DES CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE
77, Nous venons de voir (68) qu'on peut transformer chaque force P {fig. 26) qui agit sur un système en un certain point B, en une autre force P^ égale, parallèle et de même sens, appliquée en un autre point A pris à volonté dans l'espace, et en un couple (P, — P) appliqué sur AB, et dont l'énergie est mesurée par le moment Px AI, AI étant une perpendiculaire abaissée du point A sur la direction de la force P; que, de celte manière, le système peut être considéré comme sollicité par la résultante de toutes les forces qui se seraient en quelque sorte transportées parallèlement à elles-mêmes au point A , et par le couple résultant de tous les couples qui naissent de ces transformations. Nous avons vu que, pour Téquilibre, cette résultante et le moment du couple résultant doivent être nuls tous les deux à la fois.
Nous pourrions développer sur-lc-cbamp ces deux conditions dans le cas général d'un corps ou système sollicité par tant de forces que l'on voudra dans l'espace, et déduire de là les conditions de Téquilibre dans tous les cas particuliers qui peuvent se présenter; mais, comme notre marche doit toujours être uniforme dans le courant de ce chapitre, ou plutôt comme elle n'offrira qu'une même et continuelle application d'un même principe, nous aimons mieux passer eu revue plusieurs questions simples, avant que de traiter la question générale. Cela nous fournira d'ailleurs l'occasion de répandre plusieurs propositions sur les moments, dont on fait beaucoup d'usage dans la Statique.
Une fois parvenu au théorème général de l'équilibre, on
58 ÉLÉMEIITS
pourra s'y arrêter, et l'on y trouvera comprises toutes les propositions qui auront été précédemment expliquées.
De ^équilibre des forces parallèles qui sont siiuées dans un même plan.
78. Soient P, F, F', P^, etc., (fig. 3o) les différentes forces parallèles. D'un point A pris où Ton voudra dans leur plan^ abaissons une perpendiculaire commuoe sur leurs directions et qui les coupe aux points respectifs B» C, D, etc.
Considérant d'abord la force P, j'applique au point A deux forces contraires P, — P, égales et parallèles à la première; ainsi j'ai, au lieu de la simple force P appliquée en B, une force égale et parallèle appliquée en A , et un couple (P, — P) agissant sur AB, et dont le moment est P X AB. Je substitue de même, au lieu de la force F appliquée en C, une force égale et parallèle et de même sens appliquée en A, et un couple (F, — F) appliqué sur AC, et dont le moment est P X AC; de même pour la force F', etc.
Si, pour plus de clarté, on transporte tous les couples ailleurs dans le même plan, il ne restera au point A que les forces P, F, F^, etc. , égales et parallèles aux forces primitives appliquées en B, C, D, etc., et de même sens.
Or, pour qu'il y ait équilibre, il faut, i** que la résulunte des forces appliquées en A soit nulle d'elle-même. Mais toutes ces forces agissant dans une même direction, leur résultante est égale à leur somme (*), et, par conséquent, on aura
P-+-F-hF-f-elc. = o,
première équation de l'équilibre.
2^ Il faut que le moment résultant de tous les moments des
(*) Il faut prendre ce mot, ici el ailleurs, dan» le sens de la remarqnc suivante (79).
DE STÀTIQLE. Sq
couples soit aussi nul de lui-même. Mais ce moment résulunt est égal à la somme des moments composants, puisque tous les couples sont dans un même plan. Donc, en nommant, pour abréger, />, p% p", etc., les bras de levier respectifs AB, AC, AD, etc., on aura
P|> -f- Py + PV + etc. = o, seconde équation de l'équilibre.
Remarque.
79. Il est clair que datjs la première équation, si Ton regarde les forces qui tirent dans un même sens comme positives, il faut regarder celles qui tirent dans le sens contraire comme négatives. Nous regarderons désormais comîne positives les forces telles que P, (Jui tirent au-dessus de la droite AD, et, par conséquent, comme négatives les forces telles queP, P\-'^ qui ûrent au-dessous 5 et de cette manière on pourra dire que la somme des forces doit être nulle pour Téquilibre.
Pour les signes des moments Vp, Fj»',..., de la seconde équation, il faut faire attention à deux choses : i"^ au signe de la force 5 a® au signe du bras de levier.
