X-+-x = o, Y-Hy = o, Z-4-z=o, L = o, M = o, N = o

Les trois résultantes partielles X, Y, Z pourront donc avoir telles valeurs qu'on voudra. Car, en supposant la r&istance du point fixe indéfinie dans tous les sens, les trois forces x, T, z prendront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et, s'^alant toujours, en quelque sorte, aux trois forces contraires X, Y, Z, appliquées au même point, rendront toujours les trois premières équations satisfaites.

Mais il faudra que les trois moments résultants partiels L, M, N soient toujours nuls d'eux-mêmes, ce qui nous fait voir que, pour F équilibre dHwt corps qui n'a que la liberté de tourner euiaur d!un point fixe, il est nécessaire et il suffit que la somme des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce point soit nulle d'elle-même relativement d chacun de ces trois axes.

147. Lorsque toutes les forces appliquées au corps sont parallèles, on peut mener par le point fixe deux plans parallèles à leurs directions, et décomposer tous les couples dans ces deux plans. Il suffit donc alors, pour l'équilibre du système, que la somme des moments soit nulle par rapport à deux axes perpendiculaires à ces plans.

Lorsque toutes les forces sont dans un même plan avec le point fixe, tous les couples à l'égard de ce point sont aussi dans ce plan ^ et il suffit alors que la somme des moments soit nulle par rapport à un seul axe perpendiculaire à ce plan.

Remarque.

118. Nous savons que les trois équations L=o, M = o, N = o, qui assurent, dans le cas général, l'équilibre du sys-

tème, expriment d'une autre manière (112) que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe'par le point fixe. Donc, si Ton avait voulu partir de cette conséquence comme principe, c'est-à-dire regarder d'abord comme évident que les forces appliquées ne peuvent se faire équilibre autour du point fixe, à moins qu^elles n'aient une résultante unique dirigée vers ce point, on en aurait conclu réciproquement que l'on doit avoir pour l'équilibre les trois équations L=: o, M = o, N==05 ce qui nous aurait conduits au même résultat.

Corollaire.

De la pression exercée par les forces ^ur le point fixe.

119. Quoique nous ayons supposé le point fixe susceptible d'une résistance indéfinie en tous sens, cependant, lorsque des forces données se font actuellement équilibre sur cet appui, il n'a besoin que d'une certaine résistance déterminée. Cette résistance actuelle, prise en sens contraire, est ce que l'on nomme la pression qu'il éprouve de la part des forces du système.

Ainsi, pour calculer cette pression, on n'aura qu'à déterminer la force — r. Mais l'on a, par les équations ci-dessus, pour ses trois composantes — x, — y, — z dans les trois axes,

D'où il suit que la pression est égale à la résultante de toutes les forces du système, transportées parallèlement à elles-mêmes au point fixe.

Et c'est ce qu'il était facile de reconnaître d'abord; car le point fixe ne peut être pressé que par les forces qui s'y sont transportées parallèlement à elles-mêmes, et par les couples qu'elles ont formés à l'égard de ce point ; mais puisque ces couples doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dire seraient en équilibre quand bien même le corps serait entièrement libre, il s'ensuit qu'ils ne peuvent nullement charger le

point fixe, et que, par conséquent, ce point n'est pressé que par la résultante 'des premières forces.

de P équilibre éFun corps qui n'a dH autre liberté q%ie celle de tour^ ner autour de la ligne qui joint deux points fixes.

iSO. Soient A et B (/îjf. 36) les deux points fixes. Prenons AB pour l'un des trois axes, pour celui des abscisses par exemple, et le point fixe A pour l'origine.

Quelles que soient les forces dont chacun des points fixes paisse tenir lieu par sa résistance, on peut toujours les conoeroir comme réduites à deux forces r et r' immédiatement appliquées à ces points, et substituant ainsi à la place des deux points A et B les deux forces respectives r et r' qui remplacent leurs résistances actuelles, considérer le système comme partdtement libre dans l'espace.

