THÉORIE GÉNÉRALE

DE l'ÉQUILIB|IE ET DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

^ Iæ principe des vifesscs virtuelles est copnu '.depuis | longtemps, aussi bien que la plupart des principes g'énè- • raiix de 'la Méca)ii(]&e. - Ga/i&v observa- Ic premier , dans les niachines, cette fameuse propriété des vitesses Y-irtuelles, c'est-à-dire cette relatioa si Connue (jui existe ~

• entre les forcc-s appliquées, et les viless<'s que prendraient

leurs points d’application si Pon venait à troubler infini- ' * ‘ ment peu l’équilibre de la inachiflè; Jean Bernoulli vit toute l’étendue de ce principe , ef'ï’énonça avec cette grande généralité qu’on lui donne aujourd’hui. Varign^Z^ et la plupart des géomètres prirent soin de le vérifier ■ dans pres<{ue toutes les questions de la Statiqné’; et quoi- *« , qu’on n’en eût point de démonstration générale',’ ii fut, universellement regardé comme une loi fondamentale de l’équilibre des systèmes.

Mais, jusqu'à Lagrange , les géomètres s’étaient plus appliqués à démontrer ou à étendre les principes généraux de la sciehc», qu’à en tiyer une règle générale pour la solution des problèmes; pq plutôt ils ne s’étaient pas encore . proposé ce grand problème , qui est à lui seul toute la Mécanique.

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O fut aloi-s une heureuse idée de partir sur-le-champ du. principe des vitesses virtuelles comme d’un axiome, et, sans s’arrêter davantage à le considérer en lui-niéme, de ne songer qu'à en tirer une méthode uniforme de calcul pour former les équations de l'équilibre et du uiouvement dans tous les systèmes possibles. On franchit par là toutes les difficultés de la àlécanfque : évitant, pour ainsi dire, de faire la science elle-même,- on la transforma en une question de calcul ; et cette transformation, l’objet et le résultat de la Mécanique analytique , parut comme un exemple frap{>ant de la puissance de l’Analyse.

Cependant , comme, dans cet Ouvrage , on ne fut d’a- J)ord attentif qu’à considérer ce beau développement de la Mécanique qui semblait sortir tout entière d’une, seule Vet même formule , on crut naturellement que la science était faite , et qu’il ne yestait plus qu’à chercher la démonstration du principe dcS’vitesscs virtuelles. Mais cette

recherche ramena toutes les difficultés qu’on avait fran- ' > ...

, chics par le principe ménte. Cette loi si générale, où se

mêlent des idées vagues et étrangères de mouvements infiniment petits et de perturbation d’équilibre, ne fit en quelque sorte que s’obscurcir à l’examen; et, le livre de Lagrange n’offrant plus alors rien de clair que la marche <les calculs, on vit bien que les nuages n’avaient paru levés, sur le cours de la Mécanique , que parce qu’ils étaient , |>our dtn^i dire , rassembles à l’origine même de cette science.

Une démonstration generale du principe'des vitesses virtuelles devait au ^nd revenir# établir la .Mécanique entière sur une autre base ; car la démonstration d’une loi qui embrasse tout une Vience ne peut être autre

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4^3 chose que la réduction de cette science à une autre loi aussi générale, mais évidente, ou du moins phis simple que la première , et qui partant la rende inutile. Ainsi , par cela mène que le principe des vitesses virtuelles renferme toute la Mécanique, comme il a besoin d’une démonstration approfondie il ne peut lui servir de base première. Oiercher à le* démontrer pour l'heureux usage qu’on en a fait, c’est chercher à s’en passer pour cet usage même , soit en trouvant quelque autre loi aussi féconde mais plus claire , soit en fondant sur les principes ordinair esune théorie générale de l’équilibre, dont la propriété des vitesses virtuelles ne" devient plus alors qu’un simple corollaire.

Ainsi, dans cet état où Lagrange avait porté la science , ce n’était point la démonstration du principe des vitesses virtuelles qu’il fallait chercher immédiatement. La Mécanique analytique , que l’auteur l’a conçue , est au fond ce qu’elle doit être ; et la démonstration du principe des vitesses virtuelles n’y manque point , puisque, si l’on essayait de la mettre 1k la tête de ce livre d’une manière générale et bien développée , l’ouvrage se trouverait fait deux fois: je veux dire qnc cette démonstration comprendrait dejà toute la Mécanique. On doit donc considérer que Lagrange s’est placé tout d’un coup sur kin des points élevés de la science, afin de découvrir quelque règle générale pour résoudre , ou du moins pour mettre en équations , tous les problèmes de la Mécanique; et cet objet est parfaitement rempli. Mais, pour former la science elle-même , il faut éfever une théorie qui domine également tous les points de vue d’où l’on peut l’envisager. 11 faut aller directement, non pas au principe obscur des vitesses virtuelles, mais à cette règle claire qu'on

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en a su tirer pour la solution des problèmes ; et cette recherche directe, natui-ellc, et la seule propre à satisfaire m»tre esprit , fait l’objet principal du Mémoire qu’on va lire.

Propriétés de l’étiailibre communes à tous les systèmes libres,

L’im des premiers éléments de la théorie générale de l’équilibre est cet axiome : que si des forces se font actuellement équilibre sur un système quelconque de figure variable , réquilibi>e ne cessera point en supi>osant que le système soit rendu tout à coup invariable, ou vienne , pour ainsi dire , à se solidifier lui-ménic.

Les conditions de l’équilibre des corps solides doivent donc se retrouver dans l’équilibre de tous les systèmes possibles, et c’est pour cela qu’on peut les nommer \cs propriétés générales de l’éfjuilibre.

On a présenté ces conditions de plusieurs manières ; mais on peut remarquei*([u’elles se réduisent à cette condition unique, i/ue les forces appliquées aux divers points du système soient décomposa blés , suivant les droites qui les joignent, en foires deux à deux égales et contraires. C’est la possibilité de cette décomposition qui exige les six équations ordinaires de l'équilibre, comme on le verra tout à l’heure.

D’abord le théorème est évident pour l’equilibre de deux forces; il faut ijuc ces deux forces soient parfaitement égales et contraires. ..

Il est bien aisé à' en conclure que, pour trois forces, si l’on joint leurs points d’application par trois lignes droites, il faudra nécessairement pon’r l’é-quilibre que ces forces

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4^5 Mieut décompo&ables en d’uulrcs deux à deux égales et contraires dans ces trois lignes.

Actuellement, Û l'on a un nombre qiielconciiie de forces, <]ue l’on pcenne trois qVelcunques de leurs points d’application, les' trois lignes qui les joignent, et toutes celles qui, partant des autres points, viendraient aboutir à ceux-là : on pourra se représenter ces trois pixmiiers points comme les angles de la commune 1>ase de plusieurs pyramides triangulaires dont les autres points seraient I» sommets. • “

Cela pose, on peut tdbjours commencer par déco’raposer les forces appliquées à ces sommets , chacune en trois autres, suivant les trois arêtes qui y aboutissent.

Ensuite , on est le maître de décomposer les trois forces , qui sont aux coins de la commune base , en forces qui soient égales et contraires aux premières , et eu d’autres. Si l’on supprime des forces égales et contraires dans les arêtes , il ne reste plus que trois forces appliquées aux trois angles de la base. Mais, puisqit*il y a équilibre , ces forces restantes doivent être décomposablcs, sui\ant les trois côtés de cette base , en forces deux à deu.x cgalt“s et contraires.

Donc toutes les forces étaient décomposables, suivant les droites qui joignent leurs points d’application, en forces deux à deux égales et contr^res dans chacune d’elles; et. cette de^mposition est déterminée lorstju'elle ne se fait , comme un le suppose ici , que par 3 /i — 6 distances nmtuelles, /< étant le nombre total des points du système.

Lors(|u’un veut faire entrer dans le calcul non-seulement les quantités des forces applitpiées , mais encore leurs inclinaisons mutiiellc*s, on se donne, au lieu de

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chaque force , ses trois composantes parallèles à trois axes connus. Alors, pour exprimer qu'en chaque point chaque force est décomposée en d’antres suivant les arêtes qui y aboutissent , il faut trois liquations où ces dernières com- ]H>santes sont les inconnues. Il faudrait donc en tout 3 h équâtions pour les h points du système. Mais si l’on veut

que les composantes soient deux à deux égales et con-

traites dans les 3 A — 6 arêtes, elles ne formeront que 3 A — 6 inconnues. Donc, en les éliminant, il restera entre les forces données six équations de condition , pour que leur décomposition en forces égales et contraires soit possible , et par conséquent pour qu’il y ait équilibre. Ce sont les six équations connues : nous les. avons données ailleurs par une autre métaphysique qui a de grands avantages ; mais j’ai été bien aise d’en indiquer, en passant, cette démonstration nouvelle , parce qu'on y découvre un nouveau sens , et qu’ici ces équations ne sont pas obtenues séparément et par des considérations particulières , mais ‘ s’ôffrent à la fois toutes six comme l’expression d’une seule et unique condition , qui est uk possibilité que les forces appliquées se décomposent en d'autres égales et eontraires suivant les distances mutuelles des différents points.

Cette décomposition est donc nécessaire dans l’équidibre de tous les systèmes possibl^ ; et , quand les distances mutuelles des points du système sont toutes invariables, elle suffit , de quelque façon qu’elk s’opère d’ailleurs, je veiii dire quelle que soit la proportion des composantes dans les distances mutuelles successives.

Mais, lorsque , aucune de ce» lignes n’étant invariable à part , c’est simplement une fonction de leurs longueurs qui doit demeurer constante, alors la décomposition pré-