KT MOUVEMENT DES SYSTÈMES

rcilcnJc (qui est toujours nécessaire) ne suffit plus pour assurer l'étiuilibre du système ; il faut encore qu’il règne d’une droite à l’autre , entre les valeurs des forces égales et contraires , une certaine proportion* qui dépend de la nature de la fonctiçn proposée. Or c’est précisément cette proportion qu’il s’agit de découvrir ici; et c’est dans la manière générale de la d<*duire de la fonction proposée qup consiste la loi fondamentale de l’équilibre des systèmes.

D'un système où tes points ne sont liés que par une seule équation entre leurs distanecs mutuelles.

Ne considérons d'abord que quatre points , et leurs distances /n , n, p, q, r, s, qui sont comme les arêtes d’une pyramide triangulaire dont ces points seraient les sommets. •

Repré-sentons par f{ni,n,p,q, r, s)z= L— const. la fonction quelconque de ces distances qui doit demeurer constante , en sorte qu’on ait toujours cette équation , dans quelques positions respectives que puissent passer les divers points du svstèmc.

Cela posé, soient, s'il est possible, quatre forces qui tiennent ces quatre points en équilibre. Si on les conçoit décomposées, chacune en trois autres suivant les trois arêtes contiguës , il résulte de ce qu’on vient de dice , que les deu.x composantes qu’on trouvera dans chaque arête seront nécessairement égales et conitaires; sans quoi il n’y aurait point équilibre, même en supposant toutes' ces arêtes de\enufs roides.

Il ne reste donc qu’à trouver la proportion des composantes autour de chaque sommet de la pyramide.

Pour cela , je suppose que trois quelconques des points deviennent \wrfaitement fixes dans l'espace. L’équilibre n’est pas troublé. Mais , cause de l’équation proposée , le quatrième n’a plus que la liberté de se mouvoir sur une certaine surface courbe , et il a entièrement cette liberté : donc il est nécessaire que la force unique P qui le presse soit actuellement perpendiculaire à cette surface (*).

Or, m , n , P étant les trois arêtes qui’se ^terminent au point que l’on considère , la surface qu’il a la liberté de décrire quand les trois autres deviennent fixes , est donnée par l'équation ,

‘f{m,n,p,q,r, f) = con.it.

lorsqu’on y regarde m, n , p comme seules variables.

La normale à cette surface se trouve donc en prônant les trois fonctions primes f [m), /'"{n), f'{p), de la fonction proposée relativement aux trois lignes ou rayons m , n, p\ portant sur eux trois longueurs respectives proportionnelles à ces fonctions primes, avec cette attention de les porter, sur les rayons memes , pour les fonctions primes qui auront le même signe, et sur leurs prolongements, pour les fonctions qui auront le signe contraire : si l’on achève le rhomboïde , la diagonale donne la directihn de la normale, comme cela se voit par la géométrie {**).

Donc , puisque la force appliquée au point que l’on

(*) V'oyoi , sur ce principe, la note t.

(••) On tronvern plus loin la domonstratlun dr co thtnrèmo

ET MOUVKMEM’ DES SYSTEMES. 4-9 considère doit agir suivant cette direction scs trois composantes suivant les arêtes m, n, p, sont nécessairement proportionnelles au\ trois fonctions primes /'(m), f {'>), /' [P)-

On verrait de même qu’au point où se terminent les trois arêtes m , <y , r, les tft)is composantes de la foix» qui le sollicite sont proportionnelles aux trois fonctions primes f'(m), f {'/), .f* (r) , -et ainsi de suite.

Donc les forces égales et contraires dans les six arêtes m , /i , y?, 7, r,s, sont toutes pro|)ortionnelles aux six fonctions primes f'{m), f {n) , /'(/>),

Donc il est démontré, en toute rigueur, que si quatre corps ou points sont liés entre eux par la condition qu’une fonction quelconque de leurs distances mutuelles demeure constante , ces coq>s ne peuvent être en équilibre , & moins qu’ils ne soient sollicités les uns vers les autres , suivant leurs distances mutuelles , par des forces proportionnelles aux fonctions primes de la fonction donnée relativement à ces distances , ou , ce qui est la même chose , ù moins qu’ils ne soient sollicités par quatre forces P, Q, R, S, qui puissent se décomposer en celles-là; et, comme cette condition détermine entièrement les forces , il s’ensuit que de telles forces se feront réellement équilibre , oïl il faudrait dire que l’équilibre n’est pas possible sur le système, ce qui est inadmissible. Car imaginez, potir un moment , que trois de nos quatre points soient vraiment Kxes ; il est clair que le quatrième , qui ne pourrait plus alors se mouvoir que sur ‘une surface déterminée , serait tenu en équilibré par une force quelconque normale à cette surface, et il est certain qu’en même temps les trois points 6xe$ ressentiraierrt de certaines

4‘3o ÉQUILIBRE

pressions tléteçmiiiees. Or, à présent, fpi'on rende libres ces trois poinis fixes , mais qu'on les soutienne aussitôt par trois forces égales et contraires aux trois pivssions qu'ils avaient à détruire, et l'équilibre ne sera pas troublé. Donc il existe quatre forces qui peuvent tenir en équilibre nos quatre points, quoiqu'ils ne soient liés entre eux que par une seule équation ; et ces quatre forces sont précisément celles quton a trouvées plus haut.

On a considéré sous la fonction les six distances mutuelles m, n, P , q , r, s, des quatre corps; mais le raisonnement serait le même si cette fonction ne renfermait qu'une partie quelconque de ces distances. Seulement on trouverait que les forces sont nulles le long des distances qui n'entrent pas dans la fonction.

Par exemple , que , des trois distances m , n, p, du premier point aux trois autres , il n’entre que les deux premières -m et n dans la fonction proposée ; alors la surface que ce point peut décrire, quand- les autres sont fixement arrêtés, est donnée par l’équation... /(m , n, q , etc.) = const., en y regardant m et /i comme seules variables. C’est une surface de révolution autour de la ligne qui joint les deux corps d’où partent les deux rayons vecteurs m et n. La normale à cette surface est donc simplement la diagonale d’un parallélogramme construit sur deux lignes proportionnelles à /'(m)* dont on aurait prolongé ces rayons vecteurs. La force qui doit agir suivant cette normale se décompose donc entièrement, suivant les distances m et n , en deux autres proportionnelles /' [m), f {») , et ne donne point de composante suivant la distance />, qui n’entre point dans la fonction.

Si, des trois distances m, n, p du premier point aux

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. /|3l

autres , il n’y en avait qu’une seule m sous la fonction , la surface qu’il pourrait décrire quand les autres sont fixes serait donnée par l’équation / (/n y , r, . . .) = const. , en y regardant m comme seule variable, ce qui équivaut k m = const. C’est alors une sphère dont la ligne m est le rayon, et par conséquent la normale. La force qui doit agir suivant cette ligne y reste i\onc tout entière , et ses deux composantes sont nulles suivant les distances « et /> : d’où l’on voit qu’il ne peut y avoir aucune action directe entre les corps suivant leurs distances mutuelles que la fonction ne renferme pas.

Soient actuellement tant de points que l’on voudra, et /[m , n, P y q , r, ...)=L = const.

une équation quelconque entre leurs distances mutuelles m, n, P, <7 , r, . . . : et , s’il y a dans cette équation plus de 3 A — 6 distances mutuelles , A étant le nombre des ptJints , qu’on élimine ces lignes superflues , ou qu’on les suppose éliminées au moyen des équations qui ont lieu d’elles-mcmes entre les lignes qui joignent des points deux à deux dans l’espace : on pourra se représenter, comme cidessus , toutes ces distances mutuelles comme les arêtes de pyramides triangulaires successives qui s’appuieraient toutes sur une même base.

Cela posé , soit le système tenu en équilibre par des forces P, Q , R , S , . . . respectivement appliquées à ses différents points.

D’abord toutes ces forcét doivent être décomposablcs, suivant les lignes m, n , p, q , r, . . . en forcés deux à deux ^ales et contraires , sans quoi il ne pourrait pas y avoir équilibre , comme on l’a démontré plus haiiL

Cette décomposition supposée faite ( et elle aura lieu

432 itQUIMBRE

ici «l’une manière détenninée) , il ne s'agit plus, i>our connaître les forces, que de trouver la proportion nécessaire de leurs composantes. Or, je dis qu’elles sont entre elles corome les fonctions primes de la fonction proposée relativertient aux lignes m , n ,jf, 17 , /■, ... où elles sont dirigées.

En effet , considérons à part quatre points qui forment les angles de l’une de nos pyramides , et supposons iiour un moment que , leurs distances mutuelles resUnt seules variables dans l’équation , toutes les autres y deviennent constantes; il est clair que je jeu de ces quatre corps devient le même que s’ils étaient restés seuls dans l’espace, mais liés entre eux par l’équation proposée, où l’on regarderait leurs seules distances mutuelles comme variables, et toutes les autres lignes comme de simples nombres donnés. Cela résulte de la supposition même , et se voit aussi très-bien dans la figure, en se représenUnt les six arêtes de notçe pyramide restées seules variabk». D’abord , le ]>oint qui fait le sommet de cette pyramide ne tient point aux autres arêtes devenues invariables ; et pour les trois imints à la base, ils ne sont pas plus gênés par ces arêtes, qui descendent sur eux , trois à trois, des autres jKiints du système , que si elles n’y étaient réellement pas. Car, bien que ces lignes soient devenues iülémcnt roides , comme on les suppose restées nio- .biles aut»>ur de leurs points d’intersection; qui eux-mêmes sont mobiles dans l’espace, il est visible qu’elles se prêtent* d’elles-mémes attx monuments des trois points où elles abtHitissent , et ne font que les suivre, sans les gêner, dans toutes les positions où ils peuvent |>asser qtiand on

fait varier leurs seules distances mutuelles dans l’équation

4 proposée.

KT MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4^'^ Donc, en vertu de ce qui a été démontré ,il faudrait, pour l’équilibre particulier du système de nos quatre points , qu’ils fussent sollicités les uns vers les autres par des forces proportionnelles aux fonctions primes de la fonction donnée , prises relativement à leurs distances mutuelles.

Mais il est clair que cette proportion doit se retrouver absolument la même dans l’équilibre général du système ; car si l’équilibre est supposé y exister, il y subsiste toujours en supposant telles arêtes que l’on voudra devenues roides,' et supprimant alors toutes les forces égales et contraires qui se détruiraient d’ellesinêmes dans ces arêtes. Les forces restantes appli(|uties au système partiel le long des arêtes ou distances mutuelles restées variables , doivent donc suivre nécessairement la loi de l’équilibre de. ce système.

Donc, ail moment de l’équilibre général , on est silr que les composantes contraires qu’on trouverait dans les arêtes de l’une quelconque de nos pyramides sont proportionnelles aux fonctions primes' fle la fonction donnée relativement à ces lignes. Donc , à cause des arêtes communes aux pyramides successives , cette proportion s’étend d’une arête .’t l’autre dans toute la figure du système ; et tous les points sont nécessairement sollicités les uns vers les autres , suivant leurs distances mutuelles m , n , p , q , /•, ... qui entrent dans la fonction , par des forces proportionnelles aux fonction.s primes r{m), /' (n), f'{p), f'{q), f'{r), etc., de cette fonction, relativement à ces distances/?/, n', p, q, r,...

Ce qu'il fallait démontrer. ' '

Si donc, aux différents points du système, on prend sur les lignes m , n , p, q , /•, ... des longueurs quel- « Statiqiif. p. 28

conques toutes proportionnelles aux fonctions primes

etc., qui se rapportent à ces lignes, ces longueurs représenteront les composantes des forces qui doivent être appliquées à ces points respectifs ; de sorte qu’en les réduisant en chaque point à une seule P, on aura la force unique qui doit y être appliquée pour l’équilibre du système.

La manière la plus simple de trouver l’expression do ces forces P, Q, R,. , est de chercher, pour chacune

d’elles P, ses trois composantes X , Y, Z parallèles à trois rectangulaires dans l’espace. ’

Soient x, y, z les trois coordonnées du premier point par rapport à ces axes ; m , a , p, etc. ses distances aux autres points dont les coordonnées soient r"» r". 2"; etc. , on aura

P = ^(x - X-)» -^(y-y-'y^lz- zy,

etc., * ’

et les fonctions primes de ces expressions , prises par

, dm du

rapport a x, et que nous représenterons par — ,

dx'

etc. , seront les cosinus des angles que les droites

font avec l’axe des x.

Les, forces f'[m), f'{n), f'{p), etc., appliquées au point que l’on considère , suivant ces droites , donneront donc , parallèlement à l’axe des x , les composantes respertives

dm

dx

fin)

dn dx ’

etc. .

Digitizf"i by

ET MOUVEMENT UES SYSTEMES. 4^^* lesquelles se rédiiironl à une seule X égale à leur somme ,

mais cette expression n’est autre chose que la fonction prime de la fonction proposée /{m , n , p, g , r,). . on L, prise relativement à x, et que nous représenterons

simplement par (

Ainsi la force appliquée au premier point aura sa composante X, suivant l’axe des x, représentée par

i c’est-à-dire par la fonction prime de la fonc-

tion donnée L, relativement à la coordonnée du point le long de cet axe.

On aura de .même pour les deux autres composantes Y, Z, sujvant les axes desl^, z, les expressions

**^*^*^ elle-même P sera

repnisentée par •

Si l’on cfinsidère la surface courbe représentée par l’équation L = const. , quand on y regarde x , y, z

'comme seules variables, On sait due

\dxr\dx)' ^

J «sont proportionnelles auli cosinus des trois angles que fait , avec les axes ,* la normale à cette sur-* facef*).

(*) Cette analyse contient la démonstration |;énérale du théo-

43() KC^UILIBKK

La force P = y/^ J + j j es. donc

dirigée perpendiculairement ;\j la surface courbe que le point oîk elle agit pourrait décrire si tous les autres devenaient fixes ; ce qui doit être et ce qu’on pouvait supposer à priori , comme dans le cas du système de quatre points, où l’on est parti de cette vérité comme principe.

Donc, eij^ appliquant ce qu’on vient de dire aux differents points du système, les forces P, Q, etc., qui les sollicitent, sont toutes proportionnelles aux fonctions

V(lHÏHfÿ. •

etc. ,

rème de géométrie dont on a parlé plus haut (p. 4^)- résulte quelesUgnes f\rn)j f\n)y f'{p\ etc., étantcompoiées à la manière des forces, dopnent pour résulUnte la nornthleà surface courbe décrite par le point où m, n, py 7, etc. , aboutissent homme rayons vecteurs. C'est ce rapprochement curieux, entre la composition dos forces et Ig^éleriyination des normales, qui amène, on Mécanique, ces fonctions prime* la fonction donnée f comme l'es • pression naturelle des forces capables de se faire équilibre. Car il Taut, en chaque point , que les forces appliquées soient pio|>ortioiinelles à cos fonctions ptimes , alin de donner leur résiiltanti dirigée suivant la normale à la surface que ce point peut décrire quand on arrête tous )es*autres : et c'esi ensuite la nécessite de PéqiiiUbro dans chaque partie du sysiènih, qui fait passer cette proportion d'iin point à Paulrcdcftis toute iVtondue do la figure.

tT MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4^7 «•I chacuno d’elles est normale à la iurfacc coiirlic que son point d’application pourrait décrire, en vertu de l'équation L = const. , si l’on supposait tous les autres fixement arretés.

Cette démonstration nous paraît nette et rigoureuse; elle est méjnc dégagée de cette espèce d’axiome, <|ue, dans les systèmes, les points ne peuvent agir les uns sur les autres que suivant les droites qui les joignent. En effet , pour obtenir les forces totales qui doivent être appliquées aux points.respectifs du système, nous sommes bien maîtres d’imaginer chacune d’elles comme décom|x>sée en d’autres suivant telles lignes que nous voulons choisir, et qui f pour chaque point, sont au nombre de trois au moins; et puisque nous avons trouvé la proportion nécessaire de toutes ces composantes, il s’ensuit que nous trouvé les vraies forces de rt>quill!)re , et que cet équilibré est unique.

Cependant voici une difficulté qjfpai,-en^te ,qu’il n’est peut-être pas inutile de [iroposer et de résoudre ,^parce que* sa solution très-simple met le théorème dans un nouveau jour. ,

Quand le système n’est compose 'que de quatre points , il faut nécessairement leurs six di^pinces mutuelles pour déterminer la pyramide dont ils. sont les angles ; et par conséquent il n'y a aucune équation de condition , c’est-a-dire qui existe ^’elle-méme entre ces distances. * ..

Mais, lorsque le nombre des points est^superieur à quatre, il y a pliîl de distances mutuelles qu’il n'en faut pour assurer la figure du système; et lion a, entre toutes les distances, autant d'équations de condition que de lignes superflues. On peut donc alors éliminer de là

438 ÉQUILIBRF.

fonction proposée f{m, n, p, q , r, . ou y in-

troduire telles de ces jignes qu’on voudra , et que toutefois la combinaison de ces équations pourra permettre. Ainsi l’on pourra varier les distances qui entrent sous cette fonction , et la forme de cette fonction de plusieurs manières. ^

Or, suivant qu’on voudra présenter cette fonction entre telles ou telles distances mutuelles , on trouvera telles ou telles forces suivant ces distances , d’où il paraît que les forces totales P, Q , etc. , qui en résulteraient à chaque point , pourraient bien n’étre pas les mêmes dans ces différents cas, quoiqu’au fond la.liaison des points n’ait pas été changée î et que le cas de l’équilibre soit unique.

Pour détruire sur-le-charqp cette difficulté, j’observe que, si un^function des distances mutuelles de plusieurs points peutquelqu^ois être écrite de plusieurs façons, selon les distance que l»on y veut choisir, cette fonction néanmoinsyireste totijours identique , si on la regarde comme une fonction des coordonnées x , y, z de tous les points. En effet , les équations de condition qui ont lieu entre les distances mutuelles* /» , n, p, q , r,. . . . ne sont autre chose que .des identités, lorsqu’on vient à y substituer , au* lieu de ces Ëroites ^ leurs expressions par les coordonnées x, y, z\ x', y', z', etc., des différents points qu’elles unissent. Ainsi , quoiqîi’au moyen de ces équaûons , la fonction proposée L puisse être changée en m , n , p, q , r, . . . elle demeure toujours la même en x , y, z ; x', y", z , etc. : Ijs expressions •

ET MOUVEMENT, DES SYSTÈMES. 4^9 sont donc aussi toujours les mêmes. Or, comme on sera toujours conduit à ces expressions pour les composantes X , Y, etc. , de quelque manière jK-rmise que la même fonction L ait été écrite en m , n , q , r,. . il s’ensuit qu’on parviendra toujours aux mêmes forces P, Q , R , etc. , pour l’équilibre du système, comme cela doit être.

Ceci nous fait voir encore que si la fonction proposée L, ou f[m , n , p, q , r,. . .) est présentée entre plus de lignes m,n,p,q, r, .... qu’il n’en faut pour la figure , il sera inutile d’éliminer les autres , comme on l’a supposé fait, an commencement, pour la clarté de

la démonstration. Les fonctions ’

fdL\ fdL\ fdL\

' rfp ' ’ ■ d^'J ’ Vrf? ' ’ tirerait pour

l’expression des forces de l’équilibre, seraient identi- ({uement les mêmes que si l’on n’avait pas fait l’élimination ; et par conséquent on les obtiendra tout de suite , sans rien changer à la forme sous laquelle la fonction eçl donnée.

A l’égard des rtct/o/j.c /rcz/jroiyBc.f des différents points , si l’on sait que, dans le système dont on s’occupe^ il ne peut y avoir de communication directe entre Içs h points que par leurs 3A — 6 distances mutuelles qui entrent sous la fonction , on conclura ’de ce qui a été démontré , que ces points agiront réellement les uns

sur les autres, suivant ces distances

en raison des fonctions primes f {Jh) , f'[n),'f'{p), f (7)»/'W. etc.

Mais, de même que la fonction proposée peut être picsenlce indifTéremmenl entre telles nu telles dis-

14° ÉQUIl.lBKK

tances mutuelles , de même la communication des points peut être établie suivant telles ou telles de ces lignes sans que la liaison générale de ces points soit changée. Si donc on ignore de quelle manière le système est exécuté , on ne pourra pas dire , d’après la ^seule fonction y (to , n , p, q , quelles sont les réactions véritables des différents points, parce qu’on ne saura pas si les liens qui pourraient donner lieu à ces actions directes sont établis précisément le long des distances mutuelles m , n , ^ , r, . . . . qui paraissent

dans la fonction. Ainsi cette fonction , qui , sous quelque forme quelle soit donnée, caractérise le système, et suffit pour faire connaître sur-le-champ les forces uniques P, Q, R, etc. , ou

V ' clx )

K'f.rJ

Uz J ’

, etc.,

qui doivent être appliquées aux differents points, ne sifllit pas pour apprendre comment ces forces se distribuent réellement des uns aux autres : il faut encore regarder la construction du système lui-méme, et voir suivant quelles distances mutuelles la communication est rtiellement établie. S’il arrive qu’elle se fasse précisément par les mêmes distances que celles qui sont dans la fonction ^donnée , on prendra sur-le-champ les fonctions primes relatives à ces distances, et l’on aura les réactions véri^bles des différents points. Mais si la communication s’opère par tUaiUres lignes, il faudi-a commencer par éliminer de la fonction toutes les distances mutuelles le long desquelles il n’y a pas de lien immédiat dans la construction du système (ce

El MOUVEMENT UES SYSTÈMES. .» 44* qui pourra toujours se faire au moyen des équations de condition entre ces droites), et les fonctions primes de cette fonction nouvelle par rapport taux distances mutuelles qui y restent seront les expressions des actions réciproques qui auront véritablement lieu entre les corps.

Tel est l’esprit de cette loi fondamentale qui contient toute la science des forces. Avant d’aller plusdoin, il me parait à propos d’en faire quqjques «applicâtions simples, où l’on voie à la fois la rapidité des solutions et l’identité de la théorie avec les premiers principes de l’équilibre.

Considérons d’abord trois points liés entre eux par la condition que la somme de 'leurs distances mutuelles m , n , p, doive demeurer ^•onstante. . .

La fonction /(m , n , p) sera d®nc ici m n p\ en prenant les fonctions primes , on aura

/' (mf = I , /' (n) = I , f {-p y= I .

Ce qui nous apprend que chacun des trois points doit être sollicité vers les deux autres par des forces égales ; que par conséquent lès trois forces, 4 Q, R qu’il faut appliquer à ces points, sont représentées en grandeurs et en directions par les diagonales de^ troisjosanges construits avec les mêmes côtés sous les trois angles du triangle. ‘ ^

C’est la loi de l’équilibre de trois points &ù passeraient , comme dans des anneaux , un même fil inextepsible le iong duquel ils pourraient couler, librement. Quand ces points se meuvent de> manière que le. fil reste tendu, la somme de leurs distances mutuelles demeure constante, conformément à, l’équation = coitsi. , et chacun d’eux , lorsqu’on le

44’' • KQVJILIBHE

suppose seul mobile, n’a plus que la liberté de se . mouvoir sur un ellipsoïde de révolution dont les deux autres sont les, fovers. C'est pour cela que chacune des forces appliquées divise en deux parties égales l’angle formé par les distances de son point d'application aux deux autres ; car cette force doit être normale à l’ellipsoïde^lont il s'agit, et dans cette surface la normale divise an deu;t parties égales l’angle formé par les rayons

vpeteurs.

On peut remarquer que le fd inextensible ne représente pas complètement la liaison que l’équation suppose; car ce fil fait simplement que la sorara'e des distances des points ne peut pas devenir plus grande , mais il ne l’empêche pas de devenir moindre. Ainsi , pour l’équilibre des trois corps unis par le fil , il faut encore ajouter que les forces doivent agir de manière ce que le fi! soit tendu ; au lieu que , dans l’équilibre du système défini par l’équation m n + p =: const. , elles peuvent agir indilTcremmenl , ou pour tendre le fil , ou pour le comprimer ; de sorte que l’espèce de fil flexible que le calcul suppose eÿ tout à la fois inextensible et incontractile.

Si c’était sinrplement la somme des distances m cl n des deux premiers corps au troisième, qui dût demeurer constante, on aurait*

/"(m , jî) = w /J = const. ,

d’où /'(«/)=:/'(«)= 1. Ainsi, il faudrait appliquer aux dçux premiers corps deux forces égales, suivant leurs di»tances m ét n , au troisième ; et à celui-ci une force égale et contraire à leur résultante ; et il n’y aurait point de force suivant la distance />, (|sii n’entre pas sous la fonction. ‘

Digilized b m '^Iî

• KT MOÜVEMKNT -DES SYSTÈMES. 44-^ C’est en effet ■ le cas de trois corps dont l’un pourrait couler coiimie un anneau le long du fd , tandis que les deux autres seraient, fixement attaches à scs deux bouts. Quand les deux corps extrêmes spnt supposés

fixes , celui du milieu n’a plus que la liberté de d|icrire un ellipsoïde de révolution autour d’enx comme foyers ; mais ceu.x-ci décrivent simplement des sphères autour de Jui, comme centre, quand ils sont regardés, l’un après, l’autre , comme seuls mobiles. Voilà pourquoi la force appliquée au corps qui peut glisser le long du fil divise deux également l'angle formé par les deux portions de ce fil , tandis que chacune des deux autres forces agit vers le corps du milieu , dans la direction du fil lui-

même. ' , •

S’il y avait plus de trois corps unis entre eux par un même fil , le Ibng duquel ils pussdntcouler librement , en nommant m , n , p, , r, . . . . les portions successives de ce fil , on aurait .

fÇm,'n,p, <7, r . .) = m -f- « -f-/» -I- «y -Ij/- -t- • . = constt,

et par conséquent • ' . ‘

J/'{n)=/'(p)^f{,i)=f’{r) = etc. = l ,

comme ci - dessus : d’où l’on voit qiiç le fil doit être egalement ^endu dans .toute longueur ; que chacune des forces divise en deux parties égales l’angle du 'polygone funiculaire où elle est appliquée , et qu’elles sont toutes ‘proportionnelles aux cosinus des moitiés de ces angles; etc.

• Supposons actuellement'^]ue nos trois corps soient tellement liés, que la somme des rarn'*s de leurs distances mutuelles reste constante.

La fonctiuii / {/« , /t , p) sera ici -f- //- />’ ; et l’on

aura

/'(m)=3m, f'.[n)=in, f'(p) = ip.

Il feudra donc, pour l'cquilibre, que chaque corjis soit sollicité vers les deux autres par des forces proportionnelles à ses distances à ces deux corps ; d’où il est • facile de voir que les trois forces uniques P , Q , R , ,qui agiraient sur ces points respectifs , sont dirigées, vers leur centre de gravité , en les supposant de masses égalés, et sont proportionnelles à leurs distancé à ce rentre. *

C’est en effet ce qui résulterait du plus simple raisonnement ; car, cn^vertu de l'éqttation

m‘‘ -t-, n’ -(-/>’ = const. , si l’on supprose deux des points devenus fixes, lé tfoisième n’a pliis quo la liberté de. décrire une sphère dont le centre est au milieu de la droite -qui joint les deux autres ; or la force (pii le sollicite, dans le cas de l’équilibre, doit, étnnormale* à cet te* surfa ce , et par conséquent les trois forces doivent être dirigées des trois angles du triangle vers les milieux des ciités opposés , et se croiser ainsi au centre de gravité de ce triangle ; il est clair ensuite qu’elles sont ent|;e elles comme les distances dos angles à ce point. . , * .

Mais ici on ne peut plus construire le système comme on 'l’a fait dans l’exemple precedent ; il faudrait un fil d’une espèce particulière, où leS corps pussent rouler de manière que la somme des carrés de leurs distances fût toujours hf* même , et nous ne con-, naissons pas de fil qui ait cette propriété. Mais, de ipiehpie fa(;on qu’un pareil système puisse être exé-