Supposons, en effet, que la force P, sans cesser d'agir du même côté du point A, vienne à changer de signe 5 il est clair que le couple nouveau qu'elle produira à l'égard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier : ainsi, le moment Vp change de signe^ lorsque la force P en change.
Concevons maintenant que la force P, sans changer de signe, vienne à agir au point B' de l'autre côté du point A. 11 est visible que le couple nouveau qu elle produira à Tégard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier, et, par conséquent, le moment Pp change de signe lorsque le seul bras de levier p en change.
Donc, eu prenant les bras de levier tels que AB, qui sont à droite du point A comme positifs, par exemple, il faudra prendre les bras de levier tçls que AB' qui tomberaient à gauche, comme négatifs^ et Ton pourra toujours dire que la
6o ÉLÉMENTS
somme des moments doit être nulle en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.
Corollaire.
80. Supposons que les forces P, P', P'^, etc., ne soient pas en équilibre, mais qu'elles aient une résultante unique R, et que, par conséquent, — R soit une force capable de leur faire équilibre.
Les deux équations précédentes devront avoir lieu si l'on y fait entrer la force — R. On aura donc d'abord
P-f-P'H-P^'-^etc.— R=±o, ou bien
R = P-f-P'-+.P''-f-etc.5
ce qui veut dire que la résultante est égale à la somme des composantes, comme nous le savions déjà.
En second lieu, si l'on nomme r la distance de la résultante au point A, on aura
Pp + Fy -f- P V + etc. — Rr = o , ou bien
Rr = Pp + Py-i- P V+ etc.
Ce qui nous fait voir que le produit de la résultante, par sa distance r à un point quelconque A pris dans le plan des forces, est égal à la somme de tous les produits semblables des composantes par leurs distances respectives à ce même point.
En divisant cette équation par R, et mettant à la place de cette quantité sa valeur P H- P' H- P"-h etc., on aura
P>9 -+- P>' -H PV'-H etc.
P-f-P'4-P"-Hetc.
Ce qui donnera la distance de la résultante au point A, et, par conséquent, fera connaître sa position, puisque l'on sait d'ailleurs qu elle doit être parallèle aux composantes.
DE STATIQUE. 6l
Remarque.
81. Les produits Pp, Vp\ etc., son} ce que l'on nomme ordinairement les moments des forces; mais on n'attache pas au mot de moment d'autre idée que* celle d'un simple produit, qui résulte de deux nombres, dont l'un exprime la force et l'autre sa distance à un point : au lieu que le moment est pour nous la mesure d'une force particulière, c'est-à-dire de l'effort du coufJe qui provient de la force, lorsqu'on la transporte parallèlement à elle-même au point que l'on considère. Mais comme ici, et dans la plupart des ouvrages de Statique, le moment exprime une même quantité numérique, à la différence près de l'idée que nous y joignons, nous avons cru devoir conserver ce mot, qui est consacré par Tusage et qui rend d'ailleurs assez bien notre idée, puisque le mot latin momen* tum, d'où vient moment, veut dire aussi poids, force, ou, plus exactement, ce que vaut une force d raison de sa grandeur et du hras de levier par lequel elle agit.
An reste, lorsque nous ne voudrons parler que du simple produit numérique d'une force par sa distance à un point, à un axe perpendiculaire, ou à un plan parallèle k sa direction, nous dirons aussi le moment de la force par rapport au point, ou à l'axe, ou au plan parallèle; et cela n'introduira aucune équivoque dans le discours, puisque l'on pourra entendre, si l'on veut, par ce produit, le moment du couple qui naîtrait de la force transportée parallèlement à elle-même au point, ou sur l'axe, ou dans le plan que l'on considère.
De cette manière l'équalion précédente
Rr = Pp -f- Py + Py + etc.
peut s'exprimer ainsi :
La somr]^e des moments de tant de forces parallèles qu'on vou^ ira, par rapport à un point quelconque de leur plan, est égale au moment de leur résultante par rapport au même point ^ ce qui est le théorème connu des moments, pour les forces parallèles qui sont situées dans un même plan.
