R^V'X'H-YS
cos a = -^ sin a =
v/X'H-Y' VXM-Y»
re qui fera connaître la quantité de la résultante et l'angle a ((ue sa direction fait avec l'axe des abscisses. On aura ensuite
G — Il (y (OS a — x sin a) = o;
DE STATIQtE. 75
des plans parallèles, et, par consëqueat (Ti)^ se composeront toujours en une seule force. Ainsi, la seule condition nécessaire pour que des forces parallèles , ou des forces situées dans un même plan, aient une résultante unique, est que la résul» tante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes eo un point quelconque ne soit pas nulle.
Si cette résultante est nulle, alors toutes les forces du système seront ramenées à un couple dont on connaîtra le plan et la grandeur, et Ton ne pourra leur faire équilibre qu^au moyen d'un couple équivalent f t de sens contraire, situé dans^ le même plan ou dans tout autre plan parallèle.
Pas^ns maintenant au cas le plus général.
Iks conditions de r équilibre entre tant de forces que F on voudra j. dirigées d!une manière quelconque dans C espace.
97. Soient F, F', P"', etc. (fig. 35), les différentes forces. D'un point  pris arbitrairement dans Fespace, menons trois axes quelconques AX, AY, AZ, qui ne soient pas dans un même plan, et décomposons chaque force en trois autres res* pectivement parallèles à ces axes.
Nommons X', Y', Z' les trois composantes deP'5 X^, Y% l" les trois composantes de P'; et ainsi de suite. Nous aurons •lors, au lieu des forces P, P", F', etc., appliquées au système, trois groupes de forces parallèles : le premier, composé des forces X', X", X"\ etc., parallèles à l'axe AX; le second, composé des forces Y', Y^,.Y"', etc., parallèles à Taxe AY; et le troisième, composé des forces Z\ TJ\ TJ" ^ etc., parallèles à l'axe AZ.
Cela posé, si Ton transporte toutes ces forces parallèlement àelles-mêmes au point A , celles du premier groupe iront se réunir dans l'axe AX> et s'y composeront en une seule X égale à leur somme; celles du second iront de même se réunir dans Taxe AY, et s'y composeront en une seule Y égale à leur somme*, enfin^ celles du troisième se réuniront dans l'axe AZ,
OU bien, en mettant pour R cos a et R sîn a, leurs valeurs X et Y,
G — Xy+Y^ = o.
Comme on n'a qu'une équation pour déterminer les <leux coordonnées œ et y, on sera maître de prendre Tune ou Tautre à volonté. Supposant, par exemple, x = o, auquel cas on demande le point où la résultante coupe l'axe des y 9 on aura
Si l'on suppose y = o, auquel cas on cherche la distance x du point où la direction de la résultante coupe Taxe des abscisses, on aura
On aura donc tout ce qu'il faudra pour déterminer la quantité et la position de la résultante de tant de forces que l'on voudra, situées dans un même plan.
Si l'on n'a trouvé qu'une seule équation pour les deux coordonnées â? et y du point d'application de la résultante^ c'est que, cette résultante pouvant être appliquée à l'un quelconque des points de sa direction, il est impossible que le calcul donne Tun de ces points plutôt que l'autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique; et l'équation précédente
G— Xy4-Y^=o
est, à proprement parler, l'équation de la direction de la résul* tante.
Remarque.
96. Dans les trois questions I, II, III, que nous venons de traiter ci-dessus, toutes les forces étant ramenées à une seule R et à un seul couple (S, — S), il y aura toujours une résultante unique, si la force R n'est pas nulle. Car la force R et le couple (S, — S) seront toujours dans un même plan ou dans
DE STATIQtE. ^5
des plans parallèles, et, par consëqueat (71), se composerai! t toujours en une seule force. Ainsi, la seule condition nécessaire pour que des forces parallèles, ou des forces situées dans un même plan, aient une résultante unique, est que la résul* tante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes eo un point quelconque ne soit pas nulle.
Si cette résultante est nulle, alors toutes les forces du sys* tème seront ramenées à un couple dont on connaîtra le plan et la grandeur, et l'on ne pourra leur faire équilibre qu'au moyen d'un couple équivalent ^t de sens contraire, situé dans^ le même plan ou dans tout autre plan parallèle. Passons maintenant au cas le plus général.
