Si cette équation de condition a lieu, les valeurs des

trois coordonnées a:, y, z se présenteront spus la forme -, parce

que la résultante pouvant être appliquée à tel point de sa direction qu'on voudra, il est impossible que le calcul détermine l'un de ces points plutôt que tout autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique, et les trois équations précédentes ne

sont autre cliose que les équations des trois projections de la résultante sur les plans- coordonnés. Par conséquent, l'une de ces équations est une suite nécessaire des deux autres, et l'on n'a, à proprement parler, que deux équations entre les troî» indéterminées 07, y, js:; d'où il suît qu'elles doivent se présenter

sous la forme de - • o

i 08. On se donnera donc à volonté lune de ces trois quantités, et l'on déterminera alors les deux autres au moyen des équations précédentes.

Si l'on suppose, par exemple, a? = o, auquel cas on demande le point où la direction de la résultante traverse le plan vertical YAZ, on aura, pour les deux coordonnées de ce point,

Si l'on suppose y = o, on aura

Si Ton suppose js == o, on aura

Cest-à*<lire qu'en considérant le point où la direction de la résultante coupe le plan de deux axes, lesdistances respectives de ce point à ces deux axes se trouvent en divisant les sommes respectives des moments des forces par rapport à ces axes, par la somme des forces estimées suivant le troisième.

On aura donc, d'après ce que nous venons de dire, tout ce qu'il faudra pour déterminer la quantité de la résultante et sa position dans l'espace, si toutes les forces appliquées au système sont susceptibles de se réduire à une seule ; et cela aura toujours lieu, si l'équation de condition XL -H YM H- ZN = o est satisfaite, pourvu que les trois résultantes X,Y, Z, ne soient pas nulles à la fois : car, si ces trois forces sont nulles, il

est clair que les forces P', P", P'", etc., seront rédailes aux trois couples représentés en grandeur par L, M, N, lesquels ne peuvent jamais se réduire qu'à un autre couple.

C'est ce que le calcul précédent aurait pu aussi nous indiquer, quoique d'une manière un peu obscure : et en effet, dans le cas de X, Y^ Z nulles à la fois, on trouverait, par les équations ci-dessus, que les points de rencontre de la résultante a?ec les plans coordonnés sont tous trois à une distance infinie de l'origine. Or c'est ce qui ne peut plus s'expliquer en Géométrie ; car, pour imaginer une droite qui rencontre à l'infini les trois plans coordonnés, il faudrait imaginer une droite qui fut à la fois parallèle à trois plans qui ne se coupent qu'en un point, ce qui est absurde : d'où Ton voit que l'hypothèse d'une résultante unique est alors impossible.

Corollaire Y.

Réduction générale des forces,

109. Mais, dans tous les cas, on peut réduire toutes les forces appliquées au système à une seule passant par l'origine, et à un couple dont il est facile de déterminer le plan et la quantité : réduction qui ne laisse de nuage dans aucun cas.

En effet, on aura pour la résultante R des forces transportées à l'origine,

et pour les trois angles a, |3, y que sa direction forme avec les trois axes,

cosa=— î cosS= —5 cos7= — • R. B. R

En second lieu, L,'M, N représentant respectivement les trois couples résultants, situés dans les trois plans perpendiculaires aux axes des- J7, y, z, si Ton nomme G le moment du couple résultant, on aura pour sa quantité,

et pour les angles i, jx, v, qu'une perpendiculaire au plan de ce couple, ou que Vaxe du couple forme avec les trois axes respectifs des a?, y, z^

COSA=-j C0SU=--9 COSV=-' Ij 1j ij

Corollaire VI.

HO. Si l'on voulait exprimer directement que toutes les forces P', P'', P^, etc., ont une résultante unique; d'après ce que nous avons vu dans le premier chapitre (n° 71), il faudrait exprimer que la résultante R et le couple résultant sont dans des plans parallèles, ou, ce qui est la même chose, que l'axe du couple est perpendiculaire à la direction de la résultante.

Or, a, |3, y étant trois angles de la direction de la force R, avec les trois axes J7, y, z, et X, fx, v les angles analogues que Taxe du couple fait avec les mêmes lignes, on sait parla Géométrie (*) que ces deux droites seront rectangulaires dans l'espace, si Ton a

cos a cos X -h cos |3 cos /x -H cos y cos v = o.

Donc, en mettant à la place des cosinus leurs valeurs trouvées ci-dessus, et multipliant toute l'équation par RG, on aura