CONCLUSION GÉNÉRALE DE CE CHAPITRE

Composition des forces dirigées comme on voudra dans t espace.

68. Soient tant de forces que Ton voudra, P, P,, P,,, etc., appliquées d^une manière quelconque dans Fespace, à un corps ou système libre.

Je considère d'abord l'une d'elles, la force P (/îj. a6) par exemple,, qui eist appliquée au point 6. Ensuite, au point A, arbitrairement pris dans ce corps, ou au dehors (pourvu qu'on l'y suppose invariablement fixé), j'applique deux forces contraires P', — P', égales et parallèles à la force P. Il est clair que je n'ai rien changé à Tétat du système. Mais je puis con<» sidérer maintenant, au lieu de la force P appliquée en B, la force F appliquée en A^ et le couple (P, — V) agissant sur la droite AB. Si, pour plus de clarté, on transporte ce couple ailleurs ^t dans un plan quelconque parallèle au sieii , il ne restera au point A qtie la force V égale et parallèle à la force JP, et qui n'est en quelque sorte que cette même force P qu'on aurait transportée parallèlement à elle-même de B en A.

Si Ton fait la même transformation pour toutes les forces du système à l'égard du même point A , il est manifeste que toutes ces forces viendront s'y réunir parallèlement à elles-mêmes, mais qu'il y aura de plus, dans le système, autant de couples appliqués provenant de chaque transformation. Or toutes les forces appliquées au point A se composeront en une seule R, et tous les couples en un seul couple (S, — S) (fig. 27) appliqué sur une certaine droite BC.

Ce qui nous apprend que tant de forces que Von voudra ^ ap^ pUquées dune manière quekonque à un corps, peuvent toujours se réduire à une seule force guipasse par un point donné à volonté^

48 àhàiAEvtd

et à un seul couple, dont h plan sera, en yénéral, incliné à la difeotion delà force.

Observons, sur-le-champ, qiie la quantité, la direction et lé sens de la résultante R seront toujours les mêmes, en quelque lieu qu'on ait pris le point A. £|i variant la position de ce point, la résultante R ne fera que se transporter parallèlement à ellemême en diilérents lieux 4e l'espace *, mais le plan et la grandeur du couple résultant (S, — S) changeront nécessairement.

Or, parmi cette infinité de réductions relatives à tous les points A de Tespace, il y en a une distinguée de toutes les autres, en' ce que le plan du couple résultant est perpendiculaire à la direction de la résultante. C'est ce qu'on peut démontrer ici d*une manière très-prompte. Car, tout étant déjà réduit à la seule force R et au seul couple (S, — S) par rapport à un point connu A, imaginez qu'on décompose ce couple (S, — S)' en deux autres, l'un (T, — T) qui tombe dans un plan perpendiculaire à la direction de la résultante, et l'autre (V, — V) dans un plan qui passe par cette direction AR. Si dans ce plan, où se trouvent à la fois le couple (V, — V) et la force R , on tranâporte cettiî force parallèlement à elle-même de A en O d'un tel côté, et à une telle distance AO, que le couple (R, — R), né de cette translation, soit égal et contraire au couple (V, — V) et le détruise,' il ne restera plus que la seule force R, appliquée au nouveau point O. avec le seul couple (T, — T) qui est dans un plan perpendiculaire à la direction de cette force. Ainsi, tant de forces qu'on voudra sont toujours rédu4;tibles à une seule force et à un seul couple dont le plan est perpendiculaire à la direc^ tion de la force : de sorte qu'il y a toujours dans l'espace une certaine droite déterminée OR qui petit servir à représenter tout à la fois la direction de la résultante et l'axe du couple résultant.

Cetle réduction est unique : je veux dire qu'il n'y a dans l'espace aucun autre lieu où Ton puisse trouver le couple rérsultant perpendiculaire à la résultante. Car maintenant, de quelque côté qu'on veuille transporter la force R hors de sa position actuelle OR, elle produira un couple (R, — R) per-

DE STATIQLE. 49

pendiculaîre au couple (T, — T), et ces deux couples, élant composés en un seul, donneront le nouveau couple résultant nécessairement incliné au couple (T, — T) ; et même toujours plus grand, puisque les deux composants sont rectangulaires entre eux. D'où Ton voît, non-seulement que le couple (T, -t-T) est le seul qui puisse être perpendiculaire à la direction de la résultante, mais qu'il est encore le plus petit de tous les couples résultants qu'on peut trouver par rapport à tous les points de l'espace. On voit en même temps que, pour des points pris autour de OR , à égales distances de cette droite , les couples résultants ont des valeurs égales, et sont dans des plans différents, mais également inclinés à cet axe OR, qu'on peut ainsi nommer Vcure central des couples du système. En s'éloignant de cet axe, on trouve des couples toujours plus grands et qui croissent sans bornes; mais ils ont tous cette commune propriété, que chacun d'yeux , estimé sur le plan perpendiculaire à la jdrection constante de la force R , donne le même couple (T, — T) : d'où l'on voit que la valeur de ce couple minimum s'obtient tout de suite en prenant un couple résultant quelconque j(S, — S) et le multipliant par le cosinus de son inclinaison au plan dont il s'agit.