Des conditions de r équilibre entre tant de forces que Von voudra ,. dirigées d!wie manière quelconque dans C espace.
97. Soient F, P^, F'^, etc. (fig. 35), les différentes forces. D'un point  pris arbitrairement dans Fespace^ menons trois axes quelconques AX, AY, AZ, qui ne soient pas dans un même plan, et décomposons chaque force en trois autres res* pectivemient parallèles à ces axes.
Nommons X', Y', Z' les trois composantes deP'5 X^, Y", l'^ les trois composantes de P"; et ainsi de suite. Nous aurons alors, ^u lieu des forces F, F', F'', etc., appliquées au système, trois groupes de forces parallèles : le premier, composé des forces X', X", X"^ etc., parallèles à l'axe AX; le second, composé des forces Y', Y''',. Y"', etc., parallèles à Taxe AY; et le troisième, composé des forces Z\ Z", Z"\ etc., parallèles à l'axe AZ.
Cela posé, si l'on transporte toutes ces forces parallèlement àelles-mêmesaupoint A, celles du premier groupe iront se réunir dans l'axe AX» et s'y composeront en une seule X égale à leur somme; celles du second iront de même se réunir dans Taxe AY, et s'y composeront en une seule Y égale à leur somme; enfin^ celles du troisième se réuniront dans l'axe AZ,
el s'y composeront en une seule Z égale à leur somme. Maintenant ces trois résultantes partielles X, Y, Z se composeront en une seule R appliquée en A , et représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur lés trois lignes qui repi'ësenteraient ces forces en grandeur et en direction.
Or, par la première condition générale de l'équilibre, il faut que cetie résultante soit nulle d'elle-niôme. Mais les trois forces X) Y, Z, agissant suivant des lignes qui ne sont pas dans un même plan, ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles chacune en particulier (42) 5 et, par conséquent, la condition R = o exige ces trois équations particulières ^ X = o, Y = o, Z = o, c'est-àdire
X'4-X''-hX'''4-etc. = o,
Y' 4- Y'' + Y''' -h etc. =0,
Z'4-Z'^4-Z'''-i-etc. = o.
Ce xjui nous apprend que pour l'équilibre de tant de forces que Ton voudra, appliquées d'une manière quelconque à un corps ou système de figure invariable , il faut d'abord ces trois couditions particulières : que la somme des forces décomposées pO' rallèlement à trois axes quelconques soit nulle par rapport à chacun de ces axes.
Par la seconde condition générale de l'équilibre, il faut que le couple résultant de tous les couples formés par les forces à l'égard du point A soit aussi nul de lui-même. Développons maintenant cette seconde condition.
Soit B' le point d'application de la force P' -, et, par conséquent, le point d'application des trois composantes X', Y', Z'; nommons x\ y\ z' ses trois coordonnées AC, CH, HB', par rapport aux trois axes AX, A Y, AZ. Nommons de même x'\ y'\ z" les trois coordonnées du point d'application B'' des trois composantes X'^, Y'', Tj" 5 et ainsi de suite.
Considérant d'abord le groupe des forces Z', Z", Z'", elc, je remarque que la force Z' appliquée en B' a produit un couple (Z', — Z') appliqué sur AB', ou bien (en concevant la
force Z' appliquée au point H où sa dîreclioii rencontre le plan YAX) a produit un couple (Z', — 7J) appliqué sur la diagonale AH d'un parallélogramme ACHD, dont les deux côtés AC, AD sont égaux aux coordonnées x' et y'. Or ce couple peut se décomposer en deux autres composés de forces ^ales et parallèles aux premières, mais appliquées sur les deux côtés AC, AD, ou a:', t/', dans les plans respectifs XAZ, YAZ(57).
Si l'on fait la même décomposition de tous les couples pro- Yenant du groupe Z', Z'', Z"', etc., dans les deux plans parallèles à ce groupe, et les décompositions semblables de tous ceux qui proviennent des deux autres groupes, par rapport aux deux plans analogues, il est manifeste que tous les couples du système seront réduits à d'autres, situés dans les trois plans coordonnés.
Or, dans cbaque plan, les couples se réduiront à un seul, égal à leur somme. Ces trois couples résultants partiels se composeront en un seul qui sera le couple résultant général^ et qui devra être nul pour l'équilibre. Mais cçs trois couples, étant situés dans trois plans qui forment un angle solide, ne peuvent jamais donner un couple résultant nul, à moins qu'ils ne soient nuls chacun en particulier (65) \ donc, pour chacun des trois plans, la somme des moments des couples doit être nulle d'elle-même.
