JO ÉLÉMENTS
comme ci-desstis, les deux équations
Y' + Y" 4- ¥'''-+- etc. = o.
Il faut exprimer ensuite que la somme des moments des couples formés par toutes ces forces à l'égard du point A est nulle d'elle-même. Mais en observant que l'axe AX fait avec les directions des forces Y', Y'^, etc., des angles égaux entre eux et à ceux que Taxe AY forme avec les directions des forces X', X", etc., on voit sur-le-ciiamp qu'on peut prendre les produits X'y', X'^y', etc., Y' a/, Y" od'^ etc., pour moments, dans la mesure relative des différents couples. Donc, puisque leur somme doit être nulle, on aura l'équation
XY -^ XV' ~H etc. + YV H- Va^' -h etc. = o.
Celte équation remplace la précédente (91 )
Fi/4-Fy' + FV-hetc. = 05
mais au lieu de» perpendiculaires jo', j/', p"\ etc., qu'il faut ^baisser du point A sur les directions respectives des forces^ elle contient les coordonnées des points où les forces sont immédiatement appliquées dans le plan.. Elle a de plus cet avantage, que les termes X'i/> ^'v"j X'ccf^ etc., prendront d'euxmêmes les signes qui conviennent aux sens respectifs des couples dont ils représentent les moments, si l'on a soin de donner aux forces et aux coordonnées des signes convenables.
On pourra prendre, comme en Géométrie, les abscisses j/, a/', etc., positives à la droite de l'origine, et, par conséquent, négatives à la gauche^ les ordonnées y', j/', etc., positives au-dessus de Taxe des abscisses, et, par conséquent, négatives au-dessous.
Quant aux forces, il est clair que, dans chaque groupe, il faudra donner des signes contraires à celles qui agisseni en sens contraires.
Mais en considérant dans le premier groupe une force telle
DB STATIQUE. ^i
que X*^^ qui tire à droite de Taxe AY, et dans le second une force telle que Y', qui tire aunlessous de Taxe AX, il est facile de voir que ces deux forces donnent, à Tégard du point A, des couples de même sens, lorsque leurs coordonnées AH^ et AG' ou]^ et a/ sont de même signe. Donc il faudra que les forces du premier groupe, qui tirent à droite de Taxe des ordonnées, aient le même signe que les forces du second, qui tirent audessous de l'axe des abscisses •, donc, si l'on regarde les premières comme positives, on r^ardera aussi les secondes comme positives •, et, de cett,|3 manière, tous les moments écrits sous le même signe dans Téquation précédente prendront des signes relatifs aux sens des couples.
93. Mais si dans le premier groupe X', X''', X''', etc., regardant toujours conmie positives les forces qui tirent à droite de Taxe des ordonnées, ou qui tendent à augmenter les abscisses de leurs points d'application, on voulait, pour la symétrie, regarder aussi comme positives dans le second groupe Y', Y'^, Y'*'', etc., les forces qui tirent au-dessus de Taxe des abscisses, ou qui tendent à augmenter les ordonnées de leurs points d'application, il faudrait alors donner un signe contraire à :toute la partie des moments relatifs à ce groupe; et l'équation précédente se mettrait sous cette forme :
XY + X''/ -h etc. ~ Y a/ — Y^'a/" — etc. = o.
Nous retiendrons désormais celte expression de préférence à la première, parce que, dans les deux groupes, les forces positives seront celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'application, et les forces négatives^ celles qui tendent à diminuer les mêmes coordonnées.
Corollaire L
94. Si les deux axes AX, AY {fig. 34) étaient k angle droit, les abscisses et les ordonnées elles-mêmes deviendraient les bras de levier des couples, et les moments X'^? etc., Va/, etc., donneraient la mesure absolue de leurs efforts. De plus, en
na ÉLÉMENTS
nommant a' Tangle que fait la direction de la force P avec l'axe des abscisses, on aurait, pour la composante X' parallèle à cet axe, P cos a'. On aurait pour l'autre composante Y', F sin a'.
En nommant de même a" l'angle de la direction de la force P' avec Taxe des abscisses, on aurait X'^= W cos a'', Y = P'^ sin ol'\ et ainsi de suite ; et les équations précédentes deviendraient .
F cos a! + F' cos a" -h F'' cos a'" + etc. = o ,
F sin a' + P^ sîn a'' + F' sin ol''' -h etc. = o,
F (t/ cos a' — ^ sin a') -h P' (f cos a'^ — o/' sin a")
-h P''' (f' cos a''' — a/" sîn a"') + etc. = o.
Dans ces équations, on n'aurait pas besoin de faire attention aux signes des forces, mais seulement à ceux des abscisses et des ordonnées. On tarderait toutes les forces P', P'', F'', etc., comme essentiellement positives : les signes des sinus et des cosinus donneraient les signes relatifs des composantes F cos a', etc., F sin a, etc., comme cela est facile à observer, si l'on veut se donner la peine de faire parcourir une circonférence entière à la direction d'une force telle que F autour de son point d'application B'.
Remarque.
C'est de cette manière que l'on donne ordinairement les équations de l'équilibre pour des forces quelconques situées dans un même plan. Ces équations renferment, sous l'expression la plus simple, les premières données de la question, savoir : les quantités des forces, leurs directions, par les angles qu'elles font avec une droite fixe de position, et leurs points immédiats d'application, par leurs coordonnées rectangles. Nous aurions donc pu les présenter«les premières, et même nous abstenir de considérer les autres par rapport à des axes obliques 5 mais comme on les démontre quelquefois par celte considération, que les deux groupes de forces sont rectangu-
DE STATK^UE. • 73
laires entre eux, nous avons été bien aise de faire voir qu elles ne sont qu'un cas particulier de celles qu'on trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que la rectangularité des forces n'y entre pour rien. Nous reviendrons encore sur cette remarque.
Corollaire IL
95. Supposons quHl n'y ait point équilibre entre les forces y y P', P''', etc., et que ces forces soient susceptibles de se réduire à une seule R, qui sera leur i*ésul tante.
Alors les trois équations de Téquilibre auront lieu en y introduisant la force — R.
Soient donc a l'angle que fait la direction de cette force avec l'axe des abscisses 5 x et y les deux coordonnées d'un point quelconque de cette direction.
Eln faisant, pour abréger,
F cos OL^ + V" cos a" -h P"' cos a'^' 4- etc. = X, F sin a' -h F sin a'' -h F" sin a'^' + etc. = Y,
et
F (y cos a' — a/ sin a') + F (j^ cos a" — x" sin a") + F" {y cos a"' — a/" sin a''') + etc. = G,
uu aura d'abord
X — Rcosa = o, Y — R sin a = o,
d'où l'on tirera, à cause de sin* a -h cos' a= i.
