COMPOSITION ET DÉGOMPOSITIOH DES COUPLES

47. Pour abréger le discours, nous appellerons couple l'ensemble de deux forces, telles que P et t— P {fig. 17), égales, parallèles et contraires, mais non appliquées au même point. La perpendiculaire, commune AB, menée entre les directions des deux forces^ sera le bras de levier du couple, et le produit P X AB de Tune des forces par le bras de levier en sera nommé le moment.

Quelle que soit Faction de deux forces telles que P et — P, . sur le corps auquel elles sont appliquées, nous avons vu (27) que cette action ne peut être contre-balancée par celle d'aucune simple force appliquée comme on voudra au même corps, et que, par conséquent, l'effort d'un couple ne peut être comparé d'aucune manière à une simple force. Pour distinguer cette nouvelle cause de mouvement, qui est en quelque sorte d'une nature particulière, on pourrait lui donner un nom particulier; mais celui de couple nous suffit, et peut très-bien désigner à la fois l'ensemble des deux forces contraires dont il s'agit, et le genre d'effort auquel ce couple donne naissance.

Au reste, comme on verra tout à l'heure que l'effort d'un couple est mesuré par son moment, on pourra souvent substi* tuer ce second mot au premier, ou les prendre quelquefois l'un pour l'autre.

La composition des couples formera la seconde partie essentielle des principes de notre Statique, et se reproduira dans le cours de cet ouvrage presque aussi souvent que la composition des forcés. On en verra bientôt dériver les lois de l'équilibre d'une manière si naturelle et si simple, que l'on nous pardon^ nera d'avoir paru nous arrêter ici à l'examen d'un cas singulier, lorsque nous tendions peut-être le plus directement pos-" sible vers le but principal.

Ce que nous allons dire sur les couples est tout à fait indépendant de l'effet qu'ils produisent sur les corps; mais lors-

3lO ÉLÉMENTS

qu^on voudra se faire une idée des sens respectifs de différents couples situés dans le même plan, on pourra se représenter que les milieux de leurs bras d^ levier sont fixes : alors l'effet de chaque couple sera visiblement de faire tourner le corps autour du milieu de son bras de levier, et l'on distinguera facilement le sens des couples en distinguant les couples qui tendent à faire tourner dans un sens d'avec ceux qui tendent à faire, tourner dans le sens contraire* Mais ne perdons pas de vue qu'il n'y aura réellement aucun point fixe (à moins que nous n'en avertissions expressément), et que l'idée de rotation, qui jusqu'ici est [purement accessoire, ne servira qu'à faire image aubesoiu.

Translation dei couples.

48. Nous avons vu plus haut qu'une force peut être trans* portée en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce point soit lié au premier d'une manière invariable : voici une proposition analogue pour les couples, qui n'est pas moins remarquable que la première, et dont nous ferons le plus grand usage par la suite.

Lemme.

49. Un couple, quelconque peut être transporté partout où Von voudra dans son plan, ou dans tout a^utre plan parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan, sans que son effet sur le corps auquel il est appliqué en soit changé, pourvu quçn suppose le nou-. veau bras de levier invariablement attaché au premier.

Pour démontrer plu9 facilement celte proposition, nous la décomposerons en deux autres.

.3oit d'abord le couple (P, — P) (/îjf. i8) appliqué perpen* diculiairement sur AB ^ prenons où l'on voudra, dans le plan de ce couple ou dans tout autre plan parallèle, la droite CD, égale et parallèle à AB; joignons AD et BG, qui seront dans un même plan, et se couperont visiblement au milieu I de leurs longueurs respectives ; et supposons enfin les droites AB et CD liées entre elles d'une manière invariable. . Si l'on applique sur la ligne CD, parallèlement aux forces

