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|>«lle sous iiU‘iiiLMiif point de vue le problème de l’eipiilibre et celui du luouveraenl.

Conclusion de ce Mémoire.

Les lois de l'équilibre et du mouvement d’un point libre sont connues et parfaitement démontrées ; mais, s'il y a plusieurs points lié-s e/itre eux par des conditions quelconques, quelles seront les lois de l’équilibre et du mouvement de tout le système ? Voilà le problème général de la Mécanique.

Or, L’idée la plus naturelle dans cette recherche est de considérer que, si t*ut lè système est actuellement eij équilibre, chaqu^ point doit être en cxiuilibre de lui-mém«f, en vertu des forces qui lui sont immédiatement appliquées , et. des résistances qu’il éprouve de la part des’autres , à caiise de sa liaison aveé eux. Et de même , quand le système .entre en mouvement, chaque point doit se mouvoir comme s’il était libre , et qu’il obéit aux forces qui le sollicitent et aux forces de résistance dont nous venons de parler. Si donc on savait évalue# ces résistances mutuelles, on n’aurait qu’à les combiner aivec les forces immédiatement données par l’état de la question , et, posant les équations de l’équilibre ou du mouvement pour chaque point , comme s’il était parfaitement libre, on aurait tout ce qui serait nécessaire pour déterminer l’état du système <lans l’espace, et le problème serait rt'SQiu.

Toute ta Mecanitjuc ,u; réduit donc à .coenir estimer les résistnncfit^'ciproques i/uc peuvent se prêter tes diffé-

f;r mouvkmk.nT des systèmes. -iS-j

rerits poiufs d'un System^ f en -veiiu des conditions- qui les lient. .

Mais, pour donner là-dessus une rè^le -^cnén^lc, il faut nécessairement concevoir et» coiidjtibqi exprimées sous une forme générale. 11 fait! rommBncér^r^élablii' une définition générale des systèmes.; sans' quoi la Mer caniqqe ne serait plus que rvniit^|^(ttoi^' des ,,çi^ pl»'i^ culiers d’equijitoe et de mouvcpiem quç l’dn saur§if résoudre, et* il n’y aurait pas plusJJ^u do s’enr'p’hjgtiser le problème {jénéral , que, dansda Grlonietrie ,pde clierclier une règle 'générale- des tangpntes, , si Pon supposait avant tout les courbes’définiA par -leurs equji— tions. ' •

Or, en supposant que les conditions c^ui 'lient enÛY' eii.v plusieurs corps et qui en font iiu ’ jyf /é/tie , .•cîfrfsistent en ce que , daus toutes les positions ôà -peuvent passer ces corps, il y ait des fonctions queWonrra< leurs coordonnées qui doivent toujours (Atieurer'* ] ou constantes , nous avons démontré qulen vertu- de ■ chacune d'elles, les corps sont rendus capables, suivant leurs coordonnées , de résistances siiiiult.-uiées proportion-

nellcs aux fonctions primes de cette fonction, relatifbineut à ces coordonnées respectives. ^ • .

On n’aura donc, pour résoudre h'S problèmes, qu'à prendre les résistances mutuelles des corps , d'après cette règle générale ; à combiner ées forcer avec'c^es qtâ leur sont immédiatement appliquées , et à trai^' 'séparément chacun d’eujt comme s’il était libre. * ,

Ainsi , «des équations pr«-cdeiites (A) , Jes trois premières peuvent être regardées comme les équati^s de l’équilibre du premier. j)oint , <pÿ serait^ libre, mais sollicité à la 4<>ft par les foires ^ipliquées X, Y, Z,

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t't par' k'S l'ortvs ooiilraires' •

:./4L\ .<iM ^ " 'dM

iM\ ■ • 1

. <|«i naissent àes efjuatio'ns L = d < M = o , etc.

■ De ntètnc les {rois équations suivantes peüvent èlneoiisulèréesroinirfe , etc.'; et ainsi des autres.

