ET DES AIRES DANS LA MÉCANIQUE

Des Couples,

Dans ma Statique, j'ai nommé couple l'ensemble de deux forces parfaitaent égales, parallèles et de sens opposés. On sait que ces deux forces n'ott pas de résultante, c'est-à-dire ne peuvent être tenues en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace. A la vérité, le calcul qui donne, pour cette résultante, une force nulle appliquée à une distance inQnie des composantes, ne nous apprend plus rien alors, puisqu'il donne la môme expression pour deux autres forces quelconques ^aleô , parallèles et de sens opposés , dont l'effet pourtant n*est pas le même que celui des deux premières ; mais il est évident , à priori , que de telles forces ne peuvent avoir de résultante unique : car, si l'on pouvait assigner la position de cette résultante à l'égard do Tune des forces du couple, on lui en trouverait sur-le-champ une autre parfaitement symétrique et de sens contraire à l'égard de la seconde; et elle aurait à la fors deux positions différentes, ce qui est absurde.

L'effort d'un couple ne peut être contre-balancé que par calui d'un autre ooupie, J'ai fait voir que cet effort a pour mesure le produit de l'une des forces par la distance qui les sépare; de sorte qu'en nommant ce produit le moment du couple, deux couples contraires se font équilibre quand leurs moments sont égaux.

Composition des couples, analogue à la composition des forces.

J'ai d'ailleurs établi sur les couples tous les théorèmes qui conesfwndent à ta composition des forces; ot môme celte proposition (dont on fait sj^

ai6 MÉMOIRE.

souvent usage), qu'une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction , trouve ici son analogue^ qui consiste en ce qu'un coieptspeut être transporté partout oà Von voudra dans son plan, ou dans touC autre plan parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan, sans que son effet en soit changé.

Ainsi , des couples situés arbitrairement dans le même plan , ou dans dw plans parallèles, sont des couples de même direction; d'où l'on voit corn* bien est illusoire rexpressiott que donne le calcul pour la résultante d'un couple, puisque, d'après cette propriété , il n'y aurait pas de lieu de l'espace où l'on ne pût la supposer appliquée; ce qui n'a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est principalement utile dans la compO' sition des couples, où elle permet de les rapprocher et de les disposer entre eux de la manière la plus favorable à la démonstration , et nous con« duit par une vde très-simple aux théorèmes suivants :

1** Deux couples situés dune manière quelconque dans le mente plan, ou dans deux plans parallèles, se composent en un seul égal à leur somme ou à leur différence, selon que ces deux couples sont de même sens ou de sens contraires.

%** Deux couples situés (Tune manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux côtés (^ un parallélogramme, et représentés &i grandeur par ces côtés, se composent en un seul situe dans un plan pa^ pendicuiaire à la diagonale, et représentés en grandeur par cette diagonale'

D'où l'on peut conclure que : Trois couples perpendiculaires aux trois arêtes contiguës âun parallélipipède quelconque, et représentés, powr leurs moments, par les longueurs de ces arêtes, se composent en un seul, perpendiculaire à la diagonale, et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale.

Ces théorèmes, comme nous le verrons tout à l'heure, renferment la théorie des moments, considérée de la manière la plus générale, et la théorie des aires, qui ne sont autre chose, dans le mouvement des corps, que les moments des forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité que le parallélogramme des forces , et font descendre ainsi dans les Éléments les propositions les plus élevées de la Mécanique.

Qu'on me permette ici d'en rappeler en peu de mots l'usage dans la Statique, et, S£ins cesser de tendre vers l'objet de ce Mémoire, d'y arriver dans l'ordre naturel de nos idées.

M&JCOIKB. 217

Usagie des Couples dans la Statique.