OB STATIQUE. 3l

p et — P, deux couples contraires (P', — P')> (^"^ — P')» égaux entre eux: et au couple proposé (P, — P), il est évident que ces deux couples se détruiront dVux-mèmes, et que, par conséquent, Reflet du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'utt autre c6té, il est facile de voir que les deux couples (P, — • P) et (P^, — P'^) se détruisent aussi d'eux-mêmes^ car, le poîtit I étant à la fois le milieu des deux lignes AD et BC, les deux forces égales et parallèles P et P", appliquée» sur AD, donnent une résultante parfaitement égale et opposée à la résultante des deux forces — P et — P", appliquées sur BC- On peut donc supprimer les deux couples (P, — P), (P^ — P'^), et il ne reste plus que le couple (P', — P') appliqué sur CD, lequel n'est autre chose que le couple primitif qu'on aurait, pour ainsi dire, transporté parallèlement à luimême, de manière que son bras de levier AB fût venu dans la position parallèle CD.

Soit, en second lieu, le couple (P, — P) (fig. 19) appliqué pejpendiculaîrement sur AB. Tirons dans le plan de ce couple, sous un angle quelconque avec AB, la droite CD = AB, et supposons que ces dçux droites se coupent au milieu I de leurs longueurs respectives et soient invariablement fixées entre elles. Si l'on applique à ai>gle droit sur CD deux couples con- U*aires (P', — P^), (P'', — F') égaux entre eux et au couple proposé (P, — P),ces deux couples se détruiront d'eux-mêmes, et, par conséquent, l'effet du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'un autre côté, les deux couples (P, — P), (P'', —P''), se détruisent aussi d'eux-mêmes : car, avec un peu d'attention, on voit que les deux forces égales P et — P" qui se rencontrent en G, donnent une résultante égale et directement opposée à la résultante des deux forces — P et P^"^ qui se rencontrent en H. On peut donc supprimer les deux couples (P, — P), (P'', — P'^), et il ne reste plus que le couple (P', -^-P') appliqué sur CD, lequel n'est, pour ainsi dire, que le couple primitif qu'on aurait tourné dans son plan^ de manière que son bras de levier AB fût venu dans la position oblique CD.

De ces deux propositions létuiies, on jkîuI conclure qa'iiii couple quelconque, sans que son effet soit changé, peut être transporté daus son plan, ou dans tout autre plan parallèle, en telle posiliou tpx'on voudra : car ou peut d'abord le transporter parallèlement à ses forces dans le plan donné, de manière que le milieu de son bras de levier tombe au point donné qu'on voudra, el Ton peut ensuite le tourner autour de ce pointj de manière à ramener dans la position donnée^ ou, réciproquement, on peut le tourner d'abord dans son plan, de manière que ses forces deviennent parallèles aux nouvelles directions qu'on veut leur donner, et ensuite le transporter immédiatement dans la position donnée.

Transformation des coupks ; leur mesure.

Lenime.

80. On couple quelconque (P, — P) (^J, 20) applique sur un bras de levier ÂB, peut être changé en un autre {^Q^ -^Q) de même &ens, appliqué sur un brùB de levier BC diffèrent du premier, pourvu qu'on ait P : Q : : RC 1 AB, ot* P X AB = Q X BC^ c'e»i-â-dins pourvu que les moments de ces couples soient égaux.

Prenons, en eflTet, sur le prolongement de AB une partie quelconque BC, et appliquons sur BC, parallèlement aux forces P et— P, deux couples (Q, — Q), (Q\ —Q') égaux et contraires : leur effet sera absolument nul, et, par eonséquent, celui du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'un autre cûlë, si Ton suppose que les forces P et Q^ et, par conséquent, P et Q', sont en raison inverse des lignes AB el BC, leur résultante, qui est égale à P H- Q', passe en B, et détruit évidemment les forces contraires — P, — Q' qui s'y trouvent. On peut donc supprimer les quatre forces P, Q', — P, — Q', et il ne reste plus que le couple (Q, — Q) appliqué sur BC, letjuel remplace le couple proposé {P, — P) appliqué sur AB.

DÉ SïiTklQDE. 33

Corollaire.

51 . Il u'est pas difficile de conclure de li que les efforts des couples sont proportionnels à leurs moments.

