XL-hYM-hZN = o
comme nous l'avons trouvé plus haut.
Il faut toujours sous-entendre que la force R n'est pas nulle, ou qu'on a
V^X«-hY«-4-Z«>o,
inégalité qiii exige simplement que les trois forces X, Y, Z ne soient pas nulles à la fois.
Ainsi, cette condition, que le calcul nous avait offerte dans
(*) î'o/cz ci-après, n^ 115.
la recherche de la résultante générale, n'est autre chose que Texpression de celle que nous avions trouvée directement dans le premier chapitre^ pour que des forces qui né se font pas équilibre puissent toujours se composer en une seule.
Remarque,
111. Pour exprimer que des forces quelconques sont susceptibles de se réduire à une seule, on avait donné ces trois équations déterminées^
l X(YV-h)-Y(X'^-h) = o, (A) Y(ZVh-) — Z(Y'^+) = o,
( Z(,XY^-)-X{Z'2/'^-) = o,
([ui ne sont pas, comme on voit, celles de la direction de la ré- «ûtante (106), mais ou X, Y, Z ont les mêmes valeurs, et où je désigne, pour abréger, la somme des produits YV, Y'V, etc., par ( Y' y -f-) 5 et ainsi des autres.
Mais ces trois équations sont à la fois insuffisantes et trop nombreuses ; elles peuvent avoir lieu toutes trôi*, sans qu'il y ait une résultante unique, et il peut y avoir une résultante unique sans qu'elles aient lieu toutes trois, ni même aucune d'elles.
Cela paraît assez clairement à l'inspection même de ces équations comparées à l'équation unique que nous venons de donner-, mais on peut encore s'en rendre compte en suivant le rai-* sonnement d'après lequel on les trouve, et en examinant ce qu'elles signifient.
En effet, après avoir réduit toutes les forces appliquées au système à trois groupes de forces parallèles aux trois axes coor^ donnés, et ces trois groupes à trois résultantes partielles X, Y, Z, parallèles aux mêmes axes, on suppose que ces trois forces doivent se rencontrer en un même point, pour qu'elles puissent se composer en une seule 5 et pour cela, on exprime que les résultantes partielles prises deux à deux, sont à égales distances
go ÉLÉMENTS
du plan qui leur est parallèle ; ce qui donne les trois équations (A), au moyen desquelles les trois forces doivent en effet concourir au même point, et, par conséquent, se composer en une seule.
Mais, d'abord, on omet le cas où les trois groupes ne pourraient pas se réduire respectivement à de simples forces, mais se réduiraient à des couples : alors, les trois résultantes partielles étant nulles, les trois équations de condition seraient satisfaites, et pourtant il n'y aurait pas de résultante unique, mais bien un couple résultant. Ainsi, ces trois équations sont insuffisantes.
D'un autre côté, elles exigent trop •, car, en supposant que les trois groupes se réduisent à trois simples forces, on voit qu^il n^est pas nécessaire^ pour qu'elles puissent se composer en une seule, qu'elles se rencontrent toutes trois en un même point : il suffirait simplement que deux d'entre elles se rencontrassent, et que la troisième allât rencontrer quelque part la direction de leur résultante. Mais, ce qui est plus remarquable, cela même n'est pas nécessaire-, car les trois forces X, Y, Z peuvent se réduire à une seule, dans qu*il y ait aucune rencontre entre leurs directions dans l'espace : c'est ce qu'on a vu directemràt ail n® 75.
Si l'on veut voir la même chose par notre analyse, soient a la plus courte distance de Y à Z, 6 celle de Z à X, et c celle de X à Y; et pour simplifier, prenons l'axe des x suivant la droite a, et celui des z suivant la force Z. On trouvera dans cette hypothèse, L = o, M= — Xc, et N = X6 — Ya-, et l'équation de condition XL -f- YM -h ZN = o deviendra
XYc — XZ6 4.YZa = o.
Or il est évident qu'on peut trouver trois forces X, Y, Z dans une infinité de proportions différentes, qui satisfassent à cette équation, et qui, par conséquent, aient une résultante unique, quelles que soient les distances mutuelles a, 6, c de leurs directions dans l'espace.
Et comme on n'a qu'une seule équation, on voit même qu'on
peut se donner k volonté deux de ces forces> et déterminer ensuite la troisième en conséquence de cette équation.