Une force étant appliquée en un point d'un corps ou système quelC/Onque nfkiè, si l'on prend un autre point quelconque dans ce corps, ou au dehors, poonru qu'on l'y suppose invariablement attaché, et qu'on applique à ce louyean point deux forces contraires égales et parallèles à la première, il ert dair que l'état du corps ne sera pas changé; mais on pourra considéfBT actuellement, au lieu de la simple force proposée, i® une force parlidteaient ^le, parallèle et de même sens, appliquée au nouveau point; if mi couple formé par les deux forces parallèles restantes. Si , pour plus de darté, on transporte ce couple ailleurs, dans un plan quelconque parallèle' aa sien, ce qui est permis, il ne restera au point dont il s'agit qu'une fcm parfaitement égale et parallèle à la force primitive, et qui ne serait ai quelque sorte que cette même force qu'on y aurait transportée parallèlenient à elle-même.

On peut donc dire qu'une force peut être transportée parallèlement à éUe-méme en un point quelconque,- pourvu que Ton considère le couple qm^fife engendre dans cette translation , et qui a pour mesure le produit ifo'lÉ force par le chemin qu'elle a parcouru.

CSda posé > tant de forces que l'on voudra étant appliquées d'une ma- Juàre quelconque à un corps, si on les transporte toutes parallèlement à «UeBHBièmes en un même point quelconque, elles viendront s'y composer en une seule que je nommerai la résultante y et tous les couples qu'elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul, que je nommerai le couple résidtant.

Composition générale des forces.

Ainsi , des forces dirigées (Pune manière quelconque duQs l'espace peu-

^nt toujours se réduire à une seule, et à un couple unique, lesquels sont,

^'f général, situés dans des plans différents. Sur quoi l'on peut observer

Çoe la direction , la quantité et le sens de la résultante seront toujours les

'*'^nies en quelque lieu qu'on ait pris Vorigine, c'est-à-dire le point où l'on

^ ^^nsporté toutes les forces. En variant la position de ce point, la résul-

^'^te ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en divers lieux

® t*espace; mais la plan et la valeur du couple changeront nécessairc-

'^^nt.

2i8 MÉMOIRE.

Lois de ^équilibre.

Mais, quelle que soit la position de l'origine, un couple ne pouvant jamais ôtre tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace , il résulte de ce que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces, à moins que la résultanle et le couple résultant ne soient tous les deux nuls à la fois.

Ainsi y toutes les forces appliquées au corps, étant transportées pardlèlement à elles-mêmes en un point quelconque, doivent s^y faire équHibn entre elles, et tous les couples qu'elles produisent en se transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux»

Telles sont les propriétés générales de l'équilibre, c'est-à-dire les conditions qui existent nécessairement dans l'équilibre de tout système libre. Elles fournissent les six équations connues , entre les forces déoompofléOK suivant trois axes quelconques dans l'espace, et entre les couples décomposés suivant trois plans différents qu'on peut supposer conduits par oes axes.

A quoi se réduisent les conditions' précédentes quand il y a uh poittl fixe dans le système.

Ces trois dernières équations suffisent , lorsqu'il y a un point ûxe dans le système , en supposant qu'on ait pris ce point pour l'origine : car h résultante, se trouvant détruite par sa résistance , peut avoir telle valear qu'on voudra, et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par là que Itf pression exercée sur le point fixe est identiquement la même que si toutes les forces du système y étaient transportées parallèlement à leurs directions, car elles y sont actuellement transportées; et pour les couples qu'elles ont produits, comme ils doivent être en équilibre d'eux-mêmes , c'est-à-dire quand bien même le corps ne serait pas soutenu, il est évident qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe.

Propriété nouvelle de Péquilibre dun corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibre autour d'un système quelconque invariable de forme, on sait qu'elles peuvent toutes varier pi'oportionnellement à leurs grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Mais on voit ici qu'elles peuvent encore s'approcher ou s'éloigner toutes d'un même point quelconque, proportionnellement à leurs distances à ce point, sans que cet équilibre soit troublé : car, si chaque force se meut ainsi parallèlement a cllo-mémo, dans le plan formé par sa direction et le point dont il s'agit; plie augmente ou diminue le roupie qu'elle donne à son égard , dans le

ffléme rapport que sa distance k ce point , et , par conséquent , tous les couples du système conservent leurs positions , et demeurent proportionvi nels. Ainsi, la résultante et le couple résultant, étant une fois nuls, le MTOot toujours, et l'équilibre subsistera.