Je ne présente , en passant, cet axe central ^ où se fait une réduction si lumineuse de toutes les forces du système, que pour éclairer à la fois toutes les autres réductions équivalentes, et les grouper, pour ainsi dire, dans un seul tableau où l'on en voit d'un coup d'œil Tordre et la dépendance mutuelle.

On trouvera celte théorie plus développée dans notre Mémoire sur les Moments et sur les Aires ^ m^is je dois me borner ici aux corollaires généraux qui importent le plus à nos Eléments de Statique.

Corollaire I,

Qui contient ks lois de Féquilibre de tout système libre.

69. Un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace, il

So ÉI.ÊME1ITS

résulte de ce que nous venons de dire, qu'il ne pourra jamais j avoir équilibre dans le système^ à moins que la résultante R des forces ne soit nulle d'elle-même, et que le moment du couple résultant (S, — S) ne soit aussi nul de luimême.

Ainsi, toutes les forces appliquées au^stême, étant transport tées parallèlement à eUes-mêtnes en un point quelconque du sys^ tême ou de f espace y doivent s'y faire équilibre entre eUes; et tous les couples qu'eUes produisent en s'y transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux.

Remarque.

70. Telles sont, pour un système libre quelconque, de forme invariable, les deux conditions d'équilibre nécessaires et suffisantes, c'est-à-dire sans lesquelles l'équilibre ne pourra subsister, et telles qu'il aura manifestement lieu, si elles sont remplies.

Pour développer ces deux conditions, il faudra remonter à la valeur de la résultante II , et à la valeur du couple résultant (S, — S) en conservant les lois qui lient la résultante k ses composantes, et le couple résultant aux couples composants, faire ensuite la force R et le couple (S, — S) tous deux nuls, et voir quelles relations cela établit entre les forces primitives appliquées au système. On obtiendra de cette manière les conditions de l'équilibre, exprimées au moyen des seules forces données immédiatement par l'état de la question^ ce qui est la solution du problème que nous avions en vue.

Mais tous ces développements, qui , d'après les principes posés ci-<lessus, ne sont plus qu'une affaire de géométrie et de calcul, feront l'objet du chapitre suivant.

DE STATIQUE. 5l

Corollaire II,

Qui contient les conditions nécessaires pour que toutes les forces appliquées au système aient une résultante unique, lorsqu'elles ne se font pas équilihre»

71 . Toutes les forces appliquées au système étant ramenées, ainsi que nous venons de le voir, à uae seule force et à un couple, supposons que cette force R et le couple (S, — S) puissent se réduire à une seule force, ou, si l'on veut, qu'une force unique R' fasse équilibre au couple (S, — S) et à la force R.

PuisquHl y a équilibre entre les deux forces R, R^ et le couple (S, — S), je dis que les deux forces R et R' doivent former un couple contraire et équivalent au couple (S, — S), et situé dans le même plan, ou dans un plan parallèle, ce qui est ici la même chose.

Car îl ne peut arriver que trois cas : ou les deux forces R et R' seront susceptibles de se réduire à une seule, et alors cette force ne pourra faire équilibre au couple (S, — S) 5 ou elles se réduiront à une seule avec un couple, et alors ce couple et le proposé (S, — S) se réduiront à un seul, qui ne pourra pas être en équilibre avec la force 5 ou bien enfin elles se réduiront à un seul couple, et c'est le seul cas qui puisse arriver.

Il faut donc au moins que les deux forces R et R' forment ensemble un couple. Mais pour que ce couple fasse équilibre au couple (S, — S), îl est nécessaire qu'il soit situé dans le même plan ou dans un plan parallèle, sans quoi ces deux couples sii composeraient toujours en un seul qui ne pourrait jamais être nul (62), et il n'y aurait pas équilibre. Donc la direction dé la résultante R doit être parallèle au plan du couple résultant (S, — S) ; et par conséquent, toutes les forces appliquées au système ne pourront jamais se réduire à une seiUe, à moins que lu résultante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant, et cela, en quelque lieu de F espace qu'on ait pris d'abord le point où Von a transporté toutes les forces,

33 ÉLéMEKT»

Cette condition est nécessaire, et il est clair qu^elle suffit en général ; car, à moins que la résultante II ne soit nulle, on sera toujours maître d'appliquer au système une force R^ qui soit ^ale^ parallèle et opposée à la force R, et qui forme avec elle un couple (R, — R) d'un sens contraire à celui du couple (S, — S), et d'un moment équivalent. Celte force estimée en sens contraire sera la résultante générale.

