COMPOSITIOH ET DÉCOMPOSITION DES FORCES

Axiomes, lemmes préliminaires, etc.

12. Il est évideot que deux forces égales et contraires appliquées à un même point sont en équilibre.

Il est encore évident que deux forces égales et contraires appliquées aux extrémités dune droite considérée comme une verge invariable de longueur, et agissantes dans la direction de cette droite, sont en équilibre; car il n’y a pas de raison pour que le mouvement naisse d’un côté plutôt que de l’autre, comme dans le premier axiome.

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l6 kLÉMtJNTS

Corollaire.

13. 11 est facile de conclure de là que l’effet d’une force qui sollicite un corps ne peut être changé en quelque point de sa direction qu'on la suppose appliquée, poiu'vu que ce point soit un des points du corps lui-même, ou, s'il est au-dehors , qu'il lui soit invariablement attaché.

i-i0. 1. Car, soit une force quelconque P {fig. i) appliquée au point A d'un corps ou système quelconque : si l'on prend, sur la direction de cette force, un autre point B invariablement lié au système , de manière que la longueur AB reste toujours constante, et si Ton applique au point B deux forces P', — P' égales entre elles et à la force P, et agissantes dans la direction de AB , le point A sera encore sollicité de la même manière qu'auparavaut ; car l’effet des deux forces P' et — P' est nul de *lui-méme. Mais en considérant la force P et son égale et contraire >— P appliquée en B, il est manifeste que leuH effet est aussi nul. On peut donc les supprimer et il ne reste plus que la force P', qui n’est autre chose que la force P; mais appliquée au point B de sa direction; et le point A n'a pas cessé d’être sollicité de la même manière.

On peut donc appliquer une force en un point quelconque de sa direction , pourvu que ce point soit lié a/u premier^ point ([application par une ligne droite rigide et inextensible.

Remarque.

Lorsque nous changerons ainsi les points d’application des forces , nous ne répéterons pas toujours que l’on doit supposer les nouveaux points invariablement attachés aux premiers , mais il faudra toujours le sous-entendre.

Lemme.

14. liorsqne deux forces P et Q {fig.. a)-soot Fig. 2. appliquées à un même point A sous un angle quelconque, on conçoit bien qu’une troisième force R, appliquée convenablement an point A, pourrait faire équilibre aux deux forces P et Q ; car, en vertu des efforts combinés des deux forces j? et Q, le point A tend à quitter le lieu où il est : or, il ne peut s’échapper que d’un seul côté, et par conséquent . si l’on applique une force convenable en sens contraire, ce point demeurera en équilibre.

Les trois forces P, Q, R, étant en équilibre autour du point A, la force R est égale et directement opposée à la résultante des deux autres (10) : donc deux forces P et Q qui concourent ont une résultante.

Statiqdb P. a ' .

. En second lieu , il est visible que cette résultante doit être dans le plan de leurs directions Fig. 3 AP, AQ [fig. 3) ; car il n’y a pas de raison pour qu’elle ait au-dessus du plan une ccrtaiue position, plutôt que la position parfaitement symétrique au-dessous.

De plus, elle doit être dirigée dans l’angle PAQ des deux forces ; car il est clair que le point A ne peut se mouvoir dans la partie du plan qui est au-dessus de la ligne AQ, vers D; de même il ne peut se mouvoir au-dessus de la ligne AP, vers B; et par conséquent il ne pourra sé mouvoir que dans l’angle PAQ , et la résultante R devra être dirigée dans l’intérieur de cet angle.

Remarque.

15. Il n’ÿ k qu’un seul cas où l’on puisse voir à priori quelle sera la direction de la résultante ; c’est celui où les deux forces P et Q sont égales : alors il est clair que la résultante divise en deux

• également l’anglê qu’elles forment entre elles ; car il n’y a pas de raison pour que cette résultante fasse , avec l’une des composantes , un angle plus petit qu’avec l’autre.

Axiome fondamental.

16. Lorsque les deux forces 'P et Q agissent • dam la même direction et dans le même sens, il

est visible, et l’on doit <(tcorder comme un axiome, que ces forces s'ajoutent et donnent une résultante éqale à leur somme P Q.

Remarque.

Cet axiome est le foudement de toute la .science de l’équilibre. On peut le regarder, si l’on veut, comme une espèce de définition, ou de demande, qu’il ne faut pas essayer de démontrer, car elle est comprise dans l’idée même de la force, considérée comme grondeur, c’està-dire comme susceptible d’être augmentée ou diminuée. Et en effet, quelle idée pourrait-on se faire, par exemple, d’une force double ou triple d’une autre, si l’on ne regardait cette force comme la réunion actuelle de deux ou de trois forces, égales qui tirent à la fois le même point dans le même sens? C’est ce qui a été naturellement sous-entendu dans tout ce qui précède. Au reste, ce postiilatum est le seul que la science exige; après quoi tous les théorèmes de la Statique rationnelle ne sont plus au fond que des théorèmes de Géométrie.

Comllaire. • *

17. Üe l’axiome qui précède ou peut conclure (en combinant successivement les forces deux à deux) que la résultante de tant de forces que l’on

voudra , • qui af'issent dans une même direction et dans le même sens, est égale à leur somme totale, et agit dans la même direction ;

Que lorsque "deux forces inégales P et Q agissent en sens contraires dans une même direction , leur résultante est égale à la différence P — Q des forces, et quelle agit dans le sens de la plus grande; car 'on peut concevoir dans la plus grande, que je suppose P, par exemple, une force égale et contraire à Q , et qui la. détruit On peut supprimer ces deux forces-là , et le point est actuellement tiré par la différence P — Q des deux forces P çt Q.

'D’où l’on voit qu’ën général Ut résultante de tant de forces que F on voudra , agissantes dans ta même direction, est égale à F excès" de la somme de celtes qui tirent dans un sens , sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire , et quelle agit dans le sens de la plus grande somme.

Rematque.

18. Telles sont quelques-unes des propositions les plus élémentaires , dont on découvre la vérité à priori, et presqu’à la première inspection. Le cas le plus simple de la composition des forces , et en même temps celui où l’on connaît tout d’un coup la résoltaute , est évi-

DE 8TAT1QÜE. 21

demuieot le cas des foi^ces qui agissent dans une même direcjtion. Nous allons donc com* mencer la composition des forces par celles qui s'y ramènent immédiatement. «

Composition des forces qui agissent suit>ant des directions parallèles .

riiéorèine 1.

19. Si (leux Jb rces quelconques P et Q (fig. 4)> Fig. 4. pavallèles et de même sens, sont appliquées aux extrémités A ef B d’une droite rigide AB , je dis : i“. Que CCS deux forces ont une résultante, et que celte résultante doit être appliquée à la ligne AB entre les deux points A et B ;

2“. Que cette force est parallèle aux composantes P et Q , et égale à leur somme.

1°. Appliquez à volonté aux deux, points A et B deux forces M et N égales et contraires et qui agissent dans la direction AB. L'effet de ces deux forces sera nul , et par conséquent l'effet des deux forces P et Q ne sera pas changé ; mais les deux forces M et P appliquées ^en A ont une résultante S appliquée au point A , et dirigée dans l’angle MAP (14). De même les deux forces N et Q ont une résultante T , appliquée eu B et dirigée dans l'angle NBQ. Couce-

*vez <ju’on ait pris ces deux résultantes , et qu’ou les ait appliquées toutes deux au point D ou leurs directions vont nécessaircment Se couper; la résultante des deux forces S et T sera absolument la même que celle des deux forces P et Q : or, étant appliquée en D, et devant être dirigée dans l’angle ADB, elle ira passer entre A et B , en un certain point C , où l’on pourra la supposer appliquée.

2°. Maintenant, pour démontrer que cette résultante est parallèle aux forces P et Q , et égale à leur somme ^ imaginons qu’au point D on redécompose la force S en, deux composantes M' et P', parfaitement égales et parallèles aux premières M et P; de même qu’on redécompose la force T en deux composantes N' et Q', parfaitement égales et parallèles aux premières N et Q. Les deux forces M', N' seront égales : de plus , elles seront directement opposées, puisque, appliquées à un même point D, elles sont parallèles à une même droite MN ; et par conséquent leur effet sera absolument nul. Il ne restera donc que les deux forces P' et Q', i-espectiyement égales et parallèles aux forces P et Q. Or, ces deux forces étant évidemment dans une même direction, se composeront en une seule R , égale à leur somme P -4- Q' ou P -t- Q ; ce qu’il fallait démontrer.

DK STATIQUE.

Corollaire 1.

20. Si les deux forces P et Q (Ji(j. 5) SOUt Fig 5. égales entre elles, le point C d'application de la résultante sera au milieu de la ligne AB. Prenons , en effet^ les deiu forces M et N dont on est maître, égalcs,aux forces? et Q. résultante S des deux forc<» égales M et P divisera en deux également l'angle MAP (IS); et à cause de DG parallèle à la ligne AP, le triangle ACD sera isoi cle. Par uoe.raison toute semblable , le triangle BCD sera isocèle; et l’on aura d’une part, AC'= CD, et de l’autre, CD = ÇB; d’où AC = CB.

Corollaire II. ’■

21. Il résulte de là que la résultante de tant de forces parallèles qu’on voudra , égales deux à deux, et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d’une même droite , est égale à la somme de toutes ces forces, leur est parallèle, et passe par le milieu de la droite d’application. Car, en combinant successivement deux à deux les forces égales placées de part et d’autre à des distances égales du milieu de la ligne droite, leurs résultantes successives passeront toutes par. ce même point, et sajou-

feront ensuite, comme étant de même sens et

de même direction.

22. Et réciproquement on pourra décomposer toute force P appliquée à une ligne , en tant d’autres forces parallèles qu’on voudra, appliquées à différents points de cette ligne , pourvu que ces forces, deux à deux, soient égales, à égales distances du point d’application de la force P, et que leur somme totale soit égale à cette même force.

‘ Théot'ème 11.

Eig.6. 25. Le poiril C (fig. 6) (f application ■ de la résultante de deux forces parallèles P et Q qui agissent aux extrémités A et B dune droite inflexible A B , partage cette droite dans la raison réciproque de P à Q: de sorte que Con a P : Q ; ; BC ; AB.

Supposons d’abord que les forces P et Q soient commensurables, c'est-à-dire soient entre elles comme deux nombres entiers rn et n.

Divisons AB au point H en deux parties directement proportionnelles aux deux forces P et Q, de manière qu'on ait : AH : BH ; ; P I Q, et par conséquent , tn *. n. Sur le prolongement de la ligne inflexible AB, prenons AG = AH , et BK = BH. Le point A sera le milieu de GH , et le point B le milieu de HR.

Cela posé, puisque les forces P et <3 sont entre elles comme les lignes AH et BH, elles f|i seront aussi entre elles comme les mêmes l^es doublées, c’est-à-dire comme les lignes GH et HR. Et comme U y a, par hypothèse, dans * la ligne AH, m mesures telles que BH en contient n, il y aura im mesure^ dans GH, et an mesures égales dans HK. Or, on peut décomposer la force P en am forces égales et parallèles, appliquées aux am points milieux des communes mesures de la ligne GH (22) ; et la force Q en an forces parallèles, égales entre elles et aux premières , appliquées aux an points * . ’ milieux des communes mesures de la ligne HK. t‘‘y . Maintenant toutes ces forces égales, étant équi- ^ distantes, se trouveront placées deux à deux à égales distances du milieu G de la ligne entière GR, et par conséquent leur résultante générale, qui est celle des <leux forces P et Q, passera nécessairement par le milieu de la ligne GR.

Mais à cause de GC = AC, il vient, en retranchant la partie commune AC, BC = AG = AH ; et en ajoutant de part et d’autre CH ,

AC = BH. Donc puisque l’on a P ; Q ; ; AH : BH , on a aussi :