Coiutition nécessaire pour (jii'un système quelconque de forces ait une résultante unique.

Les forces appliquées au système étant ramenées, conune nous venons de le voir, à une seule force et à un seul couple, si la force se trouve parallèle au i^an du couple, on pourra amener ce couple dans un même plan avec elle, et les réduire tous deux à une force unique : et réciproquement, conme on a démontré qu'une force et un couple ne peuvent se réduire à ne force unique sans être dans le même plan ou dans des plans parai- UeB, ce qui est ici la même chose, il s'ensuit que des forces dirigées imne numière quelconque dans ^espace ne peuvent jamais se réduire à Me seule y à moins que la résultante de toutes ces forces transportées 'paraUèlenient à elles-mêmes en un point quelconque n^ait une direction panMèle au plan du couple résultant,

C7«il par là qu'on peut voir comment trois forcés dirigées dans des plans dyfSraits peuvent se composer en une seule, sans qu'il y ait aucune renisoBlm entre leurs directions , et comment une force peut se décomposer suivant trois directions qui ne rencontrent pas la sienne et qui ne se rencontrent pas entre elles.

Expression analytique des propriétés précédentes.

Pour soumettre les propositions précédentes au calcul, concevons à l'origine où l'on transporte toutes les forces, trois axes quelconques, que nous prendrons rectangulaires entre eux, pour plus de simplicité dans les expressions.

Soient R la résultante générale; X, Y, Z ses trois. composantes suivant •es axes des j;, 7, z\ soient a, |3, 7 les trois angles respectifs que sa direc- ^on forme avec eux.

On aura, par le parallélipipèdc des forces,

COSa ---. — -, cosf^ — ^1 COS7 = ^*

Or X, Y, Z sont lospectivemcnt égales aux somme» dej? forces décomposées parallèlement aux trois axes des .r, y , z. On Irouvora donc facile-

aaO MÂMOIEE. I

ment par ces équations la valeur et la direction de la résultante générale. 1 La première condition de l'équilibre, qui veut que cette résultante soit nulle, donnera ce qu'on nomme les trois équations de l'équilibre de tnay lotion, qui reviennent à ce que la somme des forces estimées suivant trois j axes quelconques soit nulle d'elle-même par rapport à chacun de ces axes. "^

Soient G le moment du couple résultant; L, M, N les moments re^>eGtifs des trois couples dans lesquels il se décompose perpendiculairement aux trois axes des x, 7, z; soient >, f*, v les trois angles que forme avec -] ces axes la perpendiculaire au plan de ce couple, et que nous avons mm* ^ mée Vaxe du couple.

On aura, par le parallélipipède des couples,

COSA= T^j COSfX=^î COSV=:-;.

Or on voit (n°* 102 et 103 de la Statique) que les couples L, M, N sont respectivement égaux aux sommes des moments pris dans raccepUott ordinaire par rapport aux trois axes a:, 7, z, c'est-à-dire aux sommes des produits qui résultent des forces projetées sur chacun des plans ceo^ jdonnés, multipliées par leurs distances à l'axe qui lui est perpendiculaire: on trouvera donc facilement / par les équations ci-dessus> la valeur e( k position du couple résultant.

La seconde condition générale de l'équilibre, qui veut que ce couple soit nul, donnera ce qu'on appelle les équations de l'équilibre de rotation, fâ consistent en ce que la somme des moments de toutes les forces, par rapport aux trois axes coordonnés, soit nulle d'elle-même relativement à diacun de ces axes.

Que ces sortes de produits, qu'on appelle moments, n'étaient au fond que la mesure de certaines forces cachées que les couples ont mises en évidence.

