P:Q::BC: AC

l6 lÊLifeMEKTS

Supposons, en second lieu, que les de«x forces P et Q ne soient pas commeiisuràbles.

Je remarque d'abord que si la résultante de deux forces quelconques P et Q [fig. 7 ) appliquées aux points A et B, tombe en C^ la résultante de la force P et d'une force Q -h I > Q tombera entre le point C et le point B; c'est-à-dire qtie lé point d'application de la résultante s'approchera <îu point ^'application de la composante qui aura augmenté. En effet, pour irou- Ycr la résultante des deux composantes P et Q -f-I, ^ri p^ut prendre d'abord la résultante R dfe Pet-Q, qui passe au point C, par hypothèse, et ensuite celle de R «t de I, dont le point d'application sera entre C et B (19).

Maintenant, si la résultante des deux forces incommensurables P et Q (fig, 8) ne passe pas au point C, qui est tel qu'on a P : Q :: BC : AG, elle passera en un autre point situé entre A et C, ou entre C et B. Supposons que ce soit en Centre A et C. Partagez la ligne AB en parties égales toutes plus petites que GC , il y aura au moins un point de division entre C et G. Soit I ce point : les deux lignés AI et BI seront commensurables, et le point I pourra être considéré comme le point d'application de la résultante de defux forces P et Q', qui seraient telles, qu'où aurait P : Q^ Il BI : AI, ce qui donne Q^ <!iQ (puisqu'on a , par hypothèse, P : Q :: BC : AC). M?tisla résultante des deux forces P et Q' passant en I , celle des deux forces P et Q ]> Qf passera entre I et B, et ne pourra tomber en G, coptrerhypothëse.

On ferait voir absolument de la même manière qu'elle; ne peut tomber entre C et B 5 et , par conséquent , elle passe nécessairement e;n C. '

Corollaire L

24. Lorsque trois forces parallèles P, Q, ^{fig-g) sont en équilibre sur une ligne AB, l'une d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante des deux autres. Ain^i la force Q, par exemple, prise en sens contraire, est la résultante des deux forces P et R. Comme les deux forces P et Q tirent dans le

Dlrf STÀTIQÎJE. 17

même sens, là force R est égale k P-hQ, et, par conséquent, Q = R — P; d'où il suit que la résultante de deux forces parallèles qui agissent en sens contraii^es est égale à leur difiërence^ et tire du même côté que la plus grande.

25. Les deux forces P et R étant données, ainsi que la distance ÂB qui sépare leurs points d'application , si Ton demande le point d'applicatioa de là résultante Q, on fera cette proportion, P:Q::BC:AC; d'où Ion tire P-f-Q:Q::BC-^AC:AC, c'est-à-dire R : Q :: AB : AC, proportion qui fera connaître AB, et, par conséquent, le point B.

Corollaire IL

26. Supposons que les deux forces P et R soient égales, la résultante Q sera zéro, et la distance AB de son point d'applî-

cation sera, par la proportion ci-dessus , j c'est-à-dire

infinie.

Si les deux forces P et R, au lieu d'être égales, différaient d'une quantité très-petite, la résultante Q, qui est égale à cette

R X AC différence, serait très-petite, et la distance AB= — — — serait très-grande, à cause du dénominateur Q très-petit : ainsi , plus les deux forces s^ approchent de Inégalité, plus la résultante diminue et plus la distance du poitit où elle est appliquée augmente. De sorte que, lorsque les deux forces deviennent parfaitement égales, la résultante est nulle, et la distance du point d^application infinie ; ce qui parait annoncer qu'il n'y a plus afors àp résultante, ou, en termes plus clairs, qu'on ne peut pas trouver actuellement une force unique qui fasse équilibre à deux forces ^ales, parallèles et de Sens opposés.

27« Maïs, pour ne laisser aucun nuage sur cette dernière conséquence, imaginons, s'il est possible, qu'une force unique R fasse équilibre aut deux forces P et* — P, parfaitement égales, parallèles et contraires.