Les six équations de l'équilibre doivent donc avoir lien en y introduisant les deux nouvelles forces r et r'.

Or la force r, immédiatement appliquée à l'origine A, donnera trois composantes x, t, z dans les axes, et ne donnera aucun couple dans les plans.

La force r', appliquée en B, donnera trois composantes x', y', z' la première dans l'axe des abscisses, les deux autres dans les plans respectifs XY, XZ. La force x' qui tombe dans Taxe des abscisses, étant transportée à Torigine, donnera un couple nul; mais les deux forces Y^et z', transportées à l'origine, donneront deux couples dans les plans respectifs XY, XZ adjacents à l'axe de rotation \ et les moments de ces couples seront (en faisant AB = a) v'a, z'a.

Les équations de l'équilibre seront donc

Xh-xH-x'=o, Yh-yH-y' = o, Z-f-z-^z' = o, L=o, M4-z'a = o, N — Y'a=o.

Les cinq quantités X, Y, Z, M, N pourront donc avoir telles

lOO ÉLÉME19TS

valeurs qu^on voudra^ car, en supposant la résistance des deux points fixes indéfinie en tous sens, les quantités x, y, z, x', y', tJ auront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et les trois premières équations, ainsi que les deux dernières, seront toujours satisfaites.

Mais il faudra qu'on ait toujours , pour les seules forces appliquées au système, l'équation L = o. Ce qui nous apprend que le% conditions de Féquilibre d'un corps assujetti à tourner autour éCun axe fixe se réduisent à ce que la somme des moments des forces estimés par rapport à cet axe soit nulle d'elle-même.

Remarque.

121. Si les deux points A et B n'étaient pas arrêtés en tous sens, mais pouvaient couler ensemble dans la direction AB, comme si on les supposait unis entre eux, et renfermés dans un canal infiniment étroit AB, leurs résistances x et x' dans le sens de Taxe des abscisses seraient nulles d'elles-mêmes, et l'on aurait encore l'équation X = o ; de manière que, lorsque le corps a la liberté de se mouvoir dans le sens de Taxe de rotation, outre la première condition énoncée ci-dessus, il faut encore que la somme des forces décomposées parallèlement à cet axe soit nulle d'elle-même.

Corollaire.

Des pressions exercées par les forces sur les deux points fixes.

122. Ces pressions n'étant autre chose que les deux résistances actuelles r et r* des deux points fixes, estimées en sons contraires, on aura pour déterminer leurs composantes — x, — Y, — z ; — x', — y', — z' parallèles aux trois axes, les cinq équations

X + X-f-x'=0, Y-hY4-Y'=:0, Z-|-Z-hz'=0.

M4-z'a = o, N — Y'a = o, Mais comme il y a six inconnues, il parait d'abord que les

DB STATiqUE. lOI

deux pressions — r et — r' seront indéterminées, ou du moins que Ton pourra disposer à volonté de Tune de leurs six composantes. Cependant, si Ton observe que les deux inconnues — X, -^ x', n'entrent que dans la première équation, on voit que les quatre autres seront déterminées par les équations restantes. En effet, l'on aura sur-le-cbamp, par les deux dernières équations,

et subsituant dans les deux précédentes, on aura Y^H-N Za — M

Ainsi, Tindélermination ne portera que sur les deux composantes — x, — x', dont la somme seulement sera déterminée par la première équation X -4- x H- x' == o.

Les deux forces — y, — z, perpendiculaires à l'axe de rotation au point A, se composeront en une seule ^y' •+- z' perpendiculaire au même axe^ et qui fera avec les axes des y, z des angles dont les cosinus respectifs seront

Les deiix forces — y', — z', perpendiculaires à l'axe de rotation au point B, se composeront de même en une seule /y'* -4- z'* perpendiculaire au même axe, et qui fera avec les axes des y et z des angles dont les cosinus respectifs seront

V^y'^ + z"' v^'^^-hz"

Ainsi les deux pressions normales à l'axe, aux points respeç^ tifs A et B, seront nécessairement déterminées de grandeur et de direction 5 et, par conséquent, les pressions absolues — r et — r' n'auront que cette indétermination particulière, savoir.