En effet, on peut voir d'abord que deux couples (P, — P), (Q, — Q) {fig. ai), qui agissent sur les bras de leviers ^aux AB, CD, sont entre eux comme les forces P et Q de ces couples : car, si Ton suppose les forces P et Q entre elles comme deux nombres entiers, comme 5 et 3 par exemple, en partageant chaque force P et ^ — P en 5 forces égales, et chaque force Q et — Q en 3 forces égales entre elles et aux premières, on pourra considérer le couple (P, — P) comme la somme de 5 couples égaux et de même sens, appliqués parfaitement Tun sur Fautre, et le couple (Q, — Q) comme la somme de 3 couples égaux entre eux et aux premiers, aussi appliqués Fun sur Fautre. Les intensités dés couples (P, — P), (Q, — Q), seront donc entre elles comme 5 à 3, ou comme P à Q. Si les forces P et Q sont incommensurables, ou fera le raisonne* ment connu, etc.

Maintenant soient deux couples quelconques (P, — P], (Q, — Q) ; soient p le braà de levier du premier, et q le bras de levier du second : le couple (Q, — Q), agissant sur la

h'gne g, est équivalent au couple ( - Q, — - Q ) > qtii agirait

sur kl ligne p; car les moments sont ^aux de part et d'autre,

le premier étant Qqf, et le second, - Q'P = Q9' Ainsi, au

lieu des deux couples proposés, on a ces deux-ci (P, — P),

( - Q, — ^Q) qui ont un même bras de levier p. Mais les.

intensités M et N de ces deux couples sont entre elles comme

leurs forces, et, par conséquent, Ion a M : N :: P : - Q, ou

bieuMrN ::P;>:Qg.

52. Ptiisque deux cou ples" sou t entre eux dans le rapport (le leurs moments, il s'ensuit que le moment d'un couple est la

mesure de son efforl ou de son intensité : car si Ton prend pour unité de couple celui qui est composé de deux forces égales à Funité de force, appliquées sur un bras de levier égal à l'unité de ligne, le couple (P, — ,P) au bras de levier /> contiendra autant de fois l-unité de couple que le moiûent P X p contiendra le moment i X i, c'est-à-dire contiendra l'unité.

Remarque.

53, Pour comparer entre elles les grandeurs ou les intensités des couples, on pourrait prendre aussi, au lieu des produits Pp, Q9 des forces par leurs bras de levier rectangulaires, les produits de ces mêmes forces par des bras de levier obli* ques sur leurs directions. Mais il faudrait pour tous les couples que les bras de levier fissent le même angle avec les forces, n est clair qu alors les bras de levier obliques seraient tous proportionnels aux bras de levier rectangulaires, et que, p^r conséquent, les nouveaux moments seraient proportionnels aux premiers.

Nous emploierons quelquefois ces nouveaux moments dans la mesure relative de différents ccoiples.; mais nous regarderons toujours les autres comme la mesure absolue de leurs intensités.

Composition des couples situés dans un même plan\ ou dans des plans parallèles.

Théorème I.

54. Deux couples situés comme on voudra dans k même plan ou dans des plans parallèles, se composent toujours en un seul, qui est égal à leur somme, s'ils tendent à faire tourner dans le même sens, ou égal à leur différence s'ils tendent à faire tourner en sens contraires.

En effet, on peut d'abord ramener ces deux couples dans un même plan, ensuite ramener leurs forées au parallélisme.

tïE STATIQUE, 35

enfia les cliangev en deux autres équivalents qui auraient un même bras de levier, et alors les appliquer l'un sur l'autre.

Soient P et Q les forces composantes des deux couples, p etq leurs bras de levier respectifs; et soit D la longueur du bras de levier commun aux deux couples transformés. Au lieu du couple (P, — P) au moment P/>, on substituera le couple équivalent (P', — P'), dont le moment P'D ferait égal à Pp. On substituera de même, à la place du couple ( Q, — Q) au moment Q^, le couple (Q'j"*-Q') au moment 'Q'D = Q5f5 et ces deux couples transformés étant appliqués l'un sur l'autre, sur le même bras de levier D, on aura un couple unique résultant [(P'+Q'), — fP'+Q')], dont le moment sera

(P'+Q')D, ou P'D-i-Q'D==Pp-l-Qg.