Au reste, on poura prendre immédiatement cette résultante! car si la force R appliquée en A est parallèle au plan du couple (S, — S), on pourra amener ce couple dans un même plan, ayec la force R, et alors les trois forces R, S et — S, étant dans le même plan^ se composeront toujours en une seule ^ale et parallèle à R , et qui sera la résultante unique de toutes left forces.

72. Dans le cas où la force R est égale & zéro, il n^y a point de résultante unique. Car toutes les forces du système sont réduites au seul couple (S, — S) qui ne peut jamais se réduire à une seule force* Ainsi, à la condition précédente, qui exige que la force R soit parallèle au plan du couple (S, — S), il faut joindre encore celle-ci, comme condition particulière : que la force R ne soit pas égale à zéro (à moins qu'il n^y ait équilibre^ auquel cas la force résultante et le couple résultant étant tous deux nuls, on pourrait dire qu'il y a une résultante unique qui est zéro, et qui a d'ailleurs telle direction et telle position qu'on vent dans l'espace; mais nous avons exclu le cas de l'équilibre).

Remarqtie /.

73. Lorsque le couple résulunt (S, — S) {fig. a8) et la force R ne sont pas dans des plans parallèles, il n'y a jamais de résul"* tante unique. Seulement, eu transportant le couple (S, — S) parallèlement à son plan, on peut amener l'extrémité B on C de son bras de levier sur le point A, et alors les deux forces R et S appliquées en A se composent en une seule T; et toutes les forces du système sont réduites à deu« autres T et — ^ S non situées dans le même plan.

Ce qui nous fait voir d'abord que tant de forces que Fon rot4- (bray dirigées arbitrairement dans V espace y peuvent toujours se réduire à deux au plus, non situées dans le même plan.

Mais il est clair que cette réduction peut avoir lieu d'une infinité de manières , même sans déplacer le point A où Ton rusemble toutes les forces ; car le couple (S, — S) pourrait être changé en une infinité d'autres équivalents, et de plus tourné sar son axe dans une position quelconque, et l'on arriverait ainsi à une infinité de systèmes diflerents de deux réduites non situées dans le même plaué

A la vérité, on pourrait choisir, entré ces systèmes, celui où l'une des forces serait perpendiculaire au plan du couple, et l'autre dirigée dans ce même plan; car imaginez la résultante R décomposée en deux forces, Tune V perpendiculaire, l'autre D parallèle au plan du couple (S, — S) : la forceU et le couple parallèle (S, — S) se réduiront toujours à une seule U^ égale et parallèle à U*, et toutes les forces appliquées seront réduites à deux autres V et U^ de directions rectangulaires dans l'espace. Ainsi , des forces quelconques peuvent se réduire à deux forces de directions perpendiculaires entre elles, et dont Vune passe en un point A donné à volonté. Mais cette réduction elle-même, qui souffre d'ailleurs une exception, n^a guère plus d'utilité que la précédente, et nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Remarque IL

74. La seule conséquence qu'il soit bon de remarquer est cette autre proposition réciproque : que deux forces non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résy^liante unique.

Et, en eflFet, on peut toujours supposer que ces deux forces proviennent d'une autre force, et d'un couple qui ne lui était pas parallèle.

Mais si Ton veut voir la chose directement, soit AB [fig. 29). la commune perpendiculaire aux directions des deux forces P. et Q non situées dans le même plan, et dont aucune n'est supposée nulle. Je transporte P parallèlenieut à elle-même de B

54 / ÉLÉMCIftS

en A, et j'ai deux forces F et Q appliquées au même point A, et un couple (P, —F) appliqué sur AB. Or, au point A, les forces F et Q qui , par hypothèse, font entre elles un certain angle QAF, se composent en une seule R dirigée dans Tintérieur de cet angle. Mais cette force R ne peut être parallèle au plan du couple (P, — F), puisqu'elle fait av«c ce plan un angle BAF qui ne peut jamais être nul, à moins que Q ne soit nulle, ce qui est contre la supposition. Donc (71) les deuK forces P et Q non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique ; proposition qu'on regarde ordinairement comme évidente, mais qui avait besoin d^être démontrée.

Remarque lU.

75. C'est, au reste, le seul cas général où l'on puisse assurer que des forces ne sont pas réductibles à une seule; car, dès que l'on considère seulement trois forces, il résulte de notre théorie qu'elles peuvent avoir une résultante unique, quand bien même il n'y aurait aucune rencontre entre les directions de ces trois forces dans l'espace.

