X : Q :: I : cosB

F ce qui redonne, eu multipliant par' ordre, la même proportion lroa?ée cî-dessus; d'où Ton tire

^ P r ces B

^ ^1 sin O

pour Texpression de T effort Q exercé par la puissance. Remarqua,

231. A mesure que l'angle B diminue, l'angle O du genou augmente \ le facteur cos B croît donc sans cesse vers Tunité, et le facteur sîn O diminue vers zéro, de manière qu'ils peuvent approcher de ces limites d'aussi près que l'on voudra. Or, la résistance Q étant proportionnelle à cos B et réciproque à sin O, on voit, par cette double raison, que la force Q augmente à mesure que les deux côtés du genou s'approchent d'être en ligne droite, et qu'à cette limite elle serait infinie : ce qui veut dire ({u'elle augmente sans bornes, et qu'ainsi la pression exercée par le genou, dans le sens de la rainure, peut devenir plus grande (|ue toute pression donnée.

On voit encore que la puissance a d'autant plus d'avantage, que le côté AO = a est plus court, et que le bras du levier An = r est plus considérable. Par cette dernière raison, il y aura de l'avantage, pour une même longueur de la barre *Wi, à implanter cette barre sur le côté le plus près qu'on pourra <Je l'angle du genou.

Si la puissance P, au lieu d'agir perpendiculairement sur la ligue An, agissait sous un autre angle quelconque dans le même plan, il faudrait prendre, pour le bras de levier r, la distance de cette force au point fixe.

S*îl y avait plusieurs forces pour faire tourner le levier AO, il faudrait mettre dans l'équation précédente, au lieu du moment Pr, la somme des moments de toutes ces forces.

ao6 ÉLÉMENTS

Du Genou isocèle,

232. Supposons que le triangle AOB soit isocèle, et qu ainsi les angles A et B soient égaux : l'angle O devient le supplément de 2 B, et l'on a sin 0=2 sîn B cos B. La proportion donnée plus haut pour l'équilibre devient donc

P : Q :: 2 a sin B:r, jl^

ou bien, si Ton aime mieux introduire dans la proportion r angle O des deux côtés du genou, comme l'angle B est complément de —5 on aura sin B = cos —9 ou simplement,

sinB = coscp, en faisant, pour simplifier, — - = ç, et la pro^ | portion sera \

P : Q :: 2a cos o : r,

ce qui donne une expression très-simple de la loi de l'équilibre, j

Mais on peut encore, au lieu des sinus ou cosinus, n'employer que des lignes tirées de la construction de la machine; car il est évident que le terme 2 a sin B, ou na cos ç, vaut ' deux fois la flèche 01 = /" d'un arc de cercle qui serait conduit par AOB. Donc, si l'on voulait nommer simplement cette J ligne 01 la flèche du genou, la loi de l'équilibre pourrai t s'énon- j cer de la manière suivante : I

Dans U équilibre du genou dont les côtés sont égaux, la pui^" sance qui tend à faire tourner le premier côté autour de son eoc^ trémité fixe est à la résistance que r extrémité mobile du second câ^^ éprouve dans le sens de la rainure , comme le double de la flècH^ du genou est au bras du levier par lequel agit la puissance.

233. J'ai fait abstraction du poids des parties de la machinamais il est bien aisé d'y avoir égard. Et d'abord, la barre A^ étant supposée fixe, son poids G ne change en rien la propor^ tion trouvée pour l'équilibre; il ne fait ([u' ajouter à la pres^

DE STATIQUE. ao^

sioii (le cette barre sur ses appuis. Mais le poids de la prciiiièiv

branche AO, que je représenle par a/>, favorise Taction de la

puissance; et si l'on suppose, par exemple, que Taxe AC soit

vertical, et la branche Au d'une grosseur uniforme, de ma-

niire que son centre de gravité tombe au milieu de AO, il est

éfidentqne le poids 2p ajoute au moment Pr de la puissance

le moment p/*. Enfin le poids ^p de la seconde branche BO, que

Âje suppose égal et appliqué de même au milieu de BO, peut se

* décomposer en deux forces égales, Tune p appliquée en O,

Tantre p appliquée en B en sens opposé de Q. Or la première

force jï, à la distance /"du point fixe, ajoute encore au moment

de la puissance le moment pf, et la seconde, appliquée en B,

diminue la force Q de J9.

Ainsi, Téquation de l'équilibre, qui était

P.r = Q.aA devient, quand on a égard au poids de la machine,

ce qui donne

P.r=(Q-ap)2/-;

d'oà l'on voit que le poids de la machine, dans la situation que je lui ai donnée, augmente l'effort Q d'une quantité 2/> ^le à la moitié du poids des deux branches mobiles du

Des pressions exercées sur les appuis.

234. Quant aux pressions que souiïVc l'axe fixe AC, tant en '^^rtu des forces appliquées que du poids de la machine, voici ^^inment on peut les calculer.

Premièrement, cet axe est pressé au point B par une force I^^rpendiculaire V, résultante de X et de Q — />, et dont la va- ^Xirest exprimée par (Q — p) cot(jp.

