DU TOUE

1S6. Le tour en général est, comme nous Tavons dit, un corps solide de figure quelconque, qui n'a que la liberté de tourner autour d'un axe fixe.

Mais ce que Ton nomme iovr ou treuil dans les arts est un cylindre aux bases duquel on adapte ordinairement deux autre» cylindres de même axe, mais d'un diamètre plus petit, et que l'on nomme tourillons» Ces tourillons reposent sur deux appuis fixes F et H [fig. 58), et le cylindre, en tournant sur, ces tourillons, est absolument dans le même cas quesMl tournait autour de son axe, considéré comme une ligne fixe.

Là résistance que Ton se propose de vaincre, ou le poids (^ que l'on veut, élever^ est appliquée à une corde qui s'enroule autour du cylindre, tandis qu'une puissance P le fait toumer, soit en agissant par une corde CP tangentiellement a une roue (GB) perpendiculaire à Taxe de ce cylindre et solidement Uéq avec lui, soit en agissant à l'extrémité d'une barre qui traverse le cylindre à angle droit, soit au moyen d'une manivelle, etc. : Les dénominations du tour varient suivant l'objet auquel on le destine et suivant sa position. On le nomme ordinairement Éour ou treuil lorsque l'axe du cylindre est horizontal, et cabes" tan lorsque Taxe est vertical et qu'on se sert de barres pour y appliquer la puissance. Mais quels que soient l'objet et la position de cette machine, et de quelque manière qu'on lui communique le mouvement, les conditions de l'équilibre y 6on| toujours les mêmes. Ainsi, nous la considérerons, pour plus de simplicité, sous le premier aspect. Nous supposerons que l'axe AB du cylindre soit horizontal, et, par conséquent, le plan de la roue vertical; que la puissance P agisse suivant i^e direction tangente en. un point donné C à la circonférence de la roue, et que la résistance Q agisse dans un plan parallèle i celui de la roue, suivant une direction verticale tangente à la surface du cylindre, ou plutôt à la circonférence de la section circulaire DIO faite dans ce cylindre au point D de contact.

.11 a'agic de déterminer d'abord le rapport de la puissance à la résistance dans le cas de l'équilibre, et en second lieu les pressions qu'éprouvent les appuis F et H qui soutiennent les tonrillons.

Soient B le centre de la roue, A celui de la section DIO. Menez les rayons CB et DA qui seront perpendiculaireis auiL forces respectives P et Q.

Je transporte la force Q parallèlement à elle-même du point Dan point A. Il en nait une force Q' égaie, parallèle à Q et de même sens, appliquée en A, et un couple (Q, — Q) qui a pour bras de levier le rayon DA du cylindre. Je transporte de même la puissance P de Cen B pi en nait une force P' égale, parallèle et de même sens, appliquée en B, et un couple (P, -^ P ) qui a pour bras de levier le rayon CB de la roue.

Les deux forces P'et Q', étant appliquées aux deux points A et B qui appartiennent a Taxe fixe du cylindre, sont évideinment détruites par sa résistance.

Mais les deux couples (P, — P) et (Q, — Q) doivent se faire équilibre d'eux-mêmes; car, si l'on transporte, pour j^ns de clarté, le couple (Q, — Q) dans le plan du couple (P, — P), ce qui est permis, on voit que ces deux couples se composent en un seul qui ne peut jamais être en équilibre a^utour du centre B de la roue. Le couple résultant doit donc être nul. de lui-même, et, par conséquent, les deux couples contraires (P, — P) et (Q, — Q) doivent être équivalents. Ainsi, leurs moments P X CB et Q X DA doivent être égaux, etl'onaP:Q::DA:CB.

C'est-à-dîre que, pour r équilibre du tour, il faut que la puisionee saiid la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon iéiaroue.

Des pressions exercées sur les appuis.

187* Les deux couples (P, — P) et (Q — Q) étant en équilibre d'eux-mêmes, il n'y a que les deux forces P' et Q' qui puissent charger l'axe fixe, et, par conséquent, les appuis :

'l68 ÉLÉMENTS

d'où Ton Yoit d'abord que la presiûm exercée par les forces P etQ appliquées au treuil est absolument la mêtne que «t ce$ forces étaient transportées sur Vaxe, parallèlement à eUes^4némes, dans leurs plans perpendiculaires à cet axe.

Pour obtenir les pressions individuelles dés appuis F ecH, on décomposera la force Q' en deux autres, parallèles q et ?', appliquées aux points respectifs F et H ; et de même la fonce P^ en deux autres parallèles p et p'^ appliquées aux mêmes points. La résultante des deux forces p et q exprimera en grandeur et en direction la pression de l'appui F ; et la résultante des deux forces p^ et q' celle de Tappui H.

Nous avons fait abstraction de la pesanteur du treuil. Ordinairement le corps de cette machine est symétrique par rapport à Taxe fixe, et son centre de gravité tombe sur run des points de Taxe lui-même. Alors le poids du treuil ne trouble point la proportion établie ci-dessus entre la puissance et la résistance, mais il cbange les pressions exercées sur les appuist Pour connaître les valeurs réelles de ces pressions, on considérera tout le poids du treuil comme une force verticale V appliquée en son centre de gravité G ; et si Ton décompose cette force en deux autres parallèles g et 9', appliquées aux points Fi et H, la résultante des trois forces p, q elg exprimera la charge réelle de Tappui F^ et la résultante des trois forces /i', q' et g\ celle de l'appui H 3 de sorte que l'on saura de quelles résistances les deux points d'appui doivent être an moins capables, pour n'être pas entraînés par les efforts combinés des deux forces P et Q, et du poids V de la machine.

188. On a supposé que les cordes DQ, CP éuient infiniment déliées ; mais les cordes sont ordinairement d^un diamètre fini, ce qui change sensiblement le rapport que nous avons établi entre la puissance et la résistance. En effet, les forces P et Q, que l'on peut regarder comme agissant suivant les axes des cordons, ont leurs bras de levier respectifs augmentésdes demi-diamètres de ces cordons. On n'a donc pas alors : la puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est

DE STATIQUE. l6p

aarayon de la roue; mais bien, la ptrisMonee P est à la rémkm Q comme le rayon du cylindre augmenté du rayon de la torée DQ eei au rayon de la roue augmenté du rayon de la mieCP.

& les raTons des cordes DQ et CP sont proportionnels aux rayons du cylindre et de la roue, cette proportion revient à > Il première, comme si les cordes étaient des fils infiniment petits, appliqués tangentiellement à la roue et au cylindre»

189. Si l'on veut considérer actuellement un tour sollicité par tant de forces que l'on voudra, situées dans des plans perpendiculaires à Taxe, on verra, comme ci-dessus, qu'en triinsfimnant chaque force en une autre égale, parallèle et de même aeni, appliquée sur l'axe, et eu un couple qui aura pour bras dejevier la distance de la force à Taxe, toutes les forces tnn^rtées sur Taxe seront toujours détruites par sa résis- UnaBi mais que tous les couples devront se réduire à un couple nul de lui-même pour l'équilibre. Or, tous ces couples étant dansde^ plans parallèles, le couple résultant sera égal à leur loinme) et, par conséquent, il faudra, pour l'équilibre, que la femme des moments des forces par rapport à l'axe soit ^ale à léro, en prenant avec des signes contraires les moments des forces qui tendent à faire tourner en sens contraires.

Poar les pressions exercées sur l'axe fixe, elles seront évidemment les mêmes que si toutes les forces appliquées s'y Paient transportées parallèlement à elles-mêmes, sans sortir de leurs plans perpendiculaires à cette ligne.

Lorsque les forces appliquées au treuil sont dirigées dans dei plans quelconques, on peut décomposer chacune d'elles en deux autres, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la direction de l'axe fixe. Mais, les forces parallèles étant transportées dans l'axe, leur résultante est détruite par la résistance lonptndinale de cet axe, et leur couple réisultant, qui passe par le même axe, est détruit par sa résistance transversale. H ne reste donc à considérer, pour l'équilibre du treuil, que le

l^P ÉLéMBUTS

glt>upe des forces qui sont situées dans des plans perpendicu^^ laîres à l'axe fixe, ce qui revient au cas précédent.

Ainsi, en nommant P, P^, P^^, etc.^ les forces appliquées ;^ w, cd', «'', etc., leurs inclinaisons sur l'axe, et p^ f\ f"^ ete., leurs plus courtes distanjces à cette droite, on aura pour l'équilibre l'équation .

P/i sin tt) + P'|)'sîn Où' -h P'^p'' sîn tt)"-!- etc. =; o,

ce qui est la condition exprimée au n** 120.

Quant à l'axe du treuil, il sera pressé, i® par les composantes P sin cd, P' sîn tt)', P'' sin «'', etc. , iransportéeis ôur cet axe 5 2** par la résultante des forces parallèles P cos w, P' cos »', P'' cos w^, etc., qui tend à entraîner le tteuîl dans le sens de sa longueur 5 et 3** enfin, par le couple résultant de ces dernières composantes, cecjui revient à deux forces égales perpendiculaires à Taxe, et qui le poussent en sens contraires.