III

3. Maiotenant, si nous représentons les directions des forces par des lignes droites, et leurs intensités par des longueurs proportionnelles prises sur ces lignes, ou par des nombres, il est clair que les forces pourront être soumises au calcul comme toutes les autres grandeurs ; et de là résulte ce problème général dont la solution est l'objet de la Mécanique :

Un corps ou ^stème quelconque de corps étant sollicité par de certaines forces donnéeSj trouver le mouvement que ce corps prendra dans r espace.

Et réciproquement : Quelles doivent être les relations des forces qui agissent sur un ^stème , pour que ce système prenne dans l’espace un mouvement donné-, ce qui est au fond la même question que la précédente.

4. Pour résoudre ce problème général, on commence par résoudre ce cas particulier où l’on demanderait quelles doivent être’ les relations des forces, pour que le système auquel elles sont appliquées prenne un mouvement égal à zéro, c’est-à-dire demeure en équilibre. Ce problème une fois résolu, il est très-facile d’y ramener l’autre; et voilà pourquoi l'oii

4 t^LKMENTS

commence ordinairement l’étude de la Mécanique par celle de la Statique, qu’on définit la science de C équilibre des forces.

L’autre partie de la Mécanique traite ensuite de toutes les questions qui se rapportent au mouvement des corps; elle s’appelle Dynamique , ou science du mouvement. Mais nous ne nous occuperons ici que de la science de l’équilibre.

5. Remarquez d’abord que dans la Statique proprement dite, il n’est pas nécessaire de connaître l’effet actuel des forces sur la matière», c’est-à-dire les divers mouvements qu’elles sont capables de lui imprimer, eu égard à leurs intensités et à leurs directions; mais qu’il suffit de considérer les forces comme de simples grandeurs homogènes, et par conséquent comparables, et d’assigner les rapports qui doivent exister entre elles pour qu’elles se détruisent mutuellement. Ijorsque l’on pa.sse de la théorie de l’équilibre à celle du mouvement, il faut de nouveaux principes sur l’évaluation des forces ; car , oc calculant plus alors que leure effets , il faut savoir les y rapporter : estimer, par exemple, si une force double produit sur le même corps nue vites.se double, ou si la même force, appliquée à un corps de niasse double, produit

DE STATIQUE. f)

une vitesse deux fois moindre, etc. Mais ici, quelle que soit l’action des forces sur les corps ,' que les forces soient proportionnelles ou non à leurs elfèts sensibles, les vérités que nous allons exposer n’en subsisteront pas- moins, parce que ces vérités résultent de la seule présence actuelle de plnsteurs fbrrc»-<|ai m’obtiennent aucun effet, mais qui se détruisent avec évidence : de sorte que l’état d’équilibi'c des corps reste comme un moment singulier de l’état de mouvement , où la mesure des forces par Jeurs effets , et léurs effets mêmes ont disparu.

6. Rigoureusement parlant, uii corps en équilibre est dans le même état que s’il était en repos; car l’effet des forces étant anéanti pour toujours, ou s'anéantissant à chaque instant, si les forces sont sans cesse renaissantes, tout corps en équilibre est actuellement capable de se mouvoir eu vertu d’une certaine force donnée, absolument comme il se serait mù en vertu de la même force , s’il eût été en repos. Cependant on peut distinguer l’équilibre d’avec le repos, en ce que, dans le second cas, le corps n’est sollicité par aucune force , au lieu que , daus l’autre, il est sollicité par des forces qui s’entre-détruisent.

Cette distinction , qui est nulle dans l’état ri-

KLÉMEISTS

fjoureux des, choses, devient sensible dans les 'équilibres que la nature nous offre : presque aucun corps n'est exactement en équilibre; et lorsqu’il nous parait dans cette situaticm, il existe néanmoins entre les forces qui le sollicitent une lutte perpétuelle qui le fait osciller infiniment peu, et le ramène continuellement à une position unique qu’il abandonne toujours. Mais, dans la solution mathématique des problèmes, on doit regarder un corps en équilibre tomme s'il était en repos; et réciproquement, si un corps est en repos , ou sollicité par des forces quelconques, on peut lui supposer appliquées telles nouvelles forces qu'on voudra, qui soient en équilibre d' elles-mêmes , et l 'état du corps ne sera point changé.

On verra bientôt de nombreuses applications de cette remarque.