6a ÉLÉMENTS
De r équilibre des forces parallèles qui agissent sur différents points d!un corps dans V espace.
82. Soient P, P', P^ etc. (fig. 3ï), ks différentes forces parallèles. Je mène à volonté deux plans ZAY, ZAX, parallèles aux directions des forces, et qui se coupent suivant AZ à angle droit l'un sur l'autre; pour plus de simplicité. Cela posé, considérant d'abord la force P appliquée- en B, j'abaisse une perpendiculaire BH sur la commune intersection AZ, ,et appliquant en H deux forcés cotitraires P, — P égales et parallèles à la première, je considère, au lieu de la force P appliquée en B, une force égale et parallèle et de même sens appliquée en H, et un couplé (P, — P) agissant sur BH. Si l'on fait la m^me transformation pour les autres forces P', P'', etc., et que, pour plus de clarté, on conçoive tous les couples transportés ailleurs, chacun dans son plan, il ne restera^ dans Taxe AZ que les forces P, P', P'^, etc., respectivement égales et parallèles aux forces primitives, et de même sens.
Or la première condition de l'équilibre est que la résultante de toutes ces forces soit nulle d'elle-même ; et comme elles agissent dans une même droite, leur résultante est égale à leur somme-, et, par conséquent, il faut qu'on ait
P-i-P'-j-P'^-hetc. = o.
La seconde condition de l'équilibre est que le moment résultant de tous les moments des couples soit aussi nul de luimême. Mais ce moment résultant ne se trouve pas, comme tout à l'heure, en ajoutant les moments composants, car les couples ne sont pas dans un même plan ni dans des plans parallèles.
Pour l'obtenir, considérant d'abord le couple (P, — P) , que je suppose ramené dans sa première position sur BH, j'abaisse du point B deux perpendiculaires BG, BI sur les deux plans ZAY, ZAX^ et achevant le parallélogramme BGHI, je décompose le couple (P, — P) appliqué sur la diagonale BH, en deux autres,
DE STATIQt'E. 63
composés de forces égales, mais appliqués respeclîvement sur les deux côtés HI et GH (58). Ainsi, en nommant a? et y ces lignes, ou leurs égales BG et BI, le moment proposé P X BH sera décomposé en deux autres Px, P/, situés dans les plans respectifs ZAX, ZAY.
Si Ton nomme de même x' eiy' les deux perpendiculaires al>aissées du point d'application de la force P sur les deuxplans, le moment du couple (P', -^P) pourra se décomposer dans ces deux plans en deux moments Pa/^ ^V^'j ®t ainsi de suite pour tous les couples.
Mais les inoments qui sont dans le plan ZAX se réduiront a un seul L , égal à leur somme Px + P' a;' -t- P'' j/' -+- etc. ; tous ceux qui seront dans le plan ZAY se réduiront de même à un seul M égal à leur somme Py -h P't/' -h F' y'' + etc., et ces deux moments résultants L et M se composeront enfin en un seul G qui sera le moment total : donc il faudra, pour Téqôîllbre, qu'on ait G = o. Mais les deux moments L et M, étant situés dans des plans qui se coupent, ne peuvent jamais donner un moment résultant nul, à moins quMls ne soient nuls, chacun en particulier (62) ; et, partant, la seconde condition générale de l'équilibre G =: o exige ces deux équations : L = G , M =: o , c'est-à-dîre ,
Pa; -H F j/ + FV^H- etc. == o, Vy-hPi/-h F/ + etc. = o .
Ce qui nous fait voir que , pour F équilibre d'un groupe de forces parallèles y il faut ces trois conditions particulières : que la somme de toutes les forces soit nulle, et que la somme de leurs moments, pris par rapport à deux plans qui se coupent suivant une parallèle à la direction de ces forces, soit nulle d'elle-même pour chacun de ces deux plans.
Remarqua.
83. Dans les équations précédentes, nous regarderons comme* positives. les forces qui tirent de bas eiihaut, et, par conséquent, comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire.