On voit ici, par l'identité des couples avec les moments tels qu'on les considère ordinairement en Statique , quel rôle jouent ces sortes de produits dans la composition générale des forces et dans les lois de leur éqoi* libre. A la vérité, dans Téquilibre d'un corps assujetti à tourner autour d'un axe fixe, les lois connues du levier nous montraient bien ces produits comme les efforts des puissances pour faire tourner le corps autour de cet axe, puisque l'on trouvait que la somme des moments des forces qui tendent à faire tourner dans un sens doit être égale à la somme des moments do celles qui tendent à faire tourner dans le sons contraire. Mais, lorsqu'il n'y avait aucun .point d'appui, et que le système était parfaite-

MÉKOTRe. 2a I

ment libre dans l'espace , les moments ne restaient plus dans les eondi- ^ns de l'équilibre que comme de simples expressions de calcul , et perdaient cette espèce de signification que leur donne la présence d'un axe fixe, et qui les avait fait nommer moments par les anciens géomètres. Or, pir la théorie des couples, ils reparaissent dans l'équilibre des corps libres, comme dans Téquilibre des corps gênés par des obstacles. Estimés par fipport à un point quelconque du corps, ils mesurent certains efforts partiniliers que Ton peut concevoir comme engendrés par les puissances qui m transportent parallèlement à elles-mêmes en ce point, et qui, tandis fie ces puissances s'y composent et s'y font équilibre à leur manière , doivent aussi se composer et se faire équilibre à la leur. Ce n'est pas qu'au

p fond les valeurs des moments et des couples ne soient parfaitement les mêmes. L'analyse n'a pour objet que de simples rapports, et les diverses grandeurs, sous ses formules, ne conservent plus aucune traces des pre- ■ières idées qu'on y avait jointes. Mais, en Géométrie comme en Algèbre, h plupart des idées différentes ne sont que des transformations; les plus ImËdneases et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux in^;0, et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et tes le calcul : or lés couples ont éminemment cet avantage sur les mo- ■Mli; et si l'on considère que la théorie des moments se présente d'elle* qlteadans la réduction générale des forces et dans les conditions de leur éqaÉ3>re; que, d'un autre côté, dans la Dynamique, la composition des moQvnnents de rotation est aussi nécessaire que celle des mouvements de translation pour l'analyse complète du mouvement d'un corps de grandeur • sensible, on verra que la composition des couples exposée ci-dessus, tant par la symétrie des théorèmes que par la simplicité des démonstrations, vient se ranger naturellement à côté de la composition des forces, et forme

\ ainsi la seconde partie essentielle des Éléments.

[ Équation de condition pour qiCun système de forces ait une résultante ' unique.

Nous avons vu tout à l'heure que si des forces quelconques sont réduc- [ tibles à une seule, la résultante générale sera parallèle au plan du couple r^ltant. Pour exprimer cette condition dans le calcul, il n'y a donc qa'à exprimer que l'axe du couple est perpendiculaire à la direction de la f^ltante, ou que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. Mais, d'après les dénominations précédentes, le cosinus de cet angle est

cosa.cos> + cosp.cosf*4-cos7.cosv;

expression qui , étant égalée à zéro, après y avoir substitué à la place des cosinus leurs valeurs, donne sur-le-champ l'équation

XL + YM-l-ZN = o,

222 MÉMOIHE.

qui établit la relation cherchée entre les forces et leurs moments estimé par rapport aux trois axes.

Équations de condition pour qu'il y ait une résultante unique qui • passe en un point donnée

Mais si l'on voulait exprimer que les forces sont réductibles à une seul qui passe en un point donné, on transporterait Torigine en ce point, € Ton exprimerait que le couple résultant y est nul. Ainsi , /z, ^, c étant le coordonnées de la nouvelle origine, il suffirait, dans les expressions L, M N, de mettre jc— û, 7 — ô z — c, à la place de x, /, z; ce qui donnerai les nouveaux moments L', M', N', et l'on aurait les trois équations

qui nous font voir que la somme des moments doit être nulle par rappor à trois axes qui se croisent au point donné.