7. Ces notions préliminaires étaut posées, voyons oonunent on peut procéder à la recherche des conditions de l’équilibre pour un système quelconque de corps , de figure invariable, sollicité par des forces quelconques P, Q, R, S, etc., appliquées eu des points dopnés a, b, c, d, etc., du système.

On supposera d’abord que tous les corps sont

sans pesanteur, c’est-à-dire tels qu’ils iraient s’ils existaient seuls dans l’espace ; de sorte qu’il n’y aura plus à considérer que les ' efforts des seules forces appliquées P, Q, R, S, etc., qui devront se contre-balanccr mutaetlement dans le cas de l’équilibre.

Ensuite il est facile de voir, qu’il suffira de trouver les conditions de l’équilibre pour le simple système des points d’application a, h, c, d,etc. , regardés comme un assemblage de points liés entre eux d’une manière invariable.

En effet, si l’on désigne paro', h', c', d\ etc., les mêmes points a , b, c, d, etc, , dirsystème , mais considérés seulement comme des pointe unis par des lignes droites, rigides et inextensibles, et si l’on suppose que les< forces P, Q , R, S, etc., les maintiennent en équilibre, il est évident que les mêmes forces P, Q, R,;S, etc., maintiendront aussi le système en équilibre ; car on pourrait imaginer que le système a été placé sur les pointe a', b', c', d\ etc., de manière que les points a, b, c, d, etc., coïncident actuellement .avec eux. IjC système étant laissé en repps dans cette situation, l’équilibre des points a', l/, </, d', etc., ne sera point troublé. Mais il est clair que l’équilibre subsisterait encore, si, au lieu de 'supposer les points a et a' , b et b', c et c', etc., coïucidents, ouïes suppo-

KLÉMENTS

sajt unis d'une manière invincible, de sorte que a ■ ne pût se séparer de a', ft de 6' , c de c', et ainsi des autres ; d’où il résulte que' les conditions de l’équilibre entre des forces P, Q , R , S, etc. , appliquées à un système quelconque de corps, sont les mêmes conditions qui auraient lieu entre les mêmes forces P, Q, R, S , etc. , appliquées au simple système des points d’application a, b, c, d, etc., liés entre eux d’uiie manière invariable.

Ainsi , lorsque l’on cherchera les relations de certaines' forces qui se font écpiilibre autour d’un système, quelconque solide', on pourra faire abstraction de tous les corps du système, et supposer qu’il ne reste plus que les points d’application u, h, c,d, etc., qu’on imaginera liés entre eux de manière à ne pouvoir changer leurs distances mutuelles.

D'après ces considérations, l’on dégage du problème et le poids et le volume des corps , et la question devient plus simple.

Par la.suite, nous rendrons aujt corps leur pesanteur, et nous aurons égard à leurs poids respectifs, comme à de nouvelles forces qu’il faudrait combiner avec les autres , pour avoir l’équilibre. Nous pourrons, de cette manière, appliquer les résultats de la Statique à l’éqiii- Ubre des corps naturels qui sont tous pesants.

8. Maintenant , pnisqu’il ne reste plus à considérer dans l’équilibre des forces que trois choses , savoir : * leurs intensités , leurs directions et leurs points d’application, il est visible que les conditions de l’équilibre ne sont autre chose que les relations mutuelles qui doivent exister entre ces trois choses, pour que l’équilibre ait lieu dans le système. Or, on peut déjà comprendre , et l’on verra bientôt que ces relations peuvent être exprimées par des équations où l’on ferait entrer immédiatement les intensités des forces, leurs directions , au moyen des angles qu’elles forment avec des droites fixes dans l’espace, et leurs points d’application, au moyen des coordonnées qui en déterminent les positions respectives.

C’est ainsi qu’on peut se faire une idée du problème de la Stotique, et se mettre au fait de l’état de la question.

Mais on pourra observer que, dans tout ce que nous venons de dire , il ne s’agit que d’un corps libre dans l’espace , tandis que l’on conçoit bien qu'un corps pourrait être assujetti A de certaines conditions, comme, par exemple, de tourner autour d’un point ou d’un axe fixe.

1 0 ÉLKMEMT9

(le s'appuyer constamment sur une surface impénétrable , etc. Mais on verra par la suite que les résistances qu'un corps éprouve à cause des conditions étrangères qui l'assujettissent « peuvent toujours être remplacées par des forces convenables, et qu'a près cette substitution de forces à la place des résistances , le corps peut être regardé comme libre dans l’espace; ainsi

11 était inutile de compliquer au commencement la question.