D'abord j quelle que soit la positiou de cctlc force iiinque à regard des deux proposées, on lai trouvera sur-le-cljamp, daas un sens contraire, une autre posiliou toute semblable àrégard des mêmes forces; car tout est égal de part et d'autre. Si donc une force R fait équilibre aux deux forces Pet — P, il y a une autre force — R égale, parallèle et de sens opposé, qui leur ferait aussi équilibre» Ajoutez cette seconde force — R5 et pour ne rien changer, détruisez-la immédiatement par une force R' égale et contraire. Il y aura donc équilibre entre les cinq forces R, P, — P, — R et R'. Mais il y a équilibre entre les trois forces P, — P et — R : donc il y aurait équilibre entre les deux forces restantes R et R' ; ce qui est impossible, puisque ces deux forces égales et parallèles agissent dans le même sens (^9).

Ainsi les deux forces P et — P ne peuvent être tenues en équilibre par aucune sîîmple force, et, par conséquent, elles n'ont point de résultante unique.

Nous reviendrons bientôt sur ces sortes de forces, dont la considération, qui n'avait paru jusqu'ici que comme un cas singulier^ fera la seconde partie essentielle de nos Eléments.

Corollaire HL

28, De même que Ton compose ,en une seule deux forces parallèles, qui agissent à des points donnés d^une ligne, on peut aussi décomposer une force quelconque R [fig, 6), appliquée â un point C d'une droite inflexible, en deux autres P et Q qui lui soieul parallèles, et qui agissent eu des points donnés A et B de cette droite. Il ne s'agit pour cela que de partager la force R en deux autres qui soient entre elles dans le rapport des distances BC et AC \ et pour trouver la force Q par exemple , on se servira de la proportion R : Q i: AB : AC, dans laquelle il n'y a que Q d'inconnue. La force P sera égale à R^ — Q.

Si le point C d'application de la force R (fig. ro) qu'on veut décomposer ne tombait pas entre A et B, points d'application donnés des composantes P c{ Q que Ton clierchc, on antaît de même la proportion R : Q ;i AB : AC, qui ferait ron!*aître la force Q 5 mais la force P serait égale à R + Q.

DE STATiQuë. I9

Corollaire IV.

29. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces parallèles^ on peut facilement trouver celle de tant de forces parallèles qu'on voudra, appliquées aux diflTérehts {K>ints d'un système quelconque de figure invariable.

Soient, par exemplei les quatre forces parallèles P, P', P^, ?"' [fig. Il), appliquées respectivement aux quatre points A^ B, C, D, situés d'une manière quelconque dans Fespace, et liés entre eux d'une manière invariable. En considérant ces forces deux à deux, elles sont situées dans un même plan. Ainsi l'on peut prendre d'abord la résultante X des deux forces P et P' ; elle sera égale à la somme P + P', et passera en un point I de la ligne AB, qu'on trouvera en divisant AB dans la raison inverse de P à P^ La résultante X étant ainsi déterminée, on joindra le point I où elle agit, au point C de la troisième force P^', Les deux forcer X et P'' étant parallèles, on en prendra la résultante X^ comme nous avons fait tout à l'heure : ççtte résultante sera égale à leur somme X + P^', et le point F où elle devra être appliquée se trouvera en divisant la droite Cl, dans la raison réciproque de X à P''. Joignant enfin le point F au point D d'application de la quatrième force P*', et divisant la droite. FD en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces X' et P", on aura le point G d'application de la résultante générale R, qui sera parallèle aux deux forces X' et P''', et , par conséquentfà toutes les composantes 5 égale à leur sonune X'-h F", et, par conséquei^t, à la somme de toutes les composantes.

Le raisonnçment que nous venons de faire s'étend manifes^ tement À un npmbre quelconque de forces pai:allèhes.

Si parmi les forces P, P', I^, etc., les unes agissaient dans un sens, les autres dans le sens contraire, on commencerait par prendre la résultante de toutes celles qui agissent dans le même sens, on chercherait ensuite la résultante de celles qui agissent dans le sens contraire; et toutes les forces étant alors rériui tes à deux forcés parallèles et de sens contraires, on en trouverait la résultante par ce que nous avons dit plus haut.

30* On peut donc, en général, délennincr la position el la quaniilé de la résuhanle de lant de forces parallèles qu'on voudra : cette résultante sera parallèle aux forces, et égale à ^ excès de la somme de celles qui tirent dam un sens, sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire.

J'ai dit en général^ parce ([u'il peut arriver que la résultante des forces qui tirent dans un sens soil parfaitemenl égale à la résultante de celles qui tirent dans le sens contraire, sans lui être directement opposée 5 et alors il n'y a pas de résultante unique, comme nous Ta von s vu plus haut.

Corollaire V.

31, Supposons que les quatre forces P, F, P''', P^'- sans changer de grandeur, sans cesser d'être parallèles et de passer aux mêmes points respectifs A, B, C. D, viennent à prendre les positions /?, p\ p^\ ^ dans Tespace.

Si Ton en clierche la résultante, en suivant le même ordre que plus haut, on trouvera d^abord que la résultante œ de p et j/ passe au même point I que la résultante X de P et F, et qu*elle lui est égale. Elle passera par le même point, parce que son point d'application doit diviser la même droite AB dans la raison réciproque de jî a p\ qui est la même que celle de P à F. Elle lui sera égale^ parce quW aura P-^F=:p-î-jî'. On trouvera de même que la résultante a/ de x et p^' passera au même point F que la résultante X' de X et F', et qu*elle lui sera égale, et ainsi de suite : de sorte que la résultante générale des quatre forces p, p\ p^\ p^", passera au même point que la résultante des quatre forces P, Fj F', F^' ; et cela est général, quel que soit le nombre des forces. D'où Ton peut con- Idure ce théorème remarquable :

32, Si ton considère un système quelconque de forces parallèles, appliquées à un assemblage de points A» H, C, D, etc^ et qu'on incline successivement tout le système de ces forces dans diverses situations, de manière que les mêmes forces passent toujours par les mêmes poinU, et conservent leurs grandeurs et leur

paraUélisme, les résultantes générales qu'an trouvera suecessivement dans chacune de ces positions se croiseront toutes au mérf^ point.

Ce point d'intersection des résultantes successives se nomme le centre des forces parallèles. Nous aurons occasion d'en parler plus loin, quand il sera question des centres de gravité.

On peut remarquer, au reste, que dans la démonstratioh précédente, il n'est pas nécessaire de stipposer que les forces conservent toujours les mêmes grandeurs; il suffit que, dans les positions successives du groupe, elles demeurent proportionnelles.

Composition des forces dont les directions concourent en un même point.

Théorème III.

33. La résultante des deux forces quelconques P el Q (fig. 12) appliquées à.un même point A, sous un angle qu>elconqu>e, est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme ÂBCD construit sur les deux lignes AB, AC, qui représentent les forces 1? etQen grandeur et en direction.

D'abordi, nous avx)ns vu (14) que cette ri^sultante doit être dans le plan des deux forces P et Q ; en second lieu, qu'elle doit être appliquée au point A, puisque cette résultante, par hypothèse, doit solliciter le point A absolument de la même manière que les deux forces P et Q.

Je dis mainten^int qu'elle doit passer au point D, extrémité de la diagonale AD*

Prenons, en effet, sur le prolongement de la ligne BD la partie DG = DC, et achevons le losange CDGH. Appliquons aux points G et H, et dans la direction de GH, deux forces Q' et (^contraires, égales entre elles et à la force Q. Il est faci^ de voir que la résultante des quatre forces P, Q, Q'et Q^' doit passer au point D. Car, 1° àcausedé Q's:: Q, les deux forces parallèles Pet Q' sont entre elles comme les côtés AB, AC, ou comme DC et DB, ou bien, à caus^ de DC =;; ÇQ, camine

les lignes D(t (:l DB, cl, par conséquent (23)^ leur résulUiHe S passe en D j a*' les deux forces Q et Q'' étant égales, leur résultante T, prolongée, divise eu deux égalemeiil l'angle CHG du losange CDGH, et va passer aussi par le point D, où Ton peut la supposer appliquée. Doue la résullanie générale, qui est celle des deux forces S elT, passe au point D.

Mais les deux forces Q' et Q" appliquées sur GH ëlam parfaitement égales et contraires^ leur elTel est absolument nul, et la résultante des quatre forces P, Q, Q' et Q'' est identiquement la même que celle des deux forces P et Q. Donc, puisque la première passe en D, celle des deux forces P et Q passe aussi au même point.

Puisque ta résnllante passe à la fois par les deux points A et D, elle est donc nécessairement dirigée suivant la diagonale AD.

CiïToUaire.

34. Concluons de là que si l'on connaissait seulement les directions des deux forces P et Q (^j^. i3)j et celle de leur résultante R, on pourrait déterminer Iç rapport de la force P à la force Q. Car, en prenant sur la direction de la résultante un point quelconque D, et menant de ce point deux parallèles DC et DB aux directions des composantes P et Q, et qui rencontrent ces directions en C et B, on aurait nécessairement P ; Q :: AB: AC Sans quoi Ton aurait P est à Q comme AB est à une ligne AO plus petite ou plus grande que AC; et alors la résultante des deux forces P et Q serait dirigée suivant la diagonale AI d'un parallélogramme AOIB difTérenl du parallélogramme ABDC", ce qui est contre Thypothèse.

Théorème ÎW

3o. La résuiiante des deuœ forces quelconques P elQ{(ig. 14)

appliquées à un même point A , est reprëiseniée en fjrandeur et en direction par ta diagonale du paraUélogramme ABDC, comlruit fiur kfi deux liqnen AB, AC qiti représentent ces forces en grandeur et en direction.

iNuUis avons déjà vu que celte résulta nie est dirii;ée Minant

UE STA.TIQCE. 3^

la diagonale^ reste à faire voir qu'elle est représentée en quaii* lilé par la diagonale elle-même.

Soit R cette résultante : supposez qu'elle soit appliquée au point A.sur le prolongement de la diagonale DA, en sens contraire de son action. Les trois forces P, Q, R seront en équilibre sur le point A. Donc Tune d'elles, la force Q par exemple, sera égale et directement opposée à la résultante des deux autres Pet R. Donc la direction de la force Q, prolongée, aéra celle de la résultante des deux forces P et R. Donc si| du point 6, vous menés à la direction AR la parallèle BG qui rencontre en G le prolongement de QA, et du point G à la direction AP la parallèle GH qui rencontre en H la direction de la force R, les deux .forces P et R seront entre elles comme les côtés AB, AH du parallélogramme A6GH.(34). Mais la ligne AB représente actuellement la force P -, donc la ligne AH représenta la force R. Or, par les parallèles, on a AH = BG = AD ; donc, etc.

Corollaire L

36. Puisque les trois forces P, Q, R sont entre elles comme les trois lignes AB, AC, ÂD, et que dans le parallélogramme ABDÇ ou a AB = CD, on peut dire que. ces trois forces sont entre elles comme les trois côtés CD, CA et AD du triangle A CD. Mais ces trois côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés CAD, CDA, ACD, et à cause des parallèles, Tangle CDA = l'angle BAD, l'angle ACD est supplément de l'angle BAC, et, par conséquent, a le même sinus ; on a donc

P : Q : R :: sînCAD : sînBAD : sinBAC.

D'où Ion peut conclure que, la résultante de deux forces P et Q étant représentée par Je sin^us de l'angle formé par leurs directions, les deux forces P et Q sont représentées réciproquement pa{* les sinus des deux angles adjacents à la direction de la résultante ; ou, si l'on veut, chacune des forces'Py Q, R est comme le sinus de F angle formé par les directions des deux autres.

Remarque,

37. On peul voir par U, et mieux encore par la considération immédiate du parallélogramme des forces, que lorsque deux forces agissent sur un même point sous un angle qui n'est pas égal à deux droits, elles ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ue soient nulles ellesmêmes, chacune en particulier.

Car, si aucune des deux forces n'était nulle, on pourrait construire un parallélogramme sur les deux lignes qui les représentenl en grandeur et en direction, et la diagonale de ce parallélogramme serait la résultante.

Si Tune d'elles seulement était nulle, la seconde serait la résultante; et, par conséquent, la résultante ne peut être nulle, h moins que les composantes ne soient toules deux nulles en même temps.

Lorsque les deux composantes agissent sous un angle égal à deux angles droits, elles sont alors contraires, et la résultante n'est pas nulle dans le seul cas où ces deux composantes sont nulles toutes deux, mais encore dans celui où elles sont égales*

Coroliaire H.

38* On peut toujours décomposer une force donnée R en deux autres P et Q dirigées suivant des ligues données AP, AQ (fig. i5}, pourvu que ces directions et celle de la force R soient comprises dans un niÊme plan et concourent au même point A 5 car, prenant sur la direction de la force R une partie AD qui représenle sa quantité, et par le point D menant les droites DC, DB parallèles aux directions données AP, AQ, on formera un parallélogramme ABCD, dont les côtés AB, AC représenteront les forces demandées P et Q.

Si l'on veut calculer immédiatement leurs grandeurs, on pourra faire ces deux proportions :

R :P ::sinBAC isînCAD, R : O ::sinBAC :%inBAD, •

dans lesquelles il n'y a que P el Q d^înconnues.

DE STATIQVE. a5

Remarqtêe.

39. Si Fangle BAC était droit, on aurait , en supposant le rayon = i , sin BAC = i ; sin CAD = cos BAD ; et, réciproquement, sin BAD = eos C AD ; et les deux proportions ci-dessus deviendraient

R:P :ri:cosBAD, R:Q::i:cosCAD.

D'où

P = R.co8BAD, et Q = R.co8CAD.

n résulte de là que lorsqu'on décompose une force en deux antres qui agissent suivant des directions rectangulaires entre elles, on trouve chaque composante en multipliant la force proposée par le cosinus de Tangle qu'elle fait avec la direction de cette composante.

Chaque composante est représentée par la projection de la résultante sur sa direction, et c'est ce qu'on appelle souvent la force estimée suivant cette direction. Ainsi R.cosBAD, ou U composante P, est la force R estimée suivant la direction AP^

Corollaire IIL

40. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces appliquées à un point, on peut déterminer celle de tant de forces P, Q, R, S, etc., qu'on voudra, appliquées à un même point A^ et dirigées d'une manière arbitraire dans l'espace. Car, en considérant d'abord deux quelconqqes de ces forces, comme les forces P et Q par exemple, ces deux forces seront dans ui^ même plan, et Ton en déterminera la résultante comme nous Tavons fait tout à l'heure. Soit X cette résultante; on prendra semblablement la résultante de la force X et d'une autre telle que R. Combinant ensuite cette résultante, que je désigne par Y, avec une nouvelle force S, on aura leur résultante Z^ qui sera celle des quatre forces P, Q, R, S 5 et, continuant ainsi, on arrivera nécessairement à la résultante générale.

20 ÉLÉMEHTS

Si toutes les forces P, Q, R, S, etc., sont dans im même plan, les résultantes successives X, Y, Z, etc., seront dans ce même plan, et, par conséquent» la résultante générale y sera aiissî.

Si toutes les forces sont en équilibr^ la résultante générale sera nulle. ^

Par celte composition^ successive ^e, plusieurs forces autour d'un même point, on voit encore que, si Ton décrit dans l'espace un contour polygonal dont les côtés successifs soient parallèles et proportionnels à ces forces, la droite qui ferme ce contour et i achève ainsi Le polygone. est. parallèle et propor^ tionnelle à la résultante générale de toutes les forces ] de sorte que si. le polygone se trouve fermé de lui-même, la résultante est nulle, et toutes les forces sont en équilibre autour du point qu'elles sollicitent.

Le théorème suivant n^est, au fond, qu'un cas particulier de cette élégante proposition \ mais, comme il est d'un fréquent usagé en Mécanique, nous allons l'énoncer et ]e déinontrer expressément.

