DES CENTRES DE GRAVITÉ

Jusc{u^à présent nous avons fait abstraction de la pesanteur des corps 5 nous allons voir ici comment on peut avoir égard à cette propriété générale de la matière, afin d'appliquer les principes établis ci- dessus à l'équilibre des corps, tels qu'ils sont dans la nature.

\33. On nomme pesanteur ou gravité cette cause inconnue qui fait descendre les corps vers la terre, lorsqu'ils sont abandonnés à eux-mêmes.

La pesanteur étant une cause de mouvement, on peut la considérer comme une force.

Cette force pénètre les parties les plus intimes des corps^ et agit également sur toutes leurs molécules ; car l'expérience prouve que^ dans le vide, des corps quelconques de masses inégales, une balle de plomb par exemple, et le duvet le plus l^er, tombent de la même hauteur avec la même vitesse ; d'où l'on doit conclure que les molécules d'un corps qui tombe descendent toutes de la même manière que si elles étaient simplement contîguës, sans être liées les unes aux autres* Ainsi, l'action de la pesanteur s'exerce sur toutes les molé-> culés d*un corps, et se fait sentir également à chacune d'elles. >^

. Cependant l'intensité de la pesanteur n'est pas rigoureuse» ment la même pour une même molécule placée dans des lieux différents par rapport au globe terrestre : elle varie à la surface de la terre, depuis l'équateur, où elle est la plus petite^

112 ÉLÊMEIMTS

jusqu'au pôle, où elle est la plus grande : de plus/elle diminue h la même distance de Féquateur, à mesure que la molécule s'éloigne davantage du centre de la terre 5 et l'on sait qu'elle décroît toujours dans le même rapport que le carré de cet éloignement augmente. Mais pour les molécules des corps que l'on considère ordinairement en Statique, il n'y a pas assez de différence entre leurs distances à l'équateur, ou au centre de la terre, pour que les variations de la pesanteur y soient sensibles. Ainsi, Ton est autorisé à regarder la pesanteur comme une force constante.

La direction de la pesanteur est fort bien représentée par celle d'un fil à plomb en équilibre, ou par la perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles.

Celte direction dans le lieu que l'on considère se nomme la verticale^ et tout plan perpendiculaire à la verticale se nomme le plan horizontaL

La surface de la terre, ou plutôt celle des mers, étant k peu près sphérique, les directions de la pesanteur vont à peu près concourir au centre du globe. Ainsi, à mesure que l'on chemine sur la terre, la verticale change aussi bien que le plan horizontal : mais comme les distances dont il s'a^t ordinaireùient dans la Statique sont très-petites à l'égard du rayon de la terre, qui a près de i5oo lieues, les directions de deux verticales peu éloignées, qui vont à peu près concourir à cette distance, peuvent être regardées comme parallèles, sans «Teur sensible.

Nous considérerons donc toutes les molécules égales d'un corps pesant, comme sollicitées par de petites forces ^ales, parallèles et de même sens, et nous pourrons appliquer aux forces qui proviennent de la gravité tout ce que nous avons dit des forces parallèles appliquées à un assemblage de points liés «ntre eux d'une manière invariable*

134. Et d'abord nous en conclurons que la résultante de toutes les forces parallèles de la pesanteur leur est parallèle, c'est- Vr'dire est verticale i

En second lieu, qu'e/te est égale à leur somme.

D£ STATIQUE. Il3

La quantité de cette résultante est ce que Ton nomme le poids du corps ^ d^où Ton voit que le poids d'un corps est proportionnel au nombre des molécules qui le composent^ ou à la quantité de matière qu il renferme, et que l'on nomme sa masse. Ainsi, Ton distinguera le mot de pesanteur ou graviiéy d'avec celui de poids» La pesanteur désigne, comme nous Ta* Tohs dit, la cause qui attire les corps vers la terre ; mais le poids d&igne la force particulière qui en résulte pour cbacun d'eux ; force qui est proportionnelle à leur masse, et égale à Feffort qu^il faudrait employer pour les soutenir.

135. En troisième lieu, comme nous avons vu que pour les forcer parallèles, appliquées à différents points, il y a un centre, c'est-à-dire un point unique par lequel passent continuellement leurs résultantes successives, lorsque Ton incline successivement tout le groupe de ces forces dans diverses positions, il s'ensuit qu'il existe toujours, pour un corps pesant, un point umque par lequel passe continuellement la direction du poids, lorsque l'on tourne successivement le corps dans diverses positions à l'égard du plan horizontal. En effet, dans les diverses situations qu'on lui donne, les forces de la pesanteur qui animent toutes les molécules ne cessent pas d'être les mêmes, d'agir aux mêmes points, et d'être parallèles, et, par conséquent, leurs résultantes successives ne cessent pas de se couper en un inème point.

Ce point unique, par lequel passe toujours la direction du poids, quelle que soit la position du corps à l'égard du plan horizontal, se nomme le centre de gravité.

136. Si le centre de gravité d'un corps est fixe, il est clair que ce coips sera, en équilibre autour de lui dans toutes lea situations; c'est-à-dire que si, le faisant tourner autour de ce point, on l'amène dans une situation quelconque, et qu'on l'y laisse, le corps y demeurera ; car, dans toutes ces positions, la résultante des forces de la pesanteur passera toujours par le même point fixe, et son effet sera détruit. C'est pour cela que plusieurs auteurs ont défini le centre de gravité un point tel,

Il 4 ÉLÉMEJ)LTS.

que^ s'il était fixé, le corps demeurerait eu équilibre dans toutes les positions possibles autour de ce point ; mais il est plus convenable de faire voir à priori qu'il y a toujours pour chaque corps un tel point, et , par conséquent, de montrer qu'il y a un centre de gravité, avant de définir le centre de gravité lui-même.

137. Puisque le centre de gravité d'un corps n'est autre chose que le centre des forces parallèles de la pesanteur, appliquées à toutes les molécules de ce corps-, comme toutes ces forces sont supposées égales, il suit du n° 87 que la distance dû centre de gravité à un plan quelconque est égale à la moyenne distance de toutes les molécules du corps au même plan. Par conséquent, la position de ce centre dans les corps ne dépend nullement de la gravité, mais seulement de la manière dont toutes lès molécules sont disposées les unes à l'égard des autres.

Aussi quelques géomètres ont-ils cru plus convenable, de nommer le centre de gravité, le centre de masse, ou le centre dé figure^ mais nous conserverons ici l'autre dénomination, comme étant plus usitée, et comme rappelant mieux l'usagé que l'on fait de ce point dans la Statique.

138, Comme on peut toujours concevoir qu'à toutes les forces de la pesanteur qui animent les molécules d'un corps, on ait substitué leur résultante générale, qui produit absolu^ ment le même effet, on peut considérer le centre de gravité d'un corps comme un point où toute la masse de ce corps est réunie et concentrée. Ainsi, dans la solution des problèmes, si Ton veut avoir égard à la pesanteur, on pourra regarder chaque corps comme réduit à son centre de gravité, qu on supposera sollicité par une force égale et parallèle à son poids ; et, combinant ensuite ces nouvelles forces avec celles qui sont immédiatement appliquées au système, on trouvera les conditions de l'équilibre d'après les principes donnés dans les chapitres précédents, comme si tous les corps du système étaient dépourvus de pesanteur. .

. Il ne s'agit donc plus actuellement que de savoir déterminer

DE STÀTIQX/E. tl5

les centres de gravité des difiérents corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

i39. Lorsqu'on peut considérer le corps ou le système comme composé de parties dont on connaît en particulier les centres de gravité et les poids respectifs, il est très- facile de déterminer le centre de gravité de ce corps ou système.

.Car ce centre n'étant autre chose que le point d'application de la résultante générale des forces de la pesanteur appliquées à toutes les molécules, on peut concevoir que , pour le déterminer, on a d'abord cherché les points respectifs où sont appliquées les résultantes partielles des forces qui agissent sur chaque corps, et qu'ensuite on a cherché le point d'application de la résultante générale de ces diverses résultantes.

Donc, si l'on connaît déjà les centres de gravité respectifs des différents corps, on n'aura qu'à supposer appliquées à ces points des forces parallèles et respectivement égales aux poids de ces corps, et Ton trouvera le centre de gravité du système absolument de la même manière que l'on trouverait le centre de ces forces parallèles.

On pourra donc employer dans cette recherche, ou la composition successive des forces, comme au h° 29, ou la théorie dès moments, comme au n^ 86.

£t puisque la distance du centre des forces parallèles à un plan se trouve en divisant la somme des moments des forces, ]^8 par rapport au plan, par la somme de toutes .les forces, il s'ensuit :

Que la distance du centre de gravité d!un système quelconque de corpSy à uipplan, est égale à la somme des moments de leurs poids, par rapport au plan, divisée par la somme de tous les poids : on (conmie les masses sont proportiobnelles afux poids) égale à la somme des moments des masses, divisée par ta somme de toutes les masses; en entendant par le moment d'une masse, le pro-^ duît de cette massé par la distance de son centre de gravité au plan que l'on considère.

En calculant ainsi les dislances du centre de gravité à trois

Ilti ÉLÉMENTS

plans qiielconques , qu'on pourra supposer rectangulaires entre eux pour plus de simplicité, on trouvera facilement la position de ce point dans l'espace.

140. Dans le cas où toutes les; masses du système sont égales, on trouve sur-le-champ la distance du centre de gravité à un plan quelconque, en prenant la moyenne distance des centres de gravité de tous les corps à ce plan.

i41 , Lorsque le plan par rapport auquel on estime les moments passe par le centre de gravité du système, la distance de ce centre au plan est nulle ^ et, par conséquent, la somme des moments des masses, pris par rapport à un plan qui passe par te centre de gravité du système, est toujours égale à zéro.

C'est-à-dire que la somme des moments des masses qui sont d'un même côté du plan est égale à la somme des moments des masses qui sont de l'autre côté.

Et réciproquement, ior$9t«e la somme des moments des masses, par rapport à. un plan, est égale à zéro, le centre de gravité du système est dans ce plan.

Caria distance de ce centre au plan est nulle.

142. Il résulte de là que si les centres de gravité de tous les corps que l'on considère sont dans un même plan, le centre de gravité du système sera aussi dans ce plan ; et que si les centres de gravité des corps sont sur une même ligne droite, le centre de gravité sera aussi sur cette droite.

Car, dans le premier cas, tous les corps ayant leurs centres de gravité dans un même plan, les moments de leurs masses par rapporta ce plan sont tous nuls; la distance du centre de gravité du système à ce plan est donc nulle aussi , et, par con- .séquent, ce centre est dans le même plan.

Dans le second cas, tous les centres de gravité étant en ligne droite, si Ton fait passer deux plans quelconques par cette jdroite, les centres de gravité des différents corps seront à la fois dans ces deux plans. Le centre de gravité du système y sera donc aussi, et, par conséquent, ne pourra se trouver que dans leur intersection,, qui est la droite proposée.

DE 8TÀTIQUE. II7

Au reste, les deux dernières conséquences que nous venons d énoncer paraîtront évidentes d'elles-mêmes, en se représentant que l'on cherche le centre de gravité du système par la composition successive des forces ou poids*appliqués aux centres de gravité respectifs des différents corps.

143. Lorsque tous les centres de gravité des corps sont dans un même plan, comme le centre de gravité du système se trouve déjà dans un plan connu, il suffit, pour déterminer sa position, de chercher ses distances à deux autres plans. Or, si on les prend, pour plus de simplicité, tous deux perpendiculaires sur le premier, les distances des différents centres de gravité à ces deux plans seront les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur le premier.

Donc , si dam le plan qui contient les centres de gravité de différents corps y on tire deux droites ou axes quelconques non parai- Uiet, on aura les distances respectives du centre de gravité du système à ces deux droites, en prenant les sommes respectives des moments de toutes les masses, par rapport à ces droites, et divisant par la somme de toutes tes masses.

(Ayant soin de regarder pour chaque droite, comme positifs, tous les moments des masses qui sont d'un même côté de cette ligne, et comme négatifs les moments de celles qui sont de Tautre côté.)

On trouvera de cette manière à quelle distance, et de quel cbié, le centre de gravité du système est placé à l'égard de ces deux axes \ et menant alors,. aux deux distances trouvées, deux parallèles à ces axes, le centre de gravité sera à leur intersection même.

144. Lorsque les centres de gravité de tous les corps sont en ligne droite, comme le centre de gravité du système se trouve déjà sur une ligne connue , il suffit , pour le déterminer, de chercher sa distance à un seul plan. Or, si on le prend, pour plus de simplicité, perpendiculaire sur la ligne des centres, les distances des centres de gravité respectifs à ce plan seront les mêmes que leurs distances au point où le plan coupe la ligne.