Or, dans le plan YAZ, on trouvera d'abord les couples
(Z',-Z'), (Z",-Z"), (Z'",-Z"'), etc., appliqués sur les lignes respectives
y', y\ y"\ etc.,
ensuite les couples
<Y',— Y'), (Y",-- Y"), (Y'", -Y'"), etc.,
appliqués sur les lignes respectives
z\ z'' z'", etc. .
78 ÊLéMEMTS
Et comme Varke AY fait, avec les direclioas des forces Z', Z'^, Z"\ etc. , des angles égaux entre eux et à ceux que forme Taxe AZ avec les directions des forces Y', Y'', Y'^^, etc., ' on pourra prendre les produits ZV? etc., Y'z\ etc., pour moments, dans la mesure relative des couples situés dans le plan YAZ. Donc, puisque leur somme doit être nulle, on auria (93)
YV-hY'V'-f-etc— ZY — ZV— etc.=o.
On trouvera de même, pour les deux autres plans,
Z'^'-4-Z''a;"-4-etc.— XV-XV— etc. = o, X'y' H- XV -H etc. — Y'a;' — Y'V' — etc. = o -,
ce qui nous fait voir que, pour l'équilibre du système, outre les trois équations trouvées ci-dessus, il nous en faut encore trois autres qui expriment que la somme des produits des com^ posantes parallèles au plan de deux axes^ par leurs coordonnées relatives au troisième axe, doit être nulle d! elle-même pour cluh cun des trois plans»
98. Dans les équations précédentes, on prendra les signes des coordonnées, comme en Géométrie, positives dans un même coin XAYZ, et négatives dans le coin opposé.
Parmi les forces, on regardera, dans chaque groupe, comme positives celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'application, comme négatives celles qui tendent à les diminuer (93).
Remarque,
99. Si l'on trouvait que les six équations précédentes ont lieu par rapport à trois axes particuliers non situés dans le même plan, il y aurait équilibre dans le système, et, par conséquent, les mêmes équations aur'aient lieu par rapport à tous les axes possibles.
DB STÀTIQUS. 79
Corollaire 1.
lOO* Si les trois aices AX, AY, AZ étaient rectangulaires entre eax, les coordonnées deviendraient les bras de levier des couples, et les produiu ZY? YV, X'z\ etc., etc., les expressions absolues de leurs moments.
De plus, en nommant a\ (3^, y* les trois angles que la direction de la force P fait avec les trois axes respectifs AX, AY, AZ, ou plutôt avec trois parallèles à ces axes, on aurait pour les trois composantes de P' (45),
X' = Fcosa', Y'=Fcos(3', TI = V cosy\
En nommant dé même a''', (S'', /', etc., les angles analogues des directions des forces I^, etc., avec les mêmes axes, on avrait
X'' = F'cosa^ X" = V"cos^\ Z" =z F'cos/, etc., et les équations précédentes deviendraient
Fcosa' -h F'cosa"-4- P'^'oosa''^ -h etc. = o,
Fcos(3' ^ Fcos^'^^- F'cosp'^ + etc. = o,
Fcos/ -h F'cos/ -h F'^cos/' -4- etc. = o,
iy(^cosiS'— î/cos/) 4- F'(^'cos/3'' — /cos/) + F'(z'''cos{3'^— /'cos/') -h etc. = o,
P'(a/cos/ — jg'cosa') 4- F(x"cos/ — y^coso^^) ^ V"{Q^'i:osy'" — J"co^a!")-^eic. = o,
F(y^cosa'-^a?'cos|5')-f-F{y^cosa'' — x^coslS^) -4- F'(/'cos«'''— 01^' co^P") ^ etc. = o.
Remarque.
101. C^est sous cette forme que Ton présente ordinairement les six équations de l'équilibre. Elles renferment d'une manière très-simple les quantités des forces F, P'', F", etc., leurs points d'application , au moyen de leurs coordonnées
^O ÉIÉMENTJS
rectangles par rapport à trois axes, et leurs directions, par les cosinus des angles qu'elles font avec ces axes.