Soient, en effet, trois forces P, Q, R, que je suppose, deux à deux, non situées dans le même plan, ou même telles, que, s'il y en avait deux dans un même plan, l'autre ne fût en même plan ni avec la première, ni avec la seconde.

Je choisis deux de ces forces P et Q qui ne soient pas situées dans un même plan, et je les imagine transportées en un même point A pris sur la direction de la troisième force R. Ges deux forces P et Q viennent s'y composer en une seule V, et donnent deux couples qui se composent en un seul (S, — S) \ et le plan de ce couple ne passe point par la direction AY de la force V-(74).

Cela posé, si la résultante des deux forces V et R, appliquées en A , se trouvait dans le plan du couple (S, — S) qui passe au même point, les trois forces proposées P, Q, R seraient réductibles à une seule (71). Or, sans changer la direction de la force R, on peut disposer du- sens et de la grandeur

rfe cette force de manière que la résultante de V et R tourne autour du point A dans le plan de ces deux forces, et se dirige suivant l'intersection de ce plan avec celui du couple (S, — S), et tombe ainsi dans le plan même de ce couple. Donc, en prenant convenablement la grandeur et le sens de l'une des trois forces P, Q, R, sans rien changer à leurs positions mutuelles, on peut, en général, rendre ces trois forces réductibles à une seule.

Je dis en général, parce qu'il y a un cas particulier où la chose ne pourrait avoir lieu en supposant qu'il y eut un certain rapport donné entre P et Q , et qu'on s'astreignit à ne faire varier que la quantité de la troisième force R : car, si , par ce rapport de P à Q, il arrivait que l'intersection du plan VAR avec le plan du couple fût la direction même AR de cette troisième force, on ne pourrait faire prendre à la résultante de V et R la direction AR, sans faire la composante R infinie, ce qui est impossible.

Mais, dans ce cas particulier, que l'on commence par changer le rapport des deux forces P et Q , ou simplement le sens de Tune d'elles, et le couple (S, — S) qui résultera de leur translation au point A ne passera plus ppr la direction de la troisième force R : car, si le plan de ce couple passait encore par la même droite AR, il s'ensuivrait que AR est la commune section des deux plans où sont situés les couples qui composent (S, — S), et qu'ainsi la force R est à la fois dans un même plan avec P, et dans un même plan avec Q 5 ce qui est contre l'hypothèse.

Ainsi, qiMnd de trois forces P, Q, R, on n'en peut trouver tout au plus que deux qui soient situées en même plan, il est toujours possible de rendre ces trois forces réductibles à une seule, sans rien changer à leurs directions dans l'espace.

Le seul cas où l'on puisse dire de trois forces que leur position seule les rend toujours irréductibles^ est celui où, en re-^ gardant ces forces deux à deux , on ne trouve qu'une combinaison qui présente deux forces non situées en même plan. Dans une telle position , quels que soient les rapports de grandeur

qu^on veuille donner à ces forces, on ne les rendra jamais capables de se réduire à une seule.

Remarqua IV.

76. Comme il paraît incontestable qu'un couple ne peut être en équilibre autour d'un point fixe, par exemple autour du milieu de son bras de levier, remarquons cette différence entre l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un corps assujetti à ton^rner autour d'un point fixe, et l'équilibre de plusieurs couples qui seraient appliqués au même corps.

Dans le premier cas , il n'est pas nécessaire que les forces aient une résultante nulle d'elle-même; il suffit qu'elles aient une résultante qui passe par le point fixe où elle sera détruite.

Mais, dans le second, il faut nécessairement que les couples appliqués au corps donnent un couple résultant nul de luimême, comme s'il n'y avait pas de point fixe dans le corps ; car,^ si ce couple n'est pas nul de lui-même, en le transportant, pour plus de clarté , de manière que le milieu de son bras de levier vienne tomber au point fixe, il est évident que ses deux forces ne pourront être en équilibre autour de ce point.

Et il est encore évident qu'elles ne seraient pas en équilibre, quand bien même il y aurait dans le corps un axe fixe, pourvu que le plan du couple ne passât point par cet axe, ou ne fût point parallèle à sa direction, ce qui reviendrait au même (49).

Ainsi , lorsque différents coupleSy situés comme on voudra dans r espace y sollicitent un corps ou système assujetti à tourner autour d'un point fixe y les conditions de V équilibre sont absolument les mêmes qus si le corps était parfaitement libre.

Bl la même chose a lieu dans le cas d'un axe fixe, si les couples appliques sont tellement disposés, qu'ils ne puissent jamais donner un couple résultant parallèle à cet axe*, ce qu'on ne peut assurer d'une manière générale que lorsque tous les couples sont dans des plans parallèles qui rencontrent l'axe fixe en le coupant.

DE STATIQUE. Sj