Qu'on suppose, par exemple, les deux forces X et Z représentées par les lignes a et c^ on trouvera que la troisième force Y doit êtxe représentée par la moitié de 6. Ainsi yoilà trois foroes, entre autres, qui sont situées en trois arêtes, deux à deux non parallèles et non contiguës, d'un même rhomboiide rectangle, et qui pourtant ont une résultante unique •, et il est même aisé de voir que cette résultante passe au milieu de la plus courte distance b qui sépare les forces X et Z proportionnelles aux lignes a et c.
On peut faire une foule d'autres exemples *, il suffit de ne pas se donner deux forces dans le rapport particulier qui, d'après . l'équation précédente, rendrait la troisième force infinie.
Au reste, ce qu'on vient de dire pour trois forces rectangulaires dans l'espace s'appliquerait de même à trois forces paralUSes a trois axes obliques quelconques; car, relativement à ces axes obliques, si l'on cherchait par la même analyse qu'au n^ 106 Ia condition générale d'une résultante unique, on trouverait une équation toute semblable à la précédente, et qui, pour le cas de nos trois forces, donnerait également
XYc — XZ6H-YZa = o;
d'où Ton tirerait les mêmes conséquences, en observant que, dans cette équation ^ a^ h^ c ne représentent plus les distances mutuelles des trois forces obliques X, Y, Z, mais trois lignes dont chacune va de l'une à l'autre force parallèlement à la troisième.
Si des trois lignes o, 6, c, il y en avait deux nulles, sans que la troisième le fût, l'équation précédente serait réduite à un seid terme, qu'on ne pourrait rendre nul, sans faire quelqu'une des trois forces égale à zéro : d'où il résulte que, si trois forces finies sont situées de manière que la direction de l'une d'elles rencontre les directions des deux, autres qui ne sont point en même plan, ces trois forces ne sont jamais réductibles à une
g2 ÉLÉMENTS
seule ^ résultat qui s^accorde avec ce qu'on a dit à la fin du. n° 75.
On voit donc, pour revenir à notre objet, que des trois équations (A) qu'on avait données avant notre théorie, il n'y en a aucune qui soit nécessaire pour la condition qu'on avait en vue, et qu'elles sont tout à fait étrangères à la question dont il s'agit. Mais il y a encore une autre remarque assez curieuse à faire sur ces équations.
Si on les ajoute ensemble, ce qui est assez naturel à cause de leur symétrie, et ce que l'auteur même avait fait, il arrive que la somme de ces trois équations revient précisément à la nôtre XL -4- YM + ZN = o. Ainsi, l'on avait rencontré par hasard la véritable équation du problème, et il est clair qu'on ne s'en était point aperçu ; car on- aurait vu sans doute que, la somme des trois quantités pouvant être nulle d'une infinité de manières, sans qu'aucune d'elles le soit en particulier, il pouvait y avoir une résultante unique, sans qu'aucune des trois équations regardées comme nécessaires fût satisfaite^ d'où l'on aurait conclu qu'elles n'étaient pas nécessaires, et qu'il fallait \& supprimer avec l'analyse défectueuse qui y avait conduit. Mais, avant notre théorie, on ne savait pas précisément en quoi consistait la condition générale d'une résultante unique.
Quoiqu'on ait depuis rectifié celte analyse par celle que j'ai donnée au n°106, je n'ai pas cru cette petite discussion inutile, non-seulement parce qu'elle éclaire un point important de la composition des forces, et qu'elle fait voir la fausse supposition sur laquelle on s'appuyait, mais parce que ce paralogisme subsiste encore, et s'est reproduit jusqu'ici dans un ouvrage célèbre où l'auteur des équations (A) paraît l'avoir emprunté.
Corollaire VII.
112. Lorsqu'on a les trois équations L = o, M = o, N = o, le moment G du couple résultant est nul, et les forces appliquées au système se réduisent à une seule R dont la direction passe par l'origine.
Et comme le moment G ne peut être nul, à moins que les
DE STATIQtE. gS
trois moments résultants partiels L, M, N ne soient nuls à la fois, il s'ensuit que, si l'on voulait exprimer que des forces quelconques se réduisent à une seule qui passe en un point donné, îl faudrait, en supposant qu^on ait pris ce point pour origine, poser les trois équations L = o, M==o, N=o.