Si le point n'est pas donné, et qu*on cherche, au contraire, s'il y a dan l'espace quelque point où les forces peuvent donner un couple nul, on aur les trois mêmes équations, mais où «, ^, c seront alors les inconnues. Or en les éliminant, on trouvera d'abord, entre les forces proposées, réqw tion de condition XL -f- YM + ZN = o , sans laquelle les trois première ne peuvent subsister, et qui nous redonne ainsi la condition d'une réwl tante unique, comme cela doit être.

Des couples ou moments rapportés à différents axes.

Le couple résultant G, décomposé perpendiculairement à un axo qu forme avec le sien un angle 0, étant égal à Gcosô, si l'on nomme V, f*'. v', les trois angles que cet axe forme avec ceux des coordonnées, comm< on a, par la Géométrie,

COS ô = COS >. CCS V + COS /x COS fi' -r cos V cos v',

on trouvera

G cosO = L cos^' 4- M cosf*' + N cos-/,

formule très-simple qu'Euler a donnée dans le tome VII des Nouveaux Actes de Pétersbourg, mais à laquelle il n'était parvenu que par de longs circuits d'analyse. Cette équation nous apprend que si Von connaît les sommes L , M , N , des moments par rapport à trois axes rectangulaires, on trouvera sur-le-clutmp la somme des moments par rapport à un axe quel'

eonqite, en muitipUant ces trois sommes respectives par les cosinus des M^s que les trois aœes font avec le nouvel axe donné. C'est ainsi qu'en Géométrie , })Our projeter une ligne sur un axe quet- L conque, on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires; projeter ensuite ces trois projections sur l'axe donné, et ajouter ensemble ces projections de projections.

Du moment maximum entre les moments rapportés aux différents axes qui 'passent par un même point.

PoÎBcpie la somme des moments, par rapport à un axe qui fait, avec eehii du couple résultant, un angle 0, est GcosÔ, il s'ensuit :

I* Que, de tous les axes qui passent par Poriginey Vaxe du couple réàAant est celui par rapport auquel la somme des moments est la plus pmde;

■ i* Que la somme des moments est la même par rapport à tous les axes fà fimi un même angle avec celui du plus grand moment, ou qui forment mf surface conique décrite autour de lui sous cet angle;

T Que la somme des moments est nulle par rapport à tous ceux qui JMofff iutgle droit y ou qui jormcnt un plan perpendiculaire à sa direc-

ifce et la valeur du moment maximum ne sont autre chose que l'axe it il valeur du couple résultant, et se déterminent par les mêmes équations. D'où Ton voit que le carré du moment maximum est égal h la «mme des carrés des moments par rapport à trois axes rectangidaires y ^ que son axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois %»M qui représenteraient sur ces axes les grandeurs respectives des trois ftfwients précédents.

Ce sont les résultats que Laplace avait déjà tirés de l'Analyse; ils for- «tiient de beaux théorèmes do Mécanique, et ils ne sont plus ici que des corollaires évidents de la composition des couples.

Mais voici de nouvelles conséquences, entièrement dues à nos principes, 6l qui achèvent toute la théorie des moments.

^a moment minimum entre Vinfinité des moments maxima relatifs à tous les points de Fespace,

Observons que tout ce que nous venons de dire est relatif à l'origine <lBe Ton a choisie pour y transporter toutes les forces. En prenant cette ^^ngiae ailleurs, la quantité, le sens de la résultante générale, ne changent JiQflt et sa direction demeure toujours parallèle à elle-même; mais le moquent maximum varie de grandeur, et son axe s'incline sur sa première position. Pour chacun des points de l'espace, considérés successivement

2l6 MÉMOIRE.

souvent usage), qu'une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction , trouve ici son analogue, qui consiste en ce qa*un couple peut être transporté partout ou fan voudra dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle^ et tourné comme on voudra dans ce plan^ sans que son effet en soit changé.