Donc, lorsque plusieurs corps ont leurs centres de gravité res-pectifs sur une même droite, la distance du centre de gravité du système^ à un point quelconque pris sur cette droite^ est égale à la somme des momenis^des masses, par rapport à ce point, divisée par la somme de toutes les masses.

(En prenant avec un même signe tous les moments des masses qui sont d'un même côte à l'égard du point, et avec le signe contraire les moments de celles qui se trouvent de l'autre côté.)

On saura alors à quelle distance, et de quel côté, le centre dé gravité du système est placé à l'égard du point que Ton a choisi, et si l'on porte ensuite de ce côté, et à partir du point, una longueur égale à la distance trouvée , l'extrémité de cette longueur marquera sur la ligne le centre de gravité lui-même.

145» On voit donc combien il est facile de trouver le centre de gravité d'un corps ou système, lorsqu^on connaît ceux des différents corps qui le composent; il nous reste à voir comriient on obtiendrait lés centres de gravité des corps qui ne seraient pas susceptibles d'une pareille décomposition.

A la vérité, comme on peut toujours regarder un corps comme un assemblage de points matériels qui sont eux-mêmes leurs propres centres de gravité , il s'ensuit qu'on peut leur appliquer la méthode précédente, et qu'on aura généralement la distance du centre de graivité d'un corps quelconque à un plan, en prenant la somme des moments de toutes les particules de ce corps, par rapport au plan, et divisant par la somme de ces particules, ou, ce qui est la même chose, en divisant par la masse totale du corps. Mais la solution générale de cette question dépend du calcul intégral ; et l'on en peut voir, dans presque tous les Traités dé Mécanique, des applications .trèssimples, et qui n'ont d'autres difficultés que celles du calcul intégral lui-*même.

Cependant, comme il existe des considérations élémentaires trèa-élégantes qui conduisent à la détermination des centres de gravité pour la plupart des corps dont il est question dans la

DE STATIQUE. llj)

Géométrie, nous nous bornerons à celle recherche, qui rein» plit Tobjet que nous avons en vue, et qui ne nous écarte point de nos Eléments.

Ii6. D'après ce que nous avons dit (137), la position du centre de gravité dans un corps ne dépend que de la manière dont toutes les molécules de ce corps sont disposées les unes à regard des autres. Elle dépend donc de deux choses : i" de la figure du corps ou de celle de l'espace qu'il occupe -, 2" de la densité relative de ses différentes parties. On voit bien, en effet, que si, la figure et le volume restant les mêmes, les molécules viennent à s'écarter les unes des autres dans une certaine partie du corps, de manière qu'elles se rapprochent davantage dans une autre, les forces qui agissent sur elles n'étant plus réparties de la même manière, la position de la résultante générale chaugéra, et, par conséquent, celle du centre de gravité du corps. Mnn, dans la détermination de ce point, il faudrait avoir éptrd^ non-seulement à la figure du corps, mais encore à la loi suivant laquelle la densité varie dans toute son étendue.

Mais si , pour résoudre plus simplement la question , ou suppose d'abord les corps parfaitement homogènes, ou uniformément denses en tous leurs points, la position du centre de gravité ne dépendra plus que de la figure, et la recherche des centres de gravité deviendra un simple problème de Géométrie.

G^est dans cette hypothèse de corps parfaitement homogènes, que l'on détermine ordinairement les centres de gravité des lîgfkiès, des surfaces et des solides qui sont soumis à* une descrip don rigoureuse, et que Ton regarde comme doués d'une pesanteur uniforme en tous leurs points*, et quoique ce problème puisse paraître, au premier coup d'œil, de pure spéculation, il est facile de voir qu'il est, en Statique, ce que la quadrature des aires, ou la cubature des solides est en Géométrie. Comme les résultats que la Géométrie nous donne sont d'autant plus exacts dans l'application, que les figures sont plus semblables à celles que la Géométrie suppose, ainsi dans la détermination

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des centres de gravité on trouvera ces. points d'autant plus près des lieuic que la théorie leur assigne^ que les corps seront d'une substance plus homogène, plus uniformément répandue, et terminés par des surfaces plus parfaites.