Remarque.
113. Nous terminerons cet article général par un théorème important sur la manière d'estimer les forces suivant une direction donnée, et leurs moments par rapport à un axe donné, lorsque Ton connaît déjà ces forces et leurs moments estimés par rapport à trois axes rectangulaires.
Mais démontrGTns d'abord la proposition sur laquelle on s'appuie au n^ 110, et dont nous nous servirons encore ici.
Soient deux droites situées d'une manière quelconque dans l'espace. Nonmions a, |3, y les trois angles que fait la première avec les trois axes coordonnés ; X, |i, v les angles analogues de la seconde avec les mêmes axes : je dis qu'on aura, pour l'angle que ces deux droites forment entre elles,
cos = cos a cos X -H cos P cos/jt ■+■ cos y cos v.
En effet, transportons, pour plus de simplicité, nos deux droites parallèlement à elles-mêmes jusqu'à l'origine : les angles a, P, y, X, ft, V et l'angle 6 ne changeront* pas. Prenons sur 1^ première, à partir de l'origine, une longueur arbitraire d, âoi|t Textrémité aura pour coordonnées j?, y, z. Prenons de même sur la seconde une autre longueur quelconque d, dont l'extrémité aura pour coordonnées x, t, z. Si l'on joint ces deux extrémités par une droite h, on aura un triangle dont le^ trois côtés seront d, n et h ^ et puisque 6 est l'angle compris entre les deux premiers, on aura, comme on le sait,
H'r= d*-f- D* — adn cosô-, mais on a
94 ÈLÉMiENTS
et
Substituant dans] la première équation, réduisant et dégageant cos 9, il vient
ou bien,
cos = — ~ 9
cose=:~ h-, H :}•-;
mais on a évidemment
- == cos a, T = C09 (3, -j = cos y, et de même,
- = cos A, - = COS u, - = cos V.
Donc cos = cos a cos X 4- cos P cos jx + cos y cos v.
Si Ton veut exprimer que les deux droites d et n sont jpectangulaires entre elles, il faut poser cos S = o, et, par conséquent,
C09 « cos X -h cos /3 cos pt -f- ços y cos v s= o^
ce que nous avions supposé au n° 110,
114. Actuellement changeons les lettres X, jcx, v, en a', |3', y', 'et considérons une force R dirigée suivant la première droite. Cette force estimée suivant la seconde, ou projetée sur elle, donnera pour sa projection, que je nomme R', R^ = R cos 6, et, p%r conséquent^
R' = R cos a cos o/ -H R cosjS cos j3' -f- R cos y cos y'.
Mais R cos a, R cos |3, R cos y expriment les trois compotsantes de la force R suivant les trois axes ] donc, si Ton nomme X, Y, Z ces composantes, on aura plus simplement
R' = X cos a' -f- Y cos/5' -h Z cos /.
DB STATIQUE. g5
Ce qui nous fait voir que, pour estimer suivant une direction différente de la Henm une force dont on connaît déjà les composantes suivant trois axes rectangulaires^ onn*a qu* à prendre la somme de ces composantes multipliées respectivement par les cosinus des angles qu* elles forment avec la direction nouvelle.
C'est ainsi qu'en Géométrie, pour projeter une ligne sur un axe quelconque, on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires, projeter ensuite ces trois projections sur Taxe donné, et ajouter ensemble ces projections de projections.
H5. Pareillement, si l'on considère un couple dont le moment soît représenté par une partie G prise sur son axe, et que ce moment décomposé par rapport à trois axes rectangulaires donne les moments respectifs L, M, N, on voit, comme ci-dessus, que pour estimer le moment G par rapport à un axe nouveau qui forme, avec les trois premiers, des angles X', pf, i/, il n'y aura qu'à prendre la somme des moments composants L, M, N multipliés par les cosinus respectifs de ces angles ; de sorte qu'en nommant G' la valeur relative du moment G, on aura
G' = L cos V + M cos fx' -I- N cos i/.
D'où il résulte que la somme des moments de tant de forces que ton voudra^ par rapport à un axe quelconque^ est égale aux sommes de leurs moments, par rapport à trois axes rectangle laireSj multipliées respectivement par les cosinus des angles que ces trois axes font avec le nouvel axe donné. Ce qui est un théorème tout semblable au précédent.