Ainsi , des couples situés arbitrairement dans le même plan , ou dans des plans parallèles, sont des couples de même direction; d'où Ton voit combien est illusoire Texpressioii que donne le calcul pour la résultante d'un couple, puisque, d'après cette propriété, il n'y aurait pas de lieu de Teâpace où l'on ne pût la supposer appliquée; ce qui n'a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est principalement utile dans la compc sition des couples, où elle permet de les rapprocher et de les disposer entre eux de la manière la plus favorable à la démonstration , et nous con^ duit par une voie très-simple aux théorèmes suivants :

1° Deux couples situés dune manière quelconque dans le même plan, ou dans deux plans parallèles, se composent en un seul égal à leur somme ou à leur différence, selon que ces deux couples sont de même sens ou de sens contraires.

a® Deux couples situés d^une manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux c6tés dun parallélogramme, et représentés en grandeur par ces côtés, se composent en un seul situé dans un plan pet' pendiculaire à la diagonale, et représentés en grandeur par cette eUagomûe»

D'où l'on peut conclure que : Trois couples perpendiculaires aux trois arêtes contiguës dun parallélipipède quelconque, et représentés, pour leurs moments, par les longueurs de ces arêtes, se composent en un seul, perpendiculaire à la diagonale, et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale.

Ces théorèmes , comme nous le verrons tout à l'heure , renferment la théorie des moments, considérée de la manière la plus générale, et la théorie des aires, qui ne sont autre chose, dans le mouvement des corps, que les moments des forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité que le parallélogramme des forces, et font descendre ainsi dans les Éléments les propositions les plus élevées de la Mécanique.

Qu'on me permette ici d'en rappeler en peu de mots l'usage dans la Statique, et , sans cesser de tendre vers l'objet de ce Mémoire , d'y arriver dans l'ordre naturel de nos idées.

MÂICOIRE. 217

Usage des Couples dans la Statique,

Une force étant appliquée en un point d'un corps ou système quelC/Onque solide, si Ton prend un autre point quelconque dans ce corps, ou au dehors, poarvu qu'on Fy suppose invariablement attaché , et qu'on applique à ce Booyeau point deux forces contraires égales et parallèles à la première, il est clair que Tétat du corps ne sera pas changé; mais on pourra considérer actuellement, au lieu de la simple force proposée, i® une force parfidtement égale, parallèle et de même sens, appliquée au nouveau point; t* un couple fonpé par les deux forces parallèles restantes. Si , pour plus de clarté, on transporte ce couple ailleurs, dans un plan quelconque parai- Itie'au sien, ce qui est permis, il ne restera au point dont il s'agit qu'une force parfaitement égale et parallèle à la force primitive, et qui ne serait «n quelque sorte que cette même force qu'on y aurait transportée parallèlement à elle-même.

On peut donc dire qu'une force peut être transportée parallèlement à tOe-inènie en un point quelconque,* pourvu que Ton considère le couple (|Bi*eDe engendre dans cette translation , et qui a pour mesure le produit de'M force par le chemin qu'elle a parcouru.

Gela posé > tant de forces que l'on voudra étant appliquées d'une manière quelconque à un corps, si on les transporte toutes parallèlement à eUeB-fldémes en un même point quelconque, elles viendront s'y composer en une seule que je nommerai la résultante, et tous les couples qu'elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul, que je nommerai le couple résultant.

Composition générale des forces.

Ainsi , des forces dirigées d^une manière (juelconque daQS V espace peuvent toujours se réduire à une seule, et à un couple unique, lesquels sont, en général, situés dans des plans différents. Sur quoi Ton peut observer que la direction , la quantité et le sens de la résultante seront toujours les mêmes en quelque lieu qu'on ait pris Vorigine, c'est-à-dire le point où l'on a transporté toutes les forces. En variant la position de ce point, la résultante ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en divers lieux de l'espace; mais la plan et la valeur du couple changeront nécessairement.