Ainsi , le moment résultant sera égal à la somme des moments composants, ou bien à leur différence, selon que les forcçs F^ et Q^, qui agiront à la même extrémité du bras de levier D, seront de même sens, ou de sens contraires.

Corollaire.

On voit donc, en combinant ainsi les couples deux à deux^ que tant de couples qu^on voudra, situés d'une manière quelconque dans un même plan ou dans des plans parallèles, se réduiront toujours à un seul, égal à la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme de ceiix qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

Et réciproquement, on pourra décomposer un couple donné en autant d^autres qu'on voudra, situés dans le même plan ou dans des plans parallèles. On pourra même prendre à volonté tous ces couples, hors un seul ; car il suffira que la somme de ceux qui agissent dans le même sens, moins la somme de ceux qui agissent en sens contraire, soit égale au couple proposé.

Composition des couplçs situés dans des plans quelconques.

Théorème IL

55. Deux couples situés comme on voudra dans deux plans qui se coUpent sous un angle quelconque se composent toujours en un seul.

Et si Von représente les moments de ces couples par les longueur 9 respectives de deux droites tirées sous un angle égal à celui des d^ux '^lansy et qu'on achève le parallélogramme, le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale de ce parallélogramme, et le plan de ce couple partagera J angle que font entre eux les plans des couples composants, comme la diagonale dupa-rallélogramme partage F angle que font les deux côtés adjacents.

Soient^ en effet, les deux couples proposés, situés dans leis deux plans AGM, AGN {fig. aa), qui se rencontrent suivant AG ; et supposons qu'on ait d'abord changé ces deuv couples en deux autres respectivement équivalents, qui auraient un même bras de levier.

En quelque lieu que soit situé le couple (P, — P) dans le plan AGM, on pourra le ramener dans ce plan à angle droit sur Tintersection AG, de manière que son bras de levier AB tombe sur l'intersection A<jr (49). De même, en quelque lieu que soit situé le cpuple (Q, — Q) dans le plan AGN, on pourra le ramener aussi à angle droit sur la n^ème intersectioD^ çt de manière que son bras de levier, égal au premier, coïncide avec lui en AB.

Alors les deux forces P et Q appliquées en A se composeront en une seule R appliquée au même point A, et repré-r sentée par la diagonale AR du parallélogramme construit sur les deux lignes AP, AQ, qui représentent les forces P et Q, Les deux forces — P, -r-Q, appliquées en B, se composeront aussi en une seule — R appliquée en B, parfaitement égale, parallèle et contraire à la première-, et Ton aura, au lieu des deux couples (P, — P), (Q, — Q)? le couple unique (R, — R) appliqué sur le même bras de levier AB.

DE STATIQUE. '\y

Puisque ces trois couples ont un même bras de levier, leurs moments respectifs sont proportionnels aux valeurs des trois forces P, Q, R. Donc, si Ton représente les moments des deux couples composants par les deux lignes AP, AQ qui leur sont proportionnelles, le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale AR du parallélogramme APRQ construit sur ces lignes. Or il est visible que les angleis formés par les trois lignes AP, AQ, AR, mesurent les angles que font les trois plans*, donc le plan du couple résultant partage Fangle des d^ux autres plans, comme la diagonale AR partage l'angle PAQ des deux côtés adjacents AP, AQ» Donc, etc.

Corollaire.

56. On pourra donc toujours réduire à un seul tant de couples que Ton voudra, appliqués à un corps d^une manière quelconque dans l'espace ; car, en les composant successivement deux à deux, comme nous venons de faire, on arrivera nécessairement à un couple unique dont on connaîtra le plan et la grandeur, et qui sera équivalent à tous les autres.

Réciproquement, on peut toujours décomposer un couple en deux autres situés dans deux plans donnés, pourvu que ces plans et celui du couple pioposé se rencontrent suivant une mênie droite (ou suivant des droites parallèleà^ car, en transportant le plan de Fun de ces couples parallèlement à luimême, ce qui est permis (49), on rassemblerait leurs trois intersections parallèles en une seule).

Remarque /.

57. Pour opérer cette décomposition, on n'aura qu'à suivre dans l'ordre inverse le procédé que nous venons de donner pour là. composition de deux couples; ou bien l'on emploiera la méthode suivantCj, qui est très-simple, et dont nous nous servirons quelquefois.

Soit AZ {fig. 23) la commune intersection des trois plans : menons à volonté un plan YAX qui les coupe suivant les trois

38 ÉLÉMEflTS

lignes respectives AY, AV, AX*, et soit ZAV le plan du couple proposé*.

. En quelque lieu que ce couple (P, — P) soit situé dans le planlZAV, on peut le placer de manière que ses forces soient parallèles à l'intersection AZ, et que la direction de Tune d'elles, comme de la force — P, coïncide avec cette même intersection. Alors la direction de rautre* force P rencontrera quelque part ei| B la droite AV, et l'on aura lé couple (P, — P) appliqué d^une manière quelconque sur AB, comme on le voit dans la figure. Maintenant formons, suivant les directions AY, AX, avec AB comme diagonale, le parallél<^ramme BCAD; et à l'un des angles C ou D, en D par exemple, appliquons deux forces contraires P', — P', égales et parall^es aux forces P et : — P du couple proposé. L'effet de ce couple ne sera pas changé. Mais actuellement, au lieu du couple (P, — P) appli* que sur la diagonale AB, un peut en considérer deux autres : l'un (P', — P) appliqué, sur le côté AD dans l'un des plans donnés ZAY ; Tàtitre (P, — P) appliqué sur BD parallèlement à l'autre plan ZAX. Or ce couple peut être transporté parallèlement à lui-même dans ce plan ZAX^ sur lé côté AG = ËD ; et l'on aura alors, au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB, deux couples (P', — P), (P, — P'), composés de forces égales et parallèles aux premières, appliqués dans les deux plans donnés sur les côtés AD, AC.

Remarque IL

58. Si l'on supposait que le plan YAX fût mené perpendiculairement à la commune intersection AZ des plans des trois couples, les forces de ces couples seraient perpendiculaires aux lignes AY, AV, AX ; et comme ces forces sont égales, les moments des couples seraient proportionnels à leurs bras de levier AD, AB, AC; et, d'après ce que nous venons de dire, on retomberait sur le théorème précédent (55) : ce qui fournit, comme on voit, une nouvelle démonstration de ce théorème.

Remarque 111.

59. Cette double démonstration vient de la doublé manière dont on peut transformer les deux couples avant de les composer. Dans la première, on commence par leur donner un même bras de levier avec des forces différentes \ dans la seconde, on leur donne les mêmes forces avec des bras différents.

Il y. aurait une troisième démonstration qui se ferait sans rien changer aux deux couples proposés. Car soient (P, — P) et (Q, — Q) (/îj. 23 bis) deux couples appliqués perpendiculairement au plan du triangle ABC, sur les bras respectifs AB, AC ; et supposons que les deux forces P et Q qui tirent en B et C soient de même sens. Il est clair que ces deux forces se composent en une seule P+ Q de nième sens, et appliquée au . point g qui divise la base BC dans la raison réciproque de P à Q. Lçs deux forces — P et — Q qui tirent en A se composent de même en une seule — (P + Q) appliquée au point A ; et si l'on fait, pour abréger, P + Q = R, on a le couple résultant (R, — R) appliqué sur kg dans un plan perpendiculaire au triangle ABC.

Maintenant, que du point g on mène deux parallèles aux côtés AB et AC, et qu'on achève ainsi le parallélogramme Klgm\ il s'agirait de prouver que les moments de nos trois couples, savoir,

PxAB, QxAC, RxA</,

sont entre eux comme les côtés A{, A m et la diagonale hgàe ce parallélogramme. Or c^est ce qui est facile ; car en mettant, au lieu des forces P, Q, R, les trois lignes C^, B9, BC, qui leur sont proportionnelles, on voit que pes moments sont entre eux comme les trois produits

CffXAB, BjjfxAC, BCxAflf.

Mais les triangles semblables donnent

C5XAB = BCxA/, et Bg X AC = BCx Am.

4o ÉLÉMENTS

Substituant ces deui^ nouveaux produits à la place des deux premiers, et supprimant partout le facteur commun BC, on a les trois moments dont il s'agît dans la proportion des simples lignes A/, Am, Ag\ ce qu'il fallait démontrer.

On peut varier encore ces démonstrations ; mais il y a une manière bien plus simple de présenter la composition des cou* pies, comme nous allons le voir dans ^article suivant.

Êcçpression plus simple des théorèmes qui concernent In composition des couples.

60. Au lieu de déterminer la position d^un couple par celle de son plan, on peut la déterminer par la direction d^une droite quelconque perpendiculaire à ce plan, et que Ton pourra nommer Vaute du couple. Puisqu'un couple peut être suppose appliqué où Ton voudra dans son plan ou dan^ tout autre plan parallèle (49)^ il est visible que Ton connaîtra la position d'un couple dans l'espace, lorsque l'on connaîtra la direction de son axe : car, en élevant où l'on voudra sur cet axe un plan perpendiculaire, on pourra prendre ce plan pour celui du couple proposé.

Aiiisî la position de différents couples parallèles peut être donnée par une seule droite perpendiculaire à tous ces couples, et qui en sera, pour ainsi dire, l'axe commun.

Si les couples sont situés dans des plans quelconques , on supposera d'abord,. pour plus de clarté, qu'ils soient transportés dans des plans respectivement parallèles, tous conduits par un seul et même point A, pris à volonté dans l'espace, et qui deviendra le commun centre de tous ces couples : et sL Ton prend ce point pour l'origine des perpendiculaires qu'on élève à ces plans respectifs, la position des différents couples se trouvera donnée par celle d'autant de droites partant d'un seul point , et faisant entre elles les mêmes angles que les plans des couples proposés.

De plus, si , à partir de ce point A , on porte sur ces droites des longueurs AL, AM^ AN, etc., proportionnelles aux mo-

meD.ts respectifs de ces coaples, que je désigne ici par les simples lettres L,, M, N, etc., chacune de ces lignes terminées, telle que ÂL, suffira pour représenter à la fois Taxe et la grandeur du couple L qui lui correspond.

Enfin , si Ton veut que la même ligne AL puisse encore indiquer le sens dans lequel ce couple agît (ce qui est nécessaire pour achever la détermination complète du couple), il n'y aura qu'à faire une convention toute semblable à celle qui regarde les simples forces. Or, pour une simple force P appliquée en Â, et qu'on représente par une certaine ligne AP, cette convention consiste, comme on l'a dît (11), en ce que l'action de cette force a toujours lieu de A vers P, ou que la force tire de A en P. Ici , pour un couple L appliqué autour du centre A , et dont je représente l'axe et la grandeur par la ligne terminée AL, je supposei^ai toujours que le sens du couple ou de la rotation qu'il tend à produire est tel, que> si l'on se plaçait au point L, considéré comme le nord , pour regarder devant soi le point A^ considéré comme le midi, on verrait la rotation se faire de l'orient à l'occident, ou de la gauche à la droite, comme se fait à nos yeux le mouvement du soleil. C'est d'ailleurs le sens ordinaire dont la main fait tourner la plupart des instruments de rota^tion ; et c'est dans ce senç convenu qu'agira pour nous le couple représenté par la ligne AL.

On peut adopter, si l'on veut, la convention contraire, pourvu qu'on s'y conforme avec le même soin pour tous les couples dont il s'agit dans une même figure, ou dans l'énoncé d'une même proposition:.

Au reste, on voit qu^une des deux conventions, comme la première, nous suffit; car, s'il fallait indiquer dans la figure un couple 1/ contraire à L, on le représenterait de même par une lignç AL', mais portée de l'autre côté du point A sur le prolongement de la première. Il est clair, en effet, que ce second couple qui, vu du point L\ ferait tourner dans le sens convenu, c'est-à-dire de gauche à droite, étant vu du point L, ferait tourner de droite à gauche, et* serait réellement contraire au premier.