Eh second lieu, le point fixe A est pressé par le poids G de *^ barre AC et par la résultante de toutes les forces qui agis-

sent sur la branche AO, et qu'on transporterait parallèlemeK^^ à elles-mêmes au point O. Or, qu'on décompose d^abord cksicune de ces pressions en deux autres, Tune dirigée dans Vsi^xe AC, Vautre perpendiculaire au même axe, on aura, pour les deux composantes de P, P cos o) et P sin co, co étant VinclinaiV son de P sur AC -, pour les deux composantes de X, on aura (Q — p) <ît V ; enfin, pour les deux poids 2p et p transportés en A, on aura la force 3p dirigée suivant l'axe AC. Donc, en^ réduisant, le point A souffrira, dans le sens de Taxe AC, une pression « égale àG-f-Pcosw — Q-|-4p;et dans une direction perpendiculaire, une pression |3 égale à

P sîn « -i- (Q — p) cot ç.

De sorte que la pression totale du point fixe sera exprimée en grandeur par \/«* -f- j3* et sera inclinée sur Taxe AC d'un angle

dont la tangente sera -•

Ainsi, Ton saura avec quelle force l'axe du genou doit être retenu en A et en B, pour n'être pas entraîné par l'action coniT binée des forces appliquées et du poids de la machine.

235. J'ai cru devoir expliquer cette machine nouvelle avec assez de détail, parce qu'elle m'a paru ingénieuse, et qu'elle n'est encore démontrée nulle part. Elle est à peu près du même genre que la vis, mais d'une construction beaucoup pins simple : on peut s'en servir de la même manière, pour exercer, k l'aide d'une puissance médiocre, des pressions tiès-considérables, ou pour former sur certains corps de fortes et vives empreintes. '

Sur un ancien paradoxe de statique relatif à la théorie des moments,

236. La loi du levier, comme on l'a vu plus haut, etcomni^ on le sait depuis longtemps, est que les deux forces appliqué^^ soient réciproques à leurs distances au point d'appui, c?*^ qu'ainsi les moments de ces forces soient égaux entre eux poi^ ^' l'équilibre.

Or il y a une machine singulière, dont Tidée est due à Robervd, et qui présente une espèce de levier où deux poids éfva se font toujours équilibre, quoiqu'on les suspende à des bni de levier quelconques inégaux; et de*là résulte, dans la théorie des moments, une espèce de paradoxe, qu'on a tâché de résoudre par une certaine décomposition de forces, mais dont il me semble qu'on n*a point encore donné la véritable expli-^ ^eation. (Vojfez l'article de d'Alembert, au mot Levier, dans tEnegciapédie.)

Cependant on pouvait reconnaître d'abord que ce cas d'équî- Bbre n'a rien de contraire à la loi générale du levier; car la machine de Roberval n'est point un véritable levier, c'est-à»* dire un corps ou une verge roide mobile autour d'un seul point fixe : c'est un assemblage ou système de figure variable^ dans lequel il y a deux points fikes, et où il n'est pas du tout surprenant que la condition de l'équilibre soit tout autre que dans le kfier simple. Ainsi, par cette seule distinction que nous avons AaUie entre une machine simple et une machine composée, le {Muradoxe s'évanouit . Mais on n* avait point encore une définition bien précise des machines, ni surtout une idée nette des momtnls, efforts d'un certain genre que les coupks seuls ont mis en éfidence, et pour ainsi dire rendus sensibles dans toute la mé* eanique. Et, en effet, par cette théorie des couples, la machine de Roberval n'offre pas même de difficulté : car, a l'aide des deux points fixes qui existent dans le système, il peut très-bien arriver que chacun des couples qui viennent des deux forces >P[diqnées se trouve séparément détruit par la résistance de ces points, et que, dans une pareille machine^ le rapport des 'Moments soit tout à fait arbitraire. C'est, en efi'et, ce qui a ''^U, comme on va le voir tout à l'heure : et ce cas singulier ^ équilibre, loin d'offrir un paradoxe, n'est qu'une nouvelle ^i^firmation de nos principes ; et je ne m'y arrête un instant ^e pour en donner, par les couples, la démonstration la plus *^'^ire, et peut-être la seule exacte qu'on en ait encore prér *^titée jusqu'ici.

2IO ÉLtMESfTS

De la Balance de RoberveU.

237. Imaginez quatre règles deux à deux^ égales et parai — lëles, et formant un parallélogramme ABab {fig. 90 et 9 1 ) , dor» l les côtés soient mobiles autour des angles A, B, a, 6, comm.<? sur des charnières. Supposez que les milieux F études deux eôtés AB^abj soient fixes, et, pour plus de clarté, que ces deux points tombent dans la même verticale F/*; vous aiurez une machine formée par la réunion de deux balances égales et parallèles, qui se répondent dans un même plan vertical, et doBt tous les mouvements autour de leurs appuis se suivent sans se iTuire ^n aucune manière : car si P une d'elles, AB par exemple, tourne autour de son appui fixe F, l'autre ab tourne en même temps sur le sien, dans le même sens et d'une même quantité angulaire \ et le parallélogramme ABab prend toutes les figures qu'il peut affecter, en changeant ses angles^ sans changer la longueur de ses côtés.

Si donc, à Tun de ces leviers, tel que AB, et en des points quelconques de ce levier, ou même de son prolongement, étaient appliquées deux forces qui se fissent équilibre^ il faudrait nécessairement que ces deux forces fussent réciproquesà leurs distances au point d'appui F, comme si le levier AB était seul et parfaitement libre 5 car ce levier est libre en effet, puisque r autre ab ne fait que suivre, et, pour ainsi dire, répeter ses mouvements, sans y porter la moindre altération. Ainsi^ les moments devraient être égaux de part et d'autre autour du point fixe F, et il n'f aurait là rien qui ne fût entièremeo t d'accord avec la théorie.

Mais si) au lieu d'appliquer les forces ou les deux poids f et Q à l'un de ces leviers, on les applique, le premier P a un^ barre Kl invariablement fixée à angle droit sur le côté B b qn-î unit les deux balances, le second Q à une barre GH, fixée d^ même sur le côté A a, on trouve que ces deux poids, pourvoi qu'ils soient égaux, se font toujours équilibre, quelles qu^ soient les longueurs des bras IR et GH, où il sont suspendus?

et c'est ce qu'il faut montrer ici comme une couséquence toute naturelle de notre théorie des moments.

Pour cela, qu'on transporte la force P parallèlement à ellemême de I en K dans la droite B6, et l'on a un couple (P, — P) dont le bras de levier est IK. Mais ce couple est détruit par les deux points fixes; car il peut d'abord être changé en un autre équivalent d'un bras égal à la distanct^ mn des deux balances AB et ab; ensuite, comme le bras Kl est invariablement attaché au côté 6 6, par Thypothèse même, ce couple transformé (F, — P') peut être tourné dans son plan, et appliqué exactemoitsur le côté Bfe. Dans cette position, l'une des forces F se dirige vers le point F qui est fixe, l'autre — P se dirige vei*^ l'autre point fixe /*, et le couple est détruit, quel que soit son moment V xmn ou PxIK. Ainsi il ne reste, de ce côté de la machine, que la force P transportée au point K.

Pareillement, la force Q peut être transportée parallèlement àdle-même de G en H, et le couple (Q, — Q) qu'elle pron dm't, pouvant être changé en un autre (Q', — Q') appliqué sarle côté A a, se trouve détruit, comme le précédent, par la résistance des deux points fixes.

Il ne reste donc que les deux forces P et Q, mais appliquées maintenant aux points K et H, ou, si Ton veut, en B et A, et qui, par l'équilibre de la balance AB, doivent être parfaitement égales entre elles. Ainsi, dans la balance deRoberval, la condition unique pour l'équilibre est 1 égalité des deux poids^ quelles que soient leurs distances aux points d'appui.

Cette machine est en quelque sorte, pour les simples forces, ^ que le levier ordinaire est pour les couples ou moments. Oans l'équilibre du levier, les deux forces peuvent être dans- ^H rapport quelconque ^ il suffit que les moments soient égaux : ^ais, dans la balance de Roberval, il faut que les forces soient égales, et c'est le rapport des moments qui est arbitraire.

238. Au reste, ceci n est qu'un cas particulier d'une proportion plus générale ^ car, au lieu de deux balances AB et a6, on pourrait considérer deux leviers égaux et parallèles, dont les

appuis F et fnc soient plus au milieu de leurs longueurs, mais divisent ces lignes dans un même rapport quelconque. De plus, on pourrait supposer que les forces P et Q, qui agissent sur les barres IK, (jH, ne soient point parallèles, mais dirigées comme on voudra dans le même plan. On démontrerait exactement de la même manière que, les deux forces P et Q étant transportées parallèlement à elles-mêmes aux deux bouts B et A de Tun des deux leviers A6 de la machine, les deux couples qui naissent de cette translation sont séparément détruits par les points fixes; que, par conséquent, la condition unique pour l'équilibre est que les deux forces appliquées soient entre elles dans un rapport constant, qui ne dépend point de leurs distances au point F, mais uniquement des distances de ce point aux deux parallèles à ces forces, menées par les deux bouts du levier. Ainsi, quand deux forces sont une fois en équilibre sur cette machine, on peut les transporter où Ton veut parallèlement à elles-mêmes, sans que l'équilibre soit troublé. Elles réagissent toujours l'une sur l'autre de la même manière. La seule chose qui change est la grandeur des couples détruits, et, par conséquent, la pression que souffrent en sens contraires les deux points fixes dans la direction des deux leviers.

Par exemple, dans le cas de P et Q parallèles, le point F, outre la pression verticale P-i-Q qu'il supporte, comme dans le levier ordinaire, éprouve encore, dans le sens du le-

Tif i^i A \ ^ PXKI QXGH vier, une pression r — (J , égaie a : et

l'autre point fixe /"éprouve Une pression égale et parallèle, et de senscontraire : de sorte qu'il y a, sur l'axe F/" qui joindrait les points fixes, un couple dont le moment est

PxKI-QxGH,

c'est-à-dire égal à la différence des moments des forces appliquées, et qui tend à renverser la machine.