Comme on a coutume d'attribuer aux forces rectangulaires une certaine indépendance d'effets, qui ne leur appartient pas plus qu'à celles qui agissent sous un angle quelconque, pourvu qu'il ne soit pas nul, jl est bon de remarquer que les ëquatipns d'équilibre, par rapport à des axes rectangulaires, ne sont qu'une simple conséquence de celles qu'on trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que, par conséquent, le principe de l'indépendance «ntre les effets des forces rectangulaires ne doit entrer pour rien dans leur démonstration.
Observons d'ailleurs que, d'après ce principe un peu vague, on pourrait être conduit par un raisonnement tr>ès-simple à une erreur três-grossière : car, en considérant, par exemple^ deux groupes de forces rectangulaires^ situés dans un même plan, si l'on suppose qu'il y a indépendance entre les efiets de ces deux groupes, on en conclura que lorsque leur système est en équilibre, chaque groupe doit être en équilibre de lui-même; ce qui n'est pas vrai.
Et il en est de même dans le -cas de trois groupes de forces rectangulaires dans l'espace, dont le système peut être en équilibre, sans qu'il y ait équilibre en particulier dans chaque groupe, ni même dans aucun d'eux.
Il faudrait donc, dans ces deux cas, ne faire de ce principe qu'un usage restreint, et ne considérer l'indépendance des effets que relativement aux mouvements de translation que les forces peuvent donner au système •, ou bien il faudra avoir soin de ne l'appliquer qu'au cas de deux groupes, l'un composé de forces perpendiculaires à un même plan, et l'autre de forces quelconques situées dans ce plan, auquel cas l'indépendance des effets a lieu d'une nianièi!*e absolue. Mais comme cette indépendance aurait lieu tout de même, si le premier groupe tombait sur le plan du second sous un autre angle quelconque, pourvu qu'il ne fût pas nul, il s'ensuit qu'elle n'a pas lieu parce que les groupes font un angle droit, mais seulement
DE STATIQLE. 8l
parce qu*i]8 font un angle. Ainsi, dans tous les cas, le raison* nement qui prouve le principe en question étant fondé sur ce que les forces font un angle droit, tombe de lui-même^ parce qu'il n'est fondé sur rien.
Corollaire IL
102, On peut donner aux trois dernières équations de l'équilibre une forme plus simple, en y introduisant, à la place des coordonnées des points d'application, les plus courtes distances des directions des forces aux trois axes rectangulaires.
En effet, dans la première équation, à la place du terme P(s^ cos^^ — y'cosy'), qui exprime la somme des moments des deux forces P'cosjS', P'cosy', par rapport au point où leur plan irait couper l'axe des x^ on peut en substituer un autre qui exprime le moment de leur résultante par rapport au même point ("90 )•
Les deux forces F cos ^\ F cos y', étant rectangulaires entre cHes, on a pour le carré de leur résultante,
F« cos* P'-hF* cos*7' ou F* (cos*^' -f- cos* y');
ou bien ( à cause de cos* à'-h cos* (3' H- cos* y^ = i ) ,
F*(i— cos*a'), c'est-à-dire F*sin*a'.
La résultante est donc Fsina'. La distance de celte résultante à l'axe des X étant nommée p', on aura, pour son moment, Fj/sina', qui remplace le terme F(jr'cosj3' — t/cosy')^ on aura, de même, F'p^'^sin a!\ etc., à la place des termes suivants de la première équation, en désignant par y, etc., les distances respectives des résultantes analogues à la première, par rapport à Faxe des x.
La premîèi*e équation sera donc mise sous cette forme :
Fy sin a' + F' / sin a'' -f- P''>'" sin oc'' 4- etc. = o.
Or il est visible que y, p"^ p"'^ etc., rie sont autre chose que les plus courtes distances des forces F, F', P'", etc., à l'axe des x; car la force. F sin a', qui est située dans un plan perpendi-
colaire à cet axe, étant composée avec la force P'cosa', perpendiculaire au même plan, devrait donner pour résultante la force P' qui est dans l'espace. La force P sin a' n'est donc autre chose que la projection de la force P' sur un plan perpendîcu* laire à Taxe des x \ et, par conséquent, la plus courte distance p' de celte projection à Taxe des x n'est autre chose que la plus courte distance de la force F' au même axe.