9. Pour découvrir actuellement la route qui peut nous conduire aux conditions de l'équilibre , représentons-nous un corps ou système tenu en équilibre par des forces quelconques P,Q,R,S, etc., dirigées comme on voudra dans l'espace.

Puisque toutes ces foix;cs se font équilibre, on voit que l'une quelranque d’entre elles, la force P, par exemple , s’oppose seule à l’action de toutes les autres Q, R, S, etc.; d’où il parait que l’effet de ces dernières est de solliciteur le système absolument comme ime simple force égale et contraire à la force P.

C’est en effet ce qui a lieu , et ce qu’on peut porter à la dernière évidence au inoyen de la

remarque précédente (6), et de cet axiome, que deux forces égales et opposées se font nécessairement équilibre.(tü).

Car, supposons que l’on applique au système une force P parfaitement égale et contraire à la force P. Les forces P et P étant en équilibre, leur effet est nul de lui-même, et l’on peut regarder le corps comme n’étant plus soumis qu’à l'action des forces Q, R, S, etc. Mais , d’un autre côté, la force P faisant équilibre aux forces Q, R, S, etc.,, leur effet est aussi nul de lui-même, et l’on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu’à l’action de la simple force P. L’état du corps est donc identiquement le môme ; soit qu’on le suppose sollicité par les forces Q, R, S, etc., soit qu’on le suppose sollicité par la seule force P égale et contraire à celle qui leur ferait équilibre.

Donc, puisqu’il peut arriver qu’une seule force soit capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs, et en tienne parfaitement lieu, notre premier soin doit être de chercher à réduire les forces appliquées au plus petit nombre possible, et d’observer surtout la loi de cette réduction. Alors les conditions de l’équilibre entre toutes les forces se ramèneront aux conditions de l’équilibre entre

ces forces finales équivalentes aux premières, ot

deviendront plus faciles à exprinierl

10. Cette force , qui est capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs antrc^ forces combinées, et qui peut à elle seule eu • tenir parfaitement lieu , se nomme leur résultante. D’où l’on voit, en rappelant ce qui a été dit plus haut, que si plusieurs forces se fout actuellement équilibre sur un corps, l'une quelconque (1 ’entte elles est é^ale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

Les autres forces, à l’égard de la résultante, se nomment les composantes. La loi d’après laquelle on trouve la résultante de plusieurs forces se nomme la composition des forces. La même loi ( mais prise dans l’ordre inverse ) , d’après laquelle ou substitue à une seule plusieurs forces capables du même effet, ou dont la première serait la résultante, se nomme la décomposition des forces.

Nous allons donc commencer par ces deux recherches, qui, au fond, n’en forment qu’une seule, celle de la loi qui lie la résultante à ses composantes.

H. Souvent, pour abréger le discours, nous ap|)ellerons forces parallèles, des forces dont les directions sont parallèles ; forces concou-

rantes, des forces dont les directions concourent, etc.

Nous désignerons ordinairement les forces ■par les lettres P, Q, R,^ S etc. , placées sur les lignes qui représentent leurs directions; et si une lettre, telle que A , indique le point d'application d’une force , telle que P, par exemple , nous supposerons toujours que l’action ^de cette force a lieu de A vers la lettre P, ou que la force tire de A en P.

Si , pour représenter la quantité de cette force, on prend , sur sa direction , et à partir du point A , une certaine ligne terminée AB , on supposera de même que cette ligne est portée du côté où le point d’application A tend à se mouvoir. Ainsi , quand on dira simplement d’une force, qu’elle' est représentée en grandeur et en direction par une certaine ligne terminée qui part du point d’application, il faudra sous-entendre que la force lire ce point vers l’extrémité de la ligne qui la représente.

On pourrait adopter l’hypothèse contraire , c’est-à-dire supposer que la force représentée par la ligne AB pousse le point d’application A pour l’éloigner de l’extrémité B de la ligne qui la représente ; car il ne s’agit ici que d’une simple convention dont on est le "’tnaître , «’t l’on peut faire indifféremment l’une ou l’autre.

1 4 ËLÉMElŸTS

Mais, une fois quelle est faite, il faut avoir

soin de s’y conformer dans la figure, pour

toutes les forces que l'on considère, afin de

donner à chacune d’elles le sens qu’elle doit

avoir, et à l’énoncé du théorème toute son

exactitude.