Par cette manière de déterminer les couples et d'en indiquer les sens simultanés, ori voit dohc que la représentation géométrique de tant de couples qu'on voudra, appliqués sur un corps dans des plans quelconques, dévient parfaitement la même que celle d'autant dé simples forces appliquées sur un point ^ et l'on va prouver tout à l'heure que leur composition peut s'exprimer par des lois toutes semblables. Tout se réduit, en effet, à la démonstration du théorème suivant, qui remplace le théorème H, et qu'on peut très-bien nommer le paraUélogramme des couples.

Théorème.

61 . Si deux couples L etM. sont représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les deubc côtés AL et KM ^unparaU lélogramme ALGM, ces deux couples se composent en un' seul G représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AG de ce parallélogramme.

En effet, que du point A et dans le. plan du parallélogramme ALMG {fig. ^4) on même deux lignés K', mm' perpendiculaires et proportionnelles aux àeux côtés respectifs AL et AM , et qui soient toutes deux coupées par leur milieu au point A. Si l'on achève les parallélogrammes A tgm , A Vg'm\ il est clair que ces parallélogrammes seront égaux entré eux , et semblables au premier ALGM, et que, par conséquent, la ligne gg' sera aussi perpendiculaire et proportionnelle à la diagonale AG, et coupée en son milieu au point A .

Maintenant, que sur les lignes W, mini comme bras de levier, et dans des plans perpendiculaires à la figure, on applique deux couples composés de forces ^ales, le premier (P, — P) sur la ligne ll\ et le second (P, — P) sur mm*\ et supposons, pour nous conformer à la convention ci-dessus (60), que ces couples tendent tous deux à faire tourner de gauche à droite quand on les regarde l'un après l'autre des points L et M. Il est évident que ces deux couples peuvent être piris pour ceux que les côtés AL et AM représentent : car, i^ ils sont situés dans des plans perpendiculaires à ces côtés; i^ ils ont des moments propor-

tiomiels aux mépoies côtés ; et 3^ leurs sens simultanés sont conformes à la conTention établie. Or il est aîsé de voir que ces deux couples se composent en un seul , représenté de même par la diagonale AG. En effet, les deux forces P et P appliquées en / et m se composent en une seule 2 P parallèle, et de même sens, appliquée au point c, qui est le milieu de /m, et, par conséquent , le milieu de A j. De même les deux forces — P et — P^ en V et m', se composent en une seule — aP appliquée en c', milieu de Aj'j et Ton a le couple résultant (aP, — aP) appliqué sur la ligné. ce', ou simplement, le couple (P, — P) appliqué sur la ligne double gg'^ Or ce couple est évidemment perpendiculaire et proportionnel à la diagonale AG, et fait aussi tourner de gauche à droite quand on le regarde du point G. Donc, etc.

Nous aurions pu tirer ce théorème de l'une des démonstrations qui précèdent, mais nous avons préféré d'en faire ici la démonstration immédiate, et sur une nouvelle figure, où l'on vît clairement les sens relatifs que doivent avoir ensemble les trois couples que Ton y considère.

RemarqiAB I.

62. On voit ici, par un raisonnement tout à fait semblable à celui du n° 37, que si deux couples agissent dans des plans qui se coupent, ou qui ne sont point parallèles, ils ne peuvent ja-^ mais donner un couple résultant nul , à moins qu'ils ne soient, nuls tous les deux à la fois.

Remarque IL

63. Lorsque les plans des couplés composants sont rectangulaires entre eux, les deux axes AL et AM sont aussi rectangulaires, et dans le rectangle ALGM, on a AG = AL 4- AM •, de plus, si l'on nomme a et (3 les angles que fait la diagonale AG avec les deux côtés adjacents AL, AM, on a

AL = AG.cosa, AM = AG.cos^.

44 1&LÉM£liTS

Donc, en désignant simplement lès trois momènls respectifs par les lettres L, M, G, on a, pour le moment G,

d'où

G = v^L«-hM%

et , pour les angles a et [3 que son axe fait avec les axes des deux autres, L = G cos a , M := G cosjS ^ d*où

C0Sa = r7 C06p = 77.