Théorème V,

41 . Si trois forces X, Y, Z, appliquées à un même point A (fig. 16) dans V espace sont représentées par les trois lignes AB, AC, AD, et quon achève te paraîlélipipède A . . .F, la résultante R de ces trois forces sera représentée par la diagonale AF de ce paraîlélipipède.

En effet, les deux forces X et Y, qui sont représentées par lés deux côtés du parallélogramme ABGC, donneront pour résultante une force P représentée par la diagonale AG de ce parallélogramme.

Ensuite, à cause de AD ^al et parallèle à GF, la figure AGFD sera un parallélogramme, et, par conséquent, les deux forces P et Z donneront une résultante R représentée par la diagonale AF, laquelle est en niême temps la diagonale du paraîlélipipède proposé.

Remarqtie,

42. Observons sur-le-champ, comme au n*' 37, que tant que les trois forces X, Y, Z ne seront pas dans un même ^an, elles ne pourront jamais donner une résultante nulle, k moins .qu'elles ne soient nulles elles-mêmes en particulier.

Car, si aucune déciles n*ét^t nulle, on pourrait construire le parallélipipède sur les lignes qui les représentent en grandeur et en direction, et la diagonale serait la résultante.

Si Tune d'elles seulement était nulle, les deux autres qui, par hypothèse, ne sont pas en ligne droite, auraient une résultante.

Enfin, si deux d-eiitrç- elles seulement étaient nulles, la troisième serait la résultantç^ et, par conséquent^ les composantes X, Y, Z doivent être nulles toutes trois, pour donner une résultante nulle.

Corollaire I.

43. OnToit par le théorème précédent ^qu'on pourrait nomri mer le parallélipipède des /orbes), qu'une force quelconque donnée R est toujours décomposable en trois autres X, Y, Z respectivement parallèles à trcHS lignes données dans Fespace, pourvu que doux de oellesrci. ne soient pas parallèles.- -

Car, en prenant la partie A F pour représenter la quantité de la force R, et menant par le point A d'application trois lignes parallèles aux droites données chacune à «chacune, on conduira par le point.A trois plans indéfinis XY, XZ, YZ, e^ par le point F trois autres plans respectivement parallèles aux premiers 5 et ces six plans détermineront le parallélipir pède dont les trois arêtes contiguës AB, AC, AD, représenteront les trois composantes X, Y, Z.

. Corollaire IL

44. Si le parallélipipède est rectangulaire, on aura, dans le reelattgle ADFG, AF = AD H- AG ; mais, dans le rectau-

a8 ÉLÉMENTS

gle ABGC , on a AG = AC + AB : donc en substituant cette valeur de AG , on aura

ÂF*=ÂdVÂcVÂb'; par conséquent,

Ce qui donne R = ^X* -h Y* 4- Z* pour la valeur de la résultante en fonction des trois composantes.

4*5. Si Pon veut avoir les trois composantes en fonction de la résultante et des angles qu'elles font avec elle, en nommant d'abord a l'angle que la résultante R fait avec la composante X^ on aura visiblement AF : AB :: i : cosa, et, par conséquent,

R:X::i:cosa;

d'où l'on tire X = R cosa.

En nommant de nième (3 et y les angles que la résultante fait respectivement avec les composantes Y et Z, on trouvera Y == RcosP, Z = Rcosy ; d'où il suit qu'on trouvera les valeurs des trois composantes respectives en multipliant la résultante par les cosinus respectifs des trois angles que sa direction forme avec les directions de ces composantes.

Remarque.

46. Puisqu'on a trouvé R* = X*-l- Y*-hZ% en substituant pour X, Y, Z leurs valeurs respectives Rcosa, Roosê, Rcos y, on aura

R* = R*cos*a -H R*cos* 6 + R*cos*7 ;

ou bien,

R» = R* ( cos» a -H cos* 6 + cos* y) ,

d'où

co8*a -H cos* 6 -H cos* 7 = 1,

relation connue qui a toujours lieu entre les angles que fait une droite avec trois axes rectangulaires dans l'espace.

DE STATIQUE. 2g