Pour les signes des moments, il est clair qu^îls changent eti même temps que ceux des forces. Mais, d*un autre côte, si une force telle que P, sans changer de signe, vient à agir en B' de Tautre côté du plan ZAX, elle produira un couple d'un sens contraire à celui du premier; et, par conséquent, le moment change encore de signe lorsque le seul bras de levier en change. Donc, si, par rapport à un plan, on regarde les bras de levier qui tombent d'un côté comme positifs, il faudra regarder ceux qui tombent de l'autre côté comme négatifs ; et l'on pourra toujours dire que la somme des moments est nulle, en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.
Corollaire L
84. Supposons que les forces P, P, P', etc., ne soient pas en équilibre, mais qu elles aient une résultante unique R, et que, par conséquent, -^ R soit une force capable de leur faire équilibre. Les trois équations précédentes devront avoir lieu en y introduisant la force — R. On aura donc d'abord
R = P + P'-f.P''-f-etc.,
ce qui donne la valeur de la résultante.
Si l'on nomme ensuite p étales distances respectives de cette résultante aux deux plans ZAY, ZAX, on aura
Rp == P.r -\^P^x'-h V"x" + etc. , Rç == Py -H V'y' -h V'y" -h etc.-,
d'où, en mettant pour R sa valeur, on tire
Pjr-hP^jr^4-P''g''-hetc.
^"" P-+-P'-hP"-+-etc. '
Pr -4- v'r' 4- v^r" -h etc.
^■" P4-P'H-P''4-elc. '
ce qui donnera les distances de la résultante à deux plans, et fera connaître sa position dans l'espace \ car, si l'on mène aux deux distances trouvées deux plans respectivement parallèles
aux premiers, la direction de la résultante, qui doit se trouver à la fois dans ces deux plans, ne sera autre chose que leur intersection même.
85. On voit que les équations précédentes nous fournissent ces deux conséquences, qu'on peut énoncer ainsi, conformément à r usage :
. La Àomme des moments de tant de forces parallèles que Von voudra y par rapport à un plan quelconque parallèle à leurs directions , est égale au moment de leur résultante,
Ei la distance de la résultante à ce plan est égale à la somme des moments des forces, divisée par la somme de toutes les forces.
Corollaire II, Du centre des forces parallèles.
86. Puisque le centre des forces parallèles est situé sur la direction de la résultante, il est clair que la distance de ce centre à un plan quelconque parallèle aux forces se trouvera €omme la distance de la résultante à ce plan ] c'est-à-dire en divisant la somme des moments, par rapport au plan, par la somme de toutes les forces.
Si Ton veut avoir ensuite la distance de ce centre à un plan quelconque, on concevra que les forces, sans changer de grandeur, sans cesser d-être parallèles et de passer aux mêmos^ points, soient tournées toutes parallèlement à ce nouveau plan; et l'on aura pour cette seconde distance la somme des nouveaux moments divisée par la somme de toutes les forces.
On fera la même opération pour un troisième plan ; et si Ton mène alors aux trois distances trouvées, trois plans respectivement parallèles aux trois premiers, le centre des forces devant se trouver à la fois dans ces trois plans sera déterminé par leur intersection.
87. Si toutes les forces étaient égales et de même sens, l'express ion
P-L. P'-i-P''L.erc. '
66 ÉLéM£NtS
qui donne la distàncie du centre a un plan quelconque, devietl-» drait
P-hP H-P-hetc. "^ n^ *
n étant le nombre des forces parallèles.
Ainsi, la distance du centre au plan serait égale à la somme des distances de tous les points d'application, divisée par leiir nombre, ou, si l'on veut, égale à la moyenne distance de tous les points d'application : d'où l'on voit que, da'ns le cas où le» forces sont égales , le centre des forces est un point dont la position ne dépend plus que de la figure formée par les points d'application.
De f équilibre des forces qui agissent dans un même plan suivant des directions quelconques.
88. Soient F, F, F^ etc. (fig. Sa), les différentes force» situées d'une manière quelconque dans un même plan. D'un point quelconque A pris dans ce plan, abaissons sur leurs directions respectives des perpendiculaires AB, AC, AD, etc., qui les rencontrent en B, C, D, etc. , et nommons p\ p^\'p^^ etc. , ces perpendiculaires.