Si Ton désigne par g', 9'', q"\ etc., et par r', r^\ r"'^ etc., les plus courtes distances des forces P', P'^, P"', etc., aux axes respectifs des y et des z, on trouvera de même, pour les deux autres équations,
F9' sin /3' H- ¥'(i' sin /3'' + V"f sin Ç/" + etc. = o, Ff^sin/ + FV^in/ + FVsin/' + etc.=o.
103. La projection d'une force sur un plan, midtipliée par sa distance à un axe perpendiculaire au plan, est ce qu'on nomme ordinairement le moment de la force par rapport à Taxe *, et de cette manière on énonce ainsi les trois équations précédentes de l'équilibre :
La somme des moments des forces doit être nulle, par rapport à chacun des trois axes, dans le cas de F équilibre.
Corollaire III.
104. Si dans les six équations de l'équilibre on veut supposer que les forces F, F', V"^ etc, sont toutes parallèles, ou toutes situées dans un même plan, etc., etc., et qu'on mette à la place des coordonnées a/, 1/, s! y etc., et des angles fl/, (3', /, etc., les valeurs qui conviennent à ces suppositions, on retombera sur les équations d'équilibre précédemment trouvées pour ces différents cas, et l'on en tirera les mêmes conséquences.
108. Si Ton suppose, par exemple, que les directions des forces F, F', F'', etc., concourent toutes au même point, et qu'on ait pris ce point pour l'origine des coordonnées, les cosi-
Dl STATIQUE. 83
nus des angles a', (3', y\ etc., seront proportionnels aux coordonnées respectives af, yfj J^ etc., des points d'application-, de sorte que Ton aura
af \}f V. cos «' : cos ^', a/ : ^ :: cos a' : cos y', etc.;
ou
\f cos 0/ — af cos P' = o,
xfcosy' — ^cosa'=o,
etc.
Les tP»is dernières équations de Téquilibre disparaîtront donc d elles-mêmes, et l'on n'aura plus que les trois premières, qui nous font voir que, pour V équilibre d!un système de forces dont ks directions concourent toutes vers un même point, il est nécessaire et il suffit que ia somme des forces décomposées suivant trois axes soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes^ et c*est ce que l'on savait d'ailleurs immédiatement.
Si l'on su{^ose que les forces F, P", F", etc., ne forment ensemble que des couples, comme alors chaque force P, inclinée sur l'axe des x d'un certain angle V, aura dans le système son ^ale, mais inclinée au même axe de l'angle 200^ + af, il n'y aura pas de terme P cos 0/ qui ne trouve son égal et contraire dans la première équation de l'équilibre; et la même chose aura lieu dans les deux autres, Ainsi, les trois premières équations disparaîtront d'elles-mêmes, et Ton n'aura plus que les trois dernières ; d'où il résulte que, pour F équilibre de tant de couples qu'on voudra appliqués sur un corps, il est nécessaire et il suffit que la somme de ces couples décomposés perpendiculairement à trois axes soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes : ce qui «était d'ailleurs aussi clair que la proposition précédente.
Corollaire IV.
Recherche de la résultante de toutes les forces F, F', V"^ etc^iy lorsque ces forces ne sont pas en équilibre, et qu'elles sont susceptibles de se réduire à une seule.
106* Supposons qu'il n'y ait point équilibre entre les forces
P, F', V"\ etc.; et soilj s'il est possible, la force — R capable de leiir faire équilibre, et, par conséquent, R leur résultante.
Les six équations précédentes devront avoir lieu en y faisant entrer la force. — R.
. Soient donc a, (3, y les trois angles que forme la direction de la résultante avec les trois axes coordonnés. En faisant, pour abréger,
Fcos (/ H- P'' cos a" 4- P"' cos a!" 4- etc. = X, Fcos Ç/+ F' cos (3'' H- P'' cos P'" -h etc. = Y, Fcos /-hFcos /-h F' cos / + etc. = Z,
on aura d'abord ces trois équations :
X-^Rcosa = o, Y — Rcos(3 = o, Z — Rcosy = o; d'où Ton tire (en observant qu'on a cos' a -f- cos' (3 -f- cos' y = i)
R=v/X'4-Y'-hZ'
pour la quantité de la résultante. On aura ensuite, pour les angles a, |3, y. que sa direction fait avec les trois axes,
cos OL z=,
COS^riz
VX» + Y^-f-Z»
cos y =
