces deux suppositions , op pourrait donc dire que la projection des. aires dues aux rotations des corps serait à part une quantité constante sur chacun des plans coor- • donnés ; que par conséquent les projections des aires dues aux seuls mouvements de révolution seraient au.ssi à part Statiquf. P. 26

4o2 équateur

lies quantité constantes sur les ntèmes plans, et*qn 'ainsi,* le plan déterminé par les équations de Laplace, s’il n'est plus , comme je l'ai fait voir, le plan du maximum des aires , est du moins un certain plan qui demeure invariable de position , malgré l'action mutuelle des dilTcrents corps du système.