I02 ÉLÉHBMTS

qu'il faudra tes cboisir de telle sorte qu'étant décomposées chacune en deux autres, l'une dans Taxe, et l'autre perpendiculaire à cet axe, les deux forces normales aient les valeurs et les directions que nous venons de donner, et les deux forces situées dans Taxe fassent une somme constante égale à X.

123. Pour voir à quoi tient cette indétermination, qui dépend de celle des deux résistances actuelles x, x' que les points fixes A et B doivent opposer dans le sens de la ligne qui les joint, on peut remarquer que ces deux points, qu'on peut supposer unis par une verge inflexible, se prêtent un appui réciproque 5 de manière que chacun d'eux a toujours, ou par luimême, ou par le secours de l'autre, la résistance actuelle dont il a besoin pour l'équilibre, pourvu que la somme de ces résistances soit suffisante. On ne peut donc pas demander, et il est impossible que le calcul détermine des valeurs particu^ Hères, pour deux résistances qui, passant tacitement, en. tout ou en partie, de l'un à l'autre point, se confondent en une seule et même résistance.

De Véquilibre d'un corps qui s'appuie contre un plan inébranlable.

124. Prenons ce plan pour celui des a?, y, que l'on nomme le plan horizontal; et, supposant d'abord que le corps ne s'appuie contre ce plan que par un seul point A, regardons ce point d'appui comme l'origine des coordonnées.

Il est facile de voir que lorsqu'une force presse un point contre un plan, cette force peut toujours se concevoir comme décomposée en deux autres, l'une perpendiculaire au plan, et l'autre située dans ce plan. La première est nécessairement détruite par la résistance du plan ; car il n'y a pas de raison pour qu'elle meuve le point d'un côté plutôt que d'un autre dans le plan, et d'ailleurs elle ne peut le mouvoir à travers; mais la seconde obtient tout son eflTer, parce que son action ne peut

DE STATIQUE. Io3

être altérée par la résistance d'un plan le long duquel elle s'exerce. Le plan résistant ne peut donc détruire que des forces dont les directions lui sont normales, et, par consé* quent, sa résistance ne peut faire naître que de telles forces dans le système.

Soit donc z la résistance actuelle du point d'appui dans l'axe des z. Les équations de l'équilibre deviendront :

X==:o, Y=o, Z-hz = o, L=o, M=o, N = o.

Les trois dernières nous font voir (1 12) que les forces appliquées au corps doivent se réduire à une seule qui passe par Torigine, c'est-à-dire par le point d'appui;

Les deux premières, que cette résultante doit être verticale, c'est-à-dire perpendiculaire au plan fixe 5

Et la troisième, Z -+- z = o, que cette résultante Z peut avoir une valeur quelconque, pourvu qu'elle soit de signe contraire à la résistance z du plan ; c'est-à-dire qu'en supposant, comme nous le ferons désormais, que le corps soit placé audessus du plan des jr, j^, il faut que la force Z ne soit pas positive : sans quoi, tendant à soulever le corps au-dessus du plan, elle n'y ferait naître aucune résistance, et le plan ne servirait à rien pour l'équilibre^ de manière qu'il faudrait les mêmes conditions que si le système était parfaitement libre.

125. Supposons actuellement que le corps s'appuie par un second point B. Prenons AB pour Taxe des x^ et le point A pour r origine.

Le point A fait naître une résistance z dans l'axe même des z. Le point B fera naître une résistance z' dans le plan xz^ et donnera dans ce plan un couple dont le moment sera z'a', en faisant AB = a\

Les équations de l'équilibre seront donc

X=o, Y = o, Z-hzH-z'=o»

^ L=:o, M-hz'a'=o, N = o.

Ces équations nous font voir que l'équation de condition XL + YM -1- ZN = o est satisfaite, ainsi que l'inégalité V^X* 4- Y* •+- Z' ^ o (puisque les deux résistances z et z' ne pouvant être supposées toutes nulles, et étant de même signe, la force Z ne peut être nulle). Les forces appliquées au système doivent donc avoir une résultante unique.

Les deux premières équations montrent que cette résultante doit être verticale, c'est-à-dire perpendiculaire au plan fixe-, et la troisième, Z + z -h z'= o, qu'elle peut avoir telle valeur qu'on voudra, pourvu qu'elle ne soit pas positive.

Enfin, si Ton cherche les valeurs des deux coordonnées p et q du point O où sa direction doit rencontrer lé plan horizontal, comme on a (108)

en mettant à la place des quantités L, M, Z, leurs valeurs tirées des équations précédentes, on aura

^ = «'lT7'' « = **•

Donc, puisque l'on a g = o, il faut que le point où elle rencontre le plan horizontal tombe sur la ligne des abscisses, c'est-à-dire sur la ligne qui joint les deux points d'appui; et

z' z' puisque l'on a p = o' ,? à cause de -, toujours <[i,

on a p toujours <]«', et, par c(mséquent , la direction de la résultante doit toujours tomber entre les deux points d'appui A et B.

126. Supposons enfin que le corps s'appuie contre le plan par tant de nouveaux points qu'on voudra, C, D, etc., qui soient tous placés d'un même côté à l'égard de la droite AB, qui est toujours regardée comme l'axe des abscisses x. Conseil vant pour les deux points A et B les dénominations précédentes, nommons a'' et V^ les deux coordonnées du point C,

DE STÀTK^OE. lo5

a^ et V celles du point D, et ainsi de suite. La résistance J* ia point C, étant transportée à Porigine, donnera deux cou- ' pies dans les plans verticaux XZ, YZ, dont les moments seront z"a"^ z"V'^ la résistance t!" du point D donnera de même deax couples dans les mêmes plans, et dont les moments seront i!" a'"^ tP'V^ et ainsi de suite. Les équations de l'équilibre seront donc

X=o, Y = o, Z-hz-hz'+z''4-z'"+etc. = o,

L — z'^t'^—z'^'r— etc. = o,

MH-z^«'-hz'V-+-z'V-|-etc, = o, N = o.

Ces équations nous font voir d'abord, comme dans l'article précédent, que toutes les forces appliquées au système doivent se réduire à une seule, perpendiculaire au plan fixe, et dont la valeur ne soit pas positive.

En second lieu, je dis que sa direction doit rencontrer ce plan dans l'intérieur du polygone formé par les points d'appaiA, B, C, D, etc.

En effet, si Ton nomme, comme ci-dessus, q Toitlonnée du point O, où cette résultante rencontre le plan horizontal;

connue on a 5 = -=— en mettant pour L et Z leurs valeurs

tirées des équations précédentes, on aura

z + z'-h z" -1- z'^-h etc.

Or les résistances z, z', z", z"', etc., étant toutes positives, et les ordonnées hl'j \P' , etc., toutes de même signe, puisque les points C, D, etc., sont par hypothèse tous placés du même c6té de l'axe des abscisses, il s'ensuit que Tordonnée q sera de mèlne signe que ces ordonnées, et que, par conséquent, le point O sera , à l'égard de la ligne AB qui joint les deux points d'appui A et B, du même côté que les autres C, D, etc. Donc, puisqu'on aurait pu prendre pour l'axe des abscisses toute autre droite AC, BD, etc., qui, joignant deux points

Io6 ÉLÉMENTS

d*appui, laisse tous les autres d'un même côté, on peut conclure que le point O doit se trouver, à l'égard de chacune de ces lignes, du même côté que les autres points d'appui, et, par conséquent, doit tomber nécessairement dans Tintérieur du polygone formé par tous les points d'appui.

Corollaire.

Des pressions exercées par la résultante des forces du système sur les différents points d^ appui.

127. Ces pressions, estimées en sens contraire, ne sont ^utre chose que les résistances z, z', z^\ z"' ^ etc., dont les points d'appui A, B, C, D, etc., ont actuellement besoin pour Téquî- }ibre. On aura donc, pour les déterminer, les trois équations :

Z -h z -h z'-+- z"^ -£" -^ etc. = o,

L — 6''z''— 6'V— etc. = Oj

IVH- a'z'H- a'^z'^H- a'V-H etc. = o.

Maïs comme on n'a que ces trois équations,- avec cette seule condition, que les inconnues z, z', z'', z"', etc., doivent être toutes positives, il s'ensuit que les diverses pressions exercées sur le plan demeurent indéterminées lorsqu'il y a plus de trois appuis, et même lorsqu'il n'y en a que trois, s'ils tombent en ligne droite. Car, en supposant que le troisième point C tombe avec les deux autres A et B sur Taxe des abscisses, l'ordonnée h" devient nulle, et l'inconnue z" disparaissant d'elle-même dans l'équation L — V z"=: o, il ne reste plus que deux équations pour calculer les trois inconnues z, z', z"^ qui sont encore indéterminées.

On pourra donc, dans ce cas, se donner à volonté l'une des pressions, et, dans le cas général, se donner les pressions de tous les points d'appui, hors trois. On calculera ensuite ces dernières pressions par les équations précédentes; et pourvu que, dans les différentes hypothèses que l'on fera, le calcul ne mène à aucune pression positive, le problème sera toujours bien résolu.

Remarque.

128. Mais si nous trouvoDs, d'après les principes établis cidessus, que les pressions sont indéterminées lorsqu^ii y a plus de trois points d'appui, d'un autre côté, en considérant à priori on corps appuyé contre un plan, par un nombre quelconque de points, et tenu en équilibre par une force normale à ce plan, il nous parait évident que chaque point de contact doit être actuellement pressé, et que, s'il est pressé, c'est avec une certaine force tout à fait déterminée, ce qui serait absurde autronent : et de là résulte une espèce de paradoxe qui ne parait pas facile à expliquer.

Gardons-nous d'abord d'en conclure, avec d'Alembert, que la tbéorie connue jusqu'ici est insuffisante pour résoudre le problème en question ; car nous allons voir que ce problème est indéterminé par l'hypothèse même que l'on a faite, et que la théorie donne tout ce qu'on peut demander sans se contredire soi-même.

En effet, si Ton fait attention qu'il s'agit, par hypothèse, d'un corps dont la figure est parfaitement invariable, on peut concevoir les points de contact de ce corps, comme unis entre eux par un plan parfaitement inflexible, lequel repose sur les points 6xesA,B, C, D, etc. Or, lorsqu'il y a plus de trois points d'appui, ou seulement trois quand ils tombent en ligne droite, il n'est pas difHcile de voir que certaines parties des pressions qu'on supposerait exercées par le plan sur ces points, peuvent être imaginées comme se reportant indifféremment des uns aux autres, de manière qu'on ne puisse demander ni ce qu'elles sont en elles-mêmes, ni sur quels points d'appui elles s'exercent de préférence, à moins de détruire l'hypothèse de l'inflexibilité parfaite du plan qui unit les points du corps.

Ainsi {/ig. 87 ), pour nous faire mieux comprendre par un exemple, supposons qu'il s'agisse d'un corps appuyé par trois points en ligne droite, et considérons ces points comme liés

Io8 ÉLÉMENTS

entre eux par une verge inflexible qui repose sur les trois points fixes A, B, C. Quand bien même on saurait que cette verge est actuellement poussée aux trois points respectifs A, B, C, par trois forces normales P, Q, R, parallèles entre elles, ou ne serait pas en droit d'en conclure que les pressions exercées sur les points d'appui sont respectivement égales aux forces P, Q, R : car il serait toujours permis de concevoir dans les deux forces extrêmes P et R, deux parties tt et M ' qui ne pressent point du tout sur les appuis A et C. Si I^on prend en effet ces deux parties dans la raison inverse de leurs distances AB et CB au point B, à cause de la roîdeur parfaite de la verge, on peut concevoir que ces deux forces vont presser actuellement le point d^appui B, conjointement avec la force Q5 de sorte qu'il y a ici une pression indéterminée u -I- u\ qu^on peut supposer exister indiflféremmeni, ou tout entière en B, ou, en deux parties u et w', sur les points A et C, sans qu'on puisse dire ni ce <Ju'elle est, ni où elle se trouve de préférence, â moins de détruire l'hypothèse de l'inflexibilité parfaite de la verge qui joint les points de contact du corps.

129. Au reste, cette indétermination singulière est du même genre que celle que nous avons observée et expliquée au n*^ 123. Les pressions ou résistances actuelles dont les différents points d'appui ont besoin pour l'équilibre, ne sont indéter^ minées, dans le cas où il y a plus de trois points d'appui, ou seulement trois, quand ils tombent en ligne droite, que parce qu'il y a alors des appuis intermédiaires qui peuvent prêter aux appuis placés de part et d'autre certaines parties de leyrs résistances ; de manière que, par la liaison parfaite de ces appuis, on ne peUt plus distinguer leurs résistances individuelfes d'avec celles qu'ils pourraient emprunter mutuellement les uns des autres.

Et la théorie nous fait voir que, pourvu que ces points aient des résistances individuelles qui satisfassent ensemble aux trois équations données ci-dessus, de quelque autre manière permise par les mêmes équations, que l'on veuille répartir les

forces de pression sur ces différents points, chacun d'eux trouvera toujours, ou dans sa résistance propre, ou dans sa résistance unie avec celle qu'il empruntera des autres points d'appui, la résistance actuelle dont il aura besoin pour détruire la pression qu'on lui suppose.

Il n'en est pas de même dans le cas de deux points d'appui, et dans celui de trois non en ligne droite : les résistances actuelles sont déterminées, et doivent Tètre; car chaque point d'appui se trouvant seul à côté de l'autre, ou, dans le second cas, à côté de la ligne qui joint les deux autres, il est visible qu'il ne peut avoir que sa résistance propre, et ne pourrait pas en emprunter des appuis voisins, si elle n'était pas suflBsante.

♦ 130. Le paradoxe que nous venons de résoudre est d'autant plus frappant, que, dans la nature, les pressions exercées par \e» corps aux différents points de contact sont nécessairement déterndnées dans tous les cas, ce qui serait absurde autrement.

Mais tous les corps sont plus ou moins flexibles et élastiques; et lorsqu'ils sont pressés les uns contre les autres par différents points situés dans le même plan, la pression totale se distribue d'une manière particulière en vertu de ces propriétés physiques, et des trois équations données ci-dessus (127), auxquelles les pressions individuelles doivent toujours satisfaire : or il faudrait savoir tenir compte de ces propriétés, pour trouver en tout autant d'équations qu'il y a de points de contact, et connaître par là les diverses pressions ; et c'est une question très-délicate de Physique, que nous ne chercherons pas à discuter ici.

131. Ce que nous avons dit sur l'équilibre d'un corps qui s'appuie contre un seul plan peut aisément s'appliquer à un corps qui s'appuierait contre plusieurs plans à la fois. Chacun de ces plans fera naître aux différents points de contact des résistances normales à sa surface ; et, en introduisant dans les six équations de l'équilibre ces nouvelles forces indéterminées,

tlO ÉLÉMESTS

on parviendra facilemenl aux conditions que doivent remplir les forces immédiatement appliquées .

132. Si le corps s'appuie en différents points contre une ou plusieurs surfaces courbes quelconques, on pourra supposer qu'il s'appuie sur les plans tangents menés aux surfaces en ces points. Ainsi, connaissant les équations de ces surfaces^ on «herchera celles des plans tangents ou des normales aux divers points de contact : on introduira dans les équations de l'équilibre autant de forces indéterminées, dirigées suivant ces normales, et le problème reviendra au précédent.

t»B STATIQUE. Itt