Il est clair que la force F pourra se décomposer en u^e autre égale, parallèle et de même sens appliquée en A, et un couple dont le moment sera P' X AB, ou F pf. De même la force F^ se décomposera en une autre égale , parallèle et de même sens, appliquée en A, et en un couple dont le moment sera F' X AC, ou W p"\ et ainsi de suite pour toutes les autre» forces F'', etc.
Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut que la résultante de toutes lés forces appliquées en A soit nulle d'elle-même, et que le moment résultant de tous les moments F^, P'^p^'^j V" p'"^ etc., soit aussi nul de lui-même.
Cette dernière condition est très-facile à exprimer, car tous
DE STATIQUE. 6j
les couples étant dans un même plan , le couple résultant est égal à la somme des couples composants, et Ton a sur-le-champ
Pp' -h F'p" -h F>''' 4- eic. = o.
Pour exprimer l'autre condition , imaginons qu'on décompose les forces P', P*^, P^, etc., appliquées en A, chacune en deux autres suivant deux lignes quelconques AX, AY qui se coupent en A dans le plan des forces. Nommons X' et Y' les deux composantes de P' suivant les axes respectifs AX, AY; de même, X^, Y*', X'^, Y'", etc., les composantes analogues des autres forces P''^, P"', etc., suivant les mêmes axes. Toutes les forces X', X'^, X''^, elc, étant dans une même droite AX, se composeront en une seule X = X' -f- X'^ + X"' -+- etc. •, de même, les forces Y', Y", Y'"- etc., se composeront en une seule Y = Y' + Y'^-i-Y^' + elc, et ces deux résultantes partielles se composeront en une seule R qui sera la résultante générale. Il faudra donc, pour l'équilihre, qu'on ait R = o. Mais les deux forces X et Y, agissant suivant deux lignes qui se coupent, ne peuvent donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes , chacune en particulier (37). Et, par conséquent, la condition R = o exige ces deux équations : X = o , Y = o , c'est-à-dire
X' + X^ + X'''+etc.=o, r-^Y"H-Y'^-+-etc. = o.
Les forces P', Vy P**, etc., appliquées au point A, étant parfaitement égales et parallèles aux forces primitives appliquées dans le plan, il est clair que les composantes X', Y', X^, Y", X*^, Y^, etc., sont, pour la quantité, parfaitement les mêmes que si Von avait décomposé les forces primitives P', P^, P''', etc. , chacune en son lieu *, et, par conséquent , les conditions de Péquîlîbre entre tant de forces que l'on voudra, situées dans un même plan, sont :
1® Que la somme des forces décomposées parallèlement à deux axes qui se coupent dans le plan soit nulle par rapport à chacun decesaxesi
2** Que la somme des moments des forces, par rapport à un point quelconque du plan, soit nulle d'elle-même.
89. Si Ton trouvait que la dernière condition a lieu par rapport à un certain point connu, et que les deux autres ont aussi lieu par rapport aux directions de deux axes connus, qu'on peut toujours supposer menés par ce point, il y aurait équilibre dans le système 5 et, puisqu'il y aurait équilibre, les mêmes conditions auraient lieu par rapport à tous les points et à tous les axes possibles, pris dans le plan des forces.
Corollaire,
90. Si les forces P, P'^, P''', ne sont pas en équilibre entre elles, mais qu'elles soient susceptibles de se réduire à une seule R, de sorte que — R soit une force capable de les tenir en équilibre, l'équation des moments aura lieu en y introduisant la force — R. Donc, en désignant par r la distance de cette force ail point A, on aura l'équation
— Rr + Fy + Fy-f-Fy4-etc. = o,
ou
Rr = Py + PV + P'V + etc. ',
c'est-à-dire que le moment de la résultante, par rapport à un point quelconque du plan des forces, est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point. Ce qui donne le théorème connu des moments.
Si le point par rapport auquel on prend les moments, et qu'on nomme ordinairement le centre des moments, tombait sur la direction même de la résultante R, la distance r serait nulle ; par conséquent, le motnent Rr serait nul aussi, et Ton aurait
o = F/ -+. Fy + P'V' + etc.
Ce qui nous fait voir que, par rapport à un point quelconque de la direction de la résultante, la somme des moments de tant de
DE STATIQUE. 6g
forets que Von voudra situées dans un même plan est toujours égale à zéro.
Remarque,
