III

D’un système où les points sont liés par plusieurs équations quelconques entre leurs distants mutuelles.

Supj^osons actuellement que les points du système soient tellement lies qu’on ait toujours entre leurs distances mutuelles les équations suivantes .

f {m, n\p,q, r ) = L= const.,

' <^m , n, P, q , r. = AT— ‘const.,

• -if{tn,ji,p, q, r ) = AT — const.,

de sorte' que' le système puisse alTectcr toutes les figures où ces équations subsistent, et n’en puisse affecter aucune où elles cesseraient d’avoir lieu.

Premièrement, par cela' seul que les pojnts du système sont liés entre eux par la première équation L =i const. , on peut leur appliquer les forces respectives

etc.

y désignant un coefficient quelconque indéterminé , et chaque* force étant normale à la surface représentée par l’équation L == const. , lorsqu’on y regarde 1^ trois coordonnées du point d’application comme seules variables; et l’ofi est sûr que ces forces se font équilibre sur le

système.

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 44/ En second lieu , parce que les points sont liés entre eux par la seconde équation M — const. , on pçut leur appliquer encore les forces respectives

fdM\

idM :■ \dz }

fdM \ \dx'j

(dMV

\dz')

etc. ;

. // MJ y (dMy fdMy

ft étant un nouveau coefficient indéterminé , et chacune de ces forces étant normale à la surface représentée par l’équation M = const. , lorsqu’on y regarde les coordonnées du point d’application comme seules variables.

De même, en désignant par v un coefficient indéterminé comme les précédents , on peut encore appliquer aux points du système les forces respectives

rfdNy fdNy /dNV *

V(g)V(f:)V(;fT,'

etc. ,

dirigées suivant les normales aux surfaces respectives représentées par l’équation N = const. , lorsqu’on y regarde succeyivement* etc. ^ * •

Et ainsi de suite pour les autres équations qui lient les points du système.

44^ • kquilibre

Il tst bien manifeste (ju’il y aura équilibré en vertu de toutes ces forces , puisqu’il y aurait équilibre en particulier dans chaque groupe relatif à chaque équation.

Mais on pourrait demander^ ces^forces, ou leurs résultantes aux différents points, ÿont les seules qui puissent se faire équilibre sur le système ; si , par la simultanéité des équations L =:const. , M =■ corist. , iV= const., etc. , les points ne pourraient pas devenir capables d’autres résistances que des résistances cora|K>séesde celles qui naîtraient siiccejsivéraent de ces équation»-, si elles avaient lieu l’une^ après l’autre.

Pour répondre à cette question , j’observe qu’au moment de l’équilibre du système , chaque équation peut être regardée comme ténant lieu de certaines forces ; car si l’on venait è supprimer tout à coup cette équation , l’équilibre serait rompu ; mais il est clair qu’il y aurait de certaines forces propres à empêcher cette rupture , et qui remplaceraient parfaitement l’équation absente. Si donc on imagine que toutes les équations, hors la prèmière, ^ient actuellement remplacées par des foites convenables, les. points ne se trouvant plus Jjés entre eux que par la seule équation L = const., il est nécessaire que toutes -les forces appliquées soient réductibles à des forces proportionnelles aux fonc-

’etc.

KT MOUVEMENT DES SYSTÈMES. /j4y d'où rpn voit que ceU<^éqiiadon , dans l’équilibre dn système, ne pant tenfr li^que des mêmes forces dont elle pourrait tenir fieu si elle était seule. Ainsi , ^es forces qui peuvent se faire équilibre sur^n système défini par, plusieurs équations ne sont autre chose que les forces composées de celles qui s’y feraient équilibre sépan;ment en vertii de cltaque équation (*).

Lorsque les points du système #e sont liés que par une seule équation, le-eas de l’équilibre est umque; je veiiK dii% qu’il n’y a , pour chaque figure où peut passer le système, <qpe des forces P, Q , R , etc., de direcdons èt de proporbons déterminées', qui puissent s’y faire équilibre. Mais lorsqu’il y a deux é^uationy*£ == const. , M — cons fi, l’équilibre n’est plus imkpid ; et il y a f»our tme même figure iine infinité de groupe de forces qui peuvent se faire équilibre sur le système. En effet, .an moyen des deux indéterminées X et p qui'tdTectmt-les deux com • posantes

chaque force , or.' peut varier les directions . et la proportion de ces forces «l’une infinité de raanièKs. Seulement il faut observer que chacune d’elltes ne sortira pas d’un plan déterminé : car la première compo* santé est normale 'à la surface représentée par l’équation L = const. , lorsqu’on y regarde les coordonnées du point comme seivlés ' variables ; la seconde est ùor-

(*) Voir sur ce point la'Notc H.

Statique P.

jfio W^ril.lÜHK

male a la suilaee représentée |)ar récjuolioii M — lonst. , lorsqu’on y rcijirde les mêmes foordcjpnées eoinine

seules variables. La Tesultaiite est donc située dans le i)lan

])erpeiidieulaire à l'inlerst^lion de ces deux surfaces. C'est en effet ce qui doit avoir lieu ; car, si l’on vient à lixer tous les points du système , hors celui dont il s’agit, il n’aura plus ipie la liberté de se mouvoir le long de cotte uitcrsection|l^<;omnie dans un canal iofiniment étroit : ^ir, l’equilibre n’étant ,^ioint troublé par l’iiypothèse, il faut necesstdrcinent que la force xiipliquee soit actuellement per|>endic(dairc à la direnuinn de ce canal.

Quand ili«v a plus de deux équations qui lient les points du syrfènne, Tmdétermination du cal de l’équilibre esL encore plus étendue 5 et, pour les points dont les coordqnnees se trouvent à la fois dans trois équations, les forces ■ appliquées peuvent avoir des directions (|ue!conqucs. Lt'S trois indéterminées ’A, [x, v, qui affectent alote les trois composant de chaque force , jreuvent donner à celle force une dirct^ion arbitraire dans l’espàce. C’est ce qui s’accorde encore avec notre principe; car si l’on suppose devenus fixes tous les points hors cehfi que je^considérc, comme ses coordonnées entrent à la fois dans trois équations , ce point jif conserve plus auegne liberttÿdans l'espace; ainsi la force «pii le sollicite n'est obligée à aucune direction déterminée ( * ). "

(*) Au reste, il faut bien eniendre ceci : les direclions .des forces ne sont pas toutes iiidt tcrminiics ;-s’il n'y avait, par cvetnple , i|HC trois équations, une fois que l’on ae.rait disposé de x, yi, r pour donner à l’nne des forces nue direction arbitraire, l«>s diree-

K.T MOIIVKMKNT DKS SVSTKMES. 4^1 TV./ ' .

' D’un s’^tùme ou tes points sont liés par des équations qiii'lconquf^ rntro leurs coordonnées.

Jiisqu’ici- nous n’avons consiclorù qu'un sy.sU'mc* entifrcinenl libre , c'est-à-dire dont les points se trouvent liés que par des cquatioi^ entre leurs distances mutuelles ; mais il est bien facile d’étendrela Inique nous avons tronvec à un System* où les* points Seraient liré par des Mjuations enti'e leurs coonlonnécs relatives h trois axes fixes dans l’espace. Ce ai’est# pas que les fonctions L, M, IV, etc., des distances mutuelles ni ,'n , p, q , etc., ne puissent être regurdées comme fonctions des coordonnées Xj xi 2 > *** 'noyfn de« ex-

pressions \(x — x' )’ {y — *r')’ + ^ — z')% etc., qu’on y substituerait à la place des lignes' /d', etc. , mais elles ne contiennent alors ces coordonnées x , y, z; x', y', z', etc., que d’urte œrtaine manière, et nous voulons passer au cas où elles en seraient des fonctions quelconques. '•

Pour cela , reprenons 'notré système libre de l’article précédent , et, choisissant à volonté trois points de ce système , menons de chacun des autres trois lignes à ces points, et supposons, ce on est toujoqrs le.maiue, que, dans les équations L — con,st.,M-=const., N z= const.,^tc., il n’entre que ces distances et celles qui joignent nos trois points deux à deux.

• * . ___ tionti cl la proporiioM des aulrca snraicnl n^^ccsBaîrcmont ilclcrmint’cs

45 a liQUiiJHUE

Si l’on suppose alors qué ces (rois points deviciinant fixes , les forces «le l’équijibre n’en sont pas moins exprimées par les mêmes fonefions qii’auparavant ; seulement les trois points devenus fixes stÿpoitinant des pressions égales et contraires aux force^jjSt^^rait fallu y appliquer s’ils étaient restés libres ^ec les autres. Actuellement, faisons abstraction dettes trois points, c’està-dire regardons les autres comnte formant à eux Kuls un système (ÿi est ÿlbi que noüs avons en vneT Les équations entre |(eurs distances aux trois points fixes deviendront 'des éqftsitions t|uelconques entre' les coordonnées qui déterminent leurs lieux dans l’espace : cependant les forces de Féqudibre seront exprimées comme auparavant.^ Ceq forces, il est vrai, tg se feront plus éqtiilibre entre elles seules, commft dans le cas du système libre , ob nous les' avons vues se décomposer en forces , deux ^ deux é|^lcs -, et contraires , suivaftt les droites cpii jo^lMtit les points ; et même il pourra souvent arriver qii^ n’y ait aucune actiota directe entre ces mêmes points. Mais, pour concevoir alors comment l’éqtiilibre s opère , il faudra supposer qu'on restitue ces trois points fixes avec lesquels les premierstont en liaison tacite ; et c'est par ces |ftints , comme par des espèces de poulies de Afnvoi , que ceux du système réagiront les uns sur les autres , et entretiendront la loi de leurs résistaiio^.reapecj^ves de la mê||^ lOanière que si tout était libnc dans l’ïàpace.

Voilà précisément! ce qui arrive quand on considère un système dont les ppints sont liés par des équations quelconques entre leur# coordonnées. On ne voit actuellemeni que les pbints dont les coordonnées .paraissent dans ces équations , et l'on rte peut plus ex-

ET M(TUVEMElN'r DES SYSTÈMES. ’ /|53 |>li<)uer ré(^«iJibre entre ces seuls corps : c'est qu’en se donnant une équ^tAn qfielconcpie entre les coordonpées de plusieurs points, on introduit tacitement des objttS ^xès extérieurs, auxquels les points se trouvent liés/^^ouvent par lesquels seuls ils peuvent se qomn^nii^uer leip* action récjproque. Mais si l’on imagine aldlM~ qu’on. /4it pris trois points quelconques dans l’espace, et qu’on ait changé les coordonnées pHnroves en d’autres qui soient , pour chaque point , ses distances à ces {rois foyers , en ajoutant ces trois points au système , et c^si^lérant le tout comme libre , on trouvera pour lès forces la même exprèssion que nous avons donnée plus haut ; et si l’on ne Veut plilA compter ensuite les trois forces appliquées aux trois4oyèrs , parce qu’en les supposant fixes ils n’on6<pas besoin d’ètre retenus ]>ar des forces actuelles, et qn’Us trouvent en eux-inémes les résistances 'néce^irè^^>|l^ Téquilibiji, on n’aura égard , comme on le fait ordiBaUH|tet^ qii’à celles des points du système proposé , lesq^H^ aurqjpt entre elles les mêmes relations qu’au^aravant , et se déduiront immédiatement des équations données , ^ns leur faire subir aucune transformafion.

Et de là résulte enfin ce théorème , qui est l’objet principal dn Mémoire. ^ ,

Quelles que soient les jé^falions L = o , etc. , gui rù- « gnent entre les. coordonnées 5tf.r différents p^ts d'un système, chacune d’elles, pour l’équilibre , demarfde qg'on applique à ce/ points, le long de leurs cMrdonnées , des ^rces quelconguet proptUlionnélles aux fonctions prima de cett» fonction L , relativement à cts coordonnées respectives. ,

Ainsi, en représelitant parL = o., M =o, etc. ,Mes

4f»4 .... . Kt^UII.IBHK

i-tiuattuns quelconqiU'S entre les eooiilondees x, .r, x',y, etc., des difTérénts |ftints, etpar>, p, etc., des oüéffieients cfUelconqiies indéterminé^, on aura , pour les {brces totales, X , Y, Z ; X', etc., qui

doivent être appliquées à ces pointé' suivant leurs coordonnées : , ,

(ir J

dL\

K<fy )

•dM .

■dM '

f* \lfF‘ i ^

dz l

. «Ht ••

\dr! J

\Mx'/

dM ,

'ydz' J

etc.;

-f etc.,

'St l’on élimine 'de étjuations les indéterminées i , P ; etc. , il ipstera les conditions de l’équilibre pro-

• prement dites, c’est-à-dire les .relations qui doivent avoir lieu entre 1« seules forces, apgüqüées et les coordonnées de leurs points â’application pour' ^équilibre du

•. système. . ‘

Les 'étjuprions^A) sont en.m^çe^t90|iàie que les coordonnées tl^ous les points, et les intil^rmii^ées ) , p, ctc.î . en même nombre' que les équations^ condition •/, = o, M=oi etc. Le nombre 3es conditions * de réquilibfe est donc égal à *relui de toutes les coordonrfées , moips le

• noipbre dcs-équations qui les lient j^pai* conséquent les conditions de réquilibrc diminuent à mesure que celles

Kl MOCVKMKN r DKS .SYM l.MKS. 4 ^5 de la liaiMiii aiig'iueiitent. iMais <'oinnie , jiunt un système enlièreniciil libre et tient le nombre de points h , il ne pourrait pas v avoir pbis de 3 /i — (5 étpiations tle condition, auquel cnslafigi^t' serait entièrement diterminee, il s’ensuit que, pour i'eqiiilibre d'un tel système, il reste toujours six eonditions nécessaires, comme nous le savions irailleurs.

En general on voit que les équatiuns de l'equilibre, reunies aux équations de condition , siiftiront pour résoudre tous les problèmes qu’on pourra se proposer sur l'etpiilibre 'du système. Par exemple , on jteut se donner les forces applitpiees X, Y, Z; X', Y*', Z', etc., et detnander la ligure que doit prendrtï le système pour se mettre en équilibre en vertu de ces' forces. Dans et; cas, les ét|uations re#tiies dt>nt je viens de parler, et dont le nombre est q§al à celui de toutes les coordonnées , serviront à les faire connaître , et par cofisef|iient les lieux des tlifferents corps dans l'espace. Mais si l’on «■ donnait la ligure du système, e’est-;\-dire les eoordonnées%le toupies jwints , et qu’tin tieniandilt les .'forces capables de faire prendre au système cette figure, comme les forces X , Y, Z; X', Y', Z', etc., qui seraient alors les inconnues, ne se trouvent que dans les équations' de l’équilibre, e% n’entrent point dans les équations de condipoir; on aurait moins d’équâtions que d’inconnues , et le problènie demeurerait indéterminé : d’ofi l'on voit que , poiir tine même figure du système^ il y a une infinité de groupes de forces ' capables ^ s’y faire ^équilibre ; .ce, ^ui s’aecorde enoore avec ce qUe nous avons trouve prei édcmment , etc. ; etc.

Mais je passe à la conclusion generale f*où l'on raj)-