Remarque III.

En général , si Ton nomme cp Tangle que font entre eux les deux couples composants, ou leurs axes AL et AM, on aura dans, le parallélogramme ALGM,

AG = AL + AM -h aÂL X AM.costp, et, par conséquent,

G* = L* ^- M* -4- 2 LMcosçp;

ce qui donne le couple résultant G par les couples composants L et M, et leur inclinaison mutuelle f .

Si Tangle (f est nul, on a cosf = i, et il vient

G==L-hM5

ce qui s'accorde avec ce qu'on a déjà vu : car les deux couples sont alors dans le même plan et de même sens, et ils se composent en un seul égal à leur somme.

Si l'angle (f est égal à deux droits , oii a cos y = — i , et il vient G = L — M^ ce qui doit être, car les deux couples sonl alors de sens contraires, et ils se composent en un seul égal à leur différence.

Lorsque f est un angle droit , cos <p = o, et l'on a

G=v/LM-MS comme ci-dessus.

Remarque IV.

De la composition de deux couples, il est bien facile de sVlever à la composition de tant de couples qu'on voudra, et il est évident qu^on aura des théorèmes tout semblables à ceux qui regardent les simples forces autour d'un point : cependant je crois devoir énoncer et démontrer comme théorème le corollaire suivant, à cause du grand usage qu'on en peut faire en Mécanique.

Théorème.

64. Trois couples représentés , pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par Us trois arêtes contiguës dun parallélipipêde , se composent toujours en un seul représenté^ pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale de ce parallélipipède.

Soient, en effet. A... G {fig. aS) le parajlélipipède; AL, AM, AN , les côtés qui représentent à la fois les axes et les moments des trois couples.

Les deux couples représentés par les deux côtés AL, AM du parallélogramme ALOM, se composeront en un seul représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AO de ce parallélogramme. Maintenant ce couple, et le troisième représenté par AN, se conlposeront en un setd représenté par la diagonale AG du parallélogramme ANGO. Or celte diago* nale est en même temps celle du parallélipipède; donc, etc.

65. On voit encore ici, par le même raisonnement que celui du n^ 42, que si trois couples a^ssent dans trois plans qui forment un angle solide ou qui se coupent en un point unique, ils ne peuvent jamais avoir un couple résultant nul , à moins qu'ils ne soient nuls en même temps tous les trois.

Remarque.

66. Lorsque le parallélipipède est rectangulaire, en nommant L, M. N les moments composants, et G le moment résultant , on a manifesiemenl G* = L' -h M' -H N*.

En désignant par 2, fx, v les trois angles que la diagonale, ou plutôt que Taxe du couple résultant fait avec les trois axes des couples composants , on a

L==GcosX, M = Gcpsw, N = Gcosv5

d'où

CQsA = ^, cos;x=— , cosv = ^-

Donc, s'il s'agit de calculer le moment résultant G de trois moments L, M, N, dont les axes sont rectangulaires^ on aura pour sa valeur G = \/L*-l- M'4- N', et pour les angles X,.fx, v, que son axe fait avec les trois axes des moments composants^

cos A =

cos fJt =

cos V =

S'il s'agit, au contraire, de décomposer un couple G en trois autres, situés dans trois plans rectangulaires entre eux, ou dont les trois axes soient rectangulaires, on aura, pour les valeurs respectives des moments composants,

L = GcosX, M = Gcos/x, N = Gcosv;

1, jji, V étant les trois angles que Taxe du couple donné fait avec ceux des couples composants cherchés.

' 67. Au reste, nous ne nous arrêterons par sur ces détails ; nous remarquerons seulement qu'entre les sept quantités L, M, N, G, cosX, cosjiA, cos V, on a quatre équalions qui sont :

G' = L* -h M» -h N% L = GcosX, M=Gcosjut, N = Gcosv,

au moyen desquelles, connaissant d'ailleurs trois de ces quantités, on pourra déterminer les quatre autres.

Il faut pourtant excepter le cas où IW ne connaîtrait que les trois angles X, fx, v; alors on ne pourrait obtenir que les rapports des moments L, M, N, G.