,ynaiit attx rqiiattons du mouvement, on les for-

HjÇV“ Pd égalant, l’expression .générale de la force

acerdéra.tii'Cc suivant cbaque'coordonnce x, à la force “ ,.à'ppl«jdée J. , combinée avec la résistance suivant cette .^ju(*iiie*tejjfdorift-c , et l’on aurà pour le premier point ,

f/’x .. . : dL

=r X -t- Al •-

dr

dr J 'dL

^dM

Ux

'dM'-

dF

dz

^dM.\

etc. , etc. , etc. ,

' et de •renie le iecond point, • ' .1 ^

dt

, dM

etc» ,

dM'

\<iy .

di

*HT mo(jvi:mi;xt diùs systèmes. 4%

et ainsi ’de suite pouf les antres points du système.

Telles sont les équations génerales'du mou veulent, d'où il s’agira (le tirer, par le calcul intégral, la solution des problèmes qu’on pourra ,se proçosc'r »sur- le mouvement du système. •

De la loi de l’è(^ilibre établie ci-dessus,- i^His aurions bien pu conclure que si l’oB. troublé ÎBÜ&iu^ent peu l’i'quilibre d’un* système quelconque de Corps, de manière que les conditions d^ la liaiSon^iie Soient pas violées, la somme’ des monunts de louti#* les forces appli(|ii('4“s , c’est-ù-dire , suivant l’acception’ de t-aii-J Icc , la somme'dc leurs produits par les chemins respectifs que parcoureqt -leurs points. d’appHcatipn dans le sens de ces forces*, dôit toujours (itre égal -à /airo; ce <]ui constitue le principe-^es vitesses virtuelles. .Mais cf lirincipe n’est plus alors qu’uu simple corollaire de' la théorie precedente, lequel, pour la solution des^pr^ bUmes , n’aurait d’antre avantage (jue de nous ramener ù la règle générale d’où nous l’aurions tiré lui-même,' ot ne se ferait même bien entendre que par (:ettc règle. • On voit encore iju’il a été inutile de ra])|)eler le (*a-

ineu\ principe de d^4lembcrt , qui rèdïîit la Dynamiqi^'

à la Statupic. Kn vertu de ce principe , si l’on décompose chaque mouvement imprimé ei^dcux autres, dont le premier soit celui que le corjts prendra réellement, tous les seconds doivent*se faire êtuiilibre entre eux'; c’està-dire que -si l’on decompo$e chaque mouvement imprimé, en deux, dont'l’un soit celui t|Ue le corps perd, l’autre sera celuwpi’il prendra- Mais cela re'vient immedü^ement^à ce qiÈon vient sfr dire, savoir.^ que le mouvement réel de chaqiie point. est le résultat de son mouvementynprime , et de la résistance qu’il ' éprouve par sa

liaison avec jes antres ; ce qui esl esâdent^d^^jôi-mènjè. Ainsi le principe de d’ Alembert n’est au fond què cette idée simple, .qu’on remarque à peiné dans' ht suite du raisonnemeqt, et qui ne revét la^ forme d’un principka]uc par un certain tour d’expression qu’on lui donne.

Cependant , comme on a vu quen pour avoir le mouvement de chaque pqint, il faut connaître là ^résistance qu’il peut éprouver de la part' des autres, et quéi’d’un

résistances mutuelles ne sont autre chnse

eut^-prouver autre' côte, c^ resi que des fojfc qui se font équilibre à chaque iiwtant sur le système , dans les figures successives où il paæe , il en résulte non-seulement que les"!^ du mouvement peuvent être ramenéfes à celles de l’équilibre , comme on le savait déjà par le' principe ^e d’ Alembert , mais encore qu’elles Joivent v revenir nécessaireAfent d’elles-mêraes : que dans l’étude ordonnée des ‘diverses^ pa||ios. de la Mécanique ,* on ne peut pas <raitér réquilibi*e comlnè un cas particulier du mou^ment, et qu’il est dans la nati#e^ des chose}, que *la. Dynamique soit fondée sur la ^ta- tique.‘?*

ET %iouvemeM' df:# systèmes.