I ^ ÉLÉMENTS

la Statique rationnelle ne sont plus, au Ibud, que des théorèmes de Géométrie.

Corollaire,

17. De Taxiome qui précède on peut conclure (en combinant successivement les forces deux à deux) que là résultante de tant de forces que l'on voudra , qui agissent dans une même direction et dans le même sens , est égale à leur somme totale, et agit dans la même direction ;

Que lorsque deux forces inégales P et Q agissent en sens contraires dans une même direction , leur résultante est égale à la différence P — Q des forces, et quelle agit dans le sens de la plus grande 5 car on peut concevoir dans la plus grande, que je suppose P par exemple, une force égale et contraire a Q, et qui la détruit. On peut supprimer ces deux forces-là, et le point est actuellement tiré par la différenceP — Q des deux forces P et Q.

D'où Ton voit qu'en général, la résultante de tant de forces que Von voudra, agissantes dans la même direction, est égale à r excès de la somme de celles qui tirent dans un sens, sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire, et qu'elle agit dans le sens de la plus grande somme.

Remarque.

18. Telles sont quelques-unes des propositions les plus élémentaires, dont on découvre la vérité à priori, et presque à la première inspection. Le cas le plus simple de la composition des forces, et en même temps celui où Ion connaît tout d'un coup la résultante, est évidemment Je cas des forces qui agissent dans une même direction. Nous allons donc commencer la composition des forces par celles qui s'y ramènent immédiatement.

DK STATIQUE. |3

Composition des forces qui agissent suivant des directions parallèles.

Théorème I.

19. Si deux forces quelconques 1? et Q (fig. 4), parallèles et de même sens, sont appliquées aux extrémités A et B d'une droite rigi(le AB^ je dis :

1^ Que. ces deux forces ont une résultante, et que cette résuU tante doit être appliquée à la ligne AB entre les deux points A etB\

7? Que celte force est parallèle aux composantes T? et Q^ et égale à leur somme.

i^ Appliquez à volonté aux deux points, A et B deux forces MetN égales et contraires, et qui agissent dans la direx;lion AB. l.'eiTet de ces deux forces sera nul, et, par conséquent, Teffel des deux forces P et Q ne sera pas changé : mais les deux forces M et P appliquées en A ont une résultante S appliquée au point A, et dirigée dans l'angle MAP (14?). De même, les deux forces N et Q ont une résultante T, appliquée en B et dirigée dans l'angle NBQ. Concevez qu'on ait pris ces deux résultantes, et qu'on les ait appli([uées toutes deux au point D où leurs directions vont nécessairement se couper 5 la résultante des deux forces S et T sera absolument la même que celle des deux forces P et Q : or, étant appliquée en D, et devant être dirigée dans l'angle ADB, elle ira passer entre A et B, en un certain point C , où l'on pourra la supposer appliquée.

a^. Maintenant,* pour démontrer que cette résultante est parallèle aux forces P et Q, et égale à leur somme, imaginons qu'au point D on redécompose la force S en deux composantes M' et P', parfaitement égales et parallèles aux premières M et P 5 de même, qu'on redécompose la force T en deux composantes IN^ct Q'; parfaitement égales et parallèles aux premières N et.Q. Les deux forces M' et N' reronl égales', de plus, elles seront directement opposées, puisque, appliquées à un même

l4 ÉLÉMENTS

point D, elles sont parallèles à une même droite JVIN, el, par conséquent, leur effet sera absolument nul. Il ne restera donc que les deux forces P' et Q', respectivemeut égales et parallèles aux forces P et Q. Or, ces deux forces étant évidemment dans une môme direction, se composeront en une seule R, égale à leur somme F-hQ' ou P + Q. Ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire L

20. Si les deux forces P et Q [fig. 5) sont égales entre elles, le point C d'application de la résultante sera au milieu de la ligne AB. Prenons, en effet, les deux forces M et N dont on est maître, égales aux forces P et Q. La résultante S des deux forces égales M et P divisera en deux également J'angle MAP (15) ', et à cause de DC parallèle à la ligne AP, le triangle ACD«era isocèle. Par une raison toute semblable, le triangle BCP sera isocèle; et l'on aura, d'une part AC = CD, et de Tamise CD = CB : d'où AC = CB.

Corollaire H.

21 . Il résulte de là que la résultante de tant de forces parallèles qu'on voudra, égales deux à deux, et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d'une même droite, est égale à la somme de toutes ces forces, leur est parallèle, et passe par le milieu de la droite d'application. Car, en combinant successivement deux à deux les forces égales placées de part et d'autre à des distances égales du milieu de la ligne droite, leurs résultantes successives passeront toutes par ce même point, et s'ajouteront ensuite, comme étant de même sens et de même direction.

22. Et, réciproquement, on pourra' décomposer toute force P appliquée à une ligne en tant d'autres forces parallèles qu'on voudra, appliquées à différentà points de cette ligne, pourvu que ces forces, deux à deux, soient égales, à égales distances du point d'application de la force P, et que leur somme totale soit égale à celte même force.

DE STATIQUE. l5

Théorème IL

%i. Le point C (fig. 6) d'application de la résultante de deux forces parallèles V etQ qui agissent aux extrémités A el B d^une droite inflexible AB, partage cette droite dans la raison réciproque dePàQ,de sorte que fon a P : Q :: BC : AB.

Supposons d- abord que les forces P et Q soient comraensurâbles, c'est-à-dire soient entre elles comme deux nombres entiers m et n.

Divisons AB au point H en deux parties directement proportionnelles aux deux forces P et Q , de manière qu'on ait