2i8 MÉMOIRE.

Lois (le l'équilibre.

Mais, quelle que soit la position de l'origine, un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme od voudra dans Fespace , il résulte de ce que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces, à moins que la résultante et Je couple résultant ne soient tous les deux nuls à la fois.

Ainsi y toutes les forces appliquées au corps, étant transportées paralèlement à elles-mêmes en un point quelconque , doivent s^y faire équHibn entre elles y et tous les couples qu'elles produisent en se transportant fli ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux.

Telles sont les propriétés générales de l'équilibre, c'est-à-dire les conditions qui existent nécessairement dans l'équilibre do tout système libre. Elles fournissent les six équations connues, entre les forces décompoeév suivant trois axes quelconques dans l'espace, et entre les couples décomposés suivant trois plans différents qu'on peut supposer conduits par os axes.

A quoi se réduisent les conditions* précédentes quand il y a uh point fixe dans le système»

Ces trois dernières équations suffisent , lorsqu'il y a un point fixe daos le système, en supposant qu'on ait pris ce point pour l'origine : car la résultante, se trouvant détruite par sa résistance, peut avoir telle valeur qu'on voudra, et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par là que 1^ pression exercée sur le point fixe est identiquement la même que si toutes les forces du système y étaient transportées parallèlement à leurs directions, car elles y sont actuellement transportées; et pour les couples qu'elles ont produits, comme ils doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dire quand bien môme le corps ne serait pas soutenu, il est évident qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe.

Propriété nouvelle de P équilibre, dun corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibre autour d'un système quelconque invariable de forme, on sait qu'elles peuvent toutes varier proportionnel' lement à leurs grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Mais on voit ici qu'elles peuvent encore s'approcher ou s'éloigner toutes d'un même point quelconque, proportionnellement à leurs disUmces à ce point, sans que cet équilibre soit trouble : car, si chaque force se meut ainsi parallèlement à clle-mômiî, dans li» plan formé par sa direction et le point dont il s'agit, elle augmente ou diminue lo couple qu'elle donne à son égard , dans lo

I iDéme rappoH que sa distance à ce point , et , par conséquent , tous les couples du système conservent leurs positions, et demeurent proportionneJEL Ainsi , la résultante et le couple résultant , étant une fois nuls , le motA toujours, et l'équilibre subsistera.

Condition nécessaire pour qu'un système quelconque de forces oit une résultante unique.

Les forces appliquées au système étant ramenées, comme nous venons de le voir, à une seule force et à un seul couple, si la force se trouve parallèle aa plan du couple, on pourra amener ce couple dans un même plan avec elle, et les réduire tous deux à une force unique : et réciproquement, coBmie on a démontré qu'une force et un couple ne peuvent se réduire à sue force unique sans être dans le même plan ou dans des plans paraK lèleB, ce qui est ici la même chose, il s'ensuit que des forces dirigées £une manière quelconque dans Cespace ne peuvent jamais se réduire à une seule, à moins que la résultante de toutes ces forces transportées poÊitUèlement à elles-mêmes en un point quelconque n'ait une direction pttnUéle au plan du couple résultant.

Ciêt par là qu'on peut voir comment trois forces dirigées dans des plans AShents peuvent se composer en une seule, sans qu'il y ait aucune rcnectàtb entre leurs directions , et comment une force peut se décomposer nSvant trois directions qui ne rencontrent pas la sienne et qui ne se rencontrent pas entre elles.

Expression analytique des propriétés précédentes.

Soient R la résultante générale; X, Y, Z ses trois. composantes suivant !^ axes des x, /, z; soient a, j3, 7 les trois angles respectifs que sa direction forme avec eux.

On aura, par le parallélipipède des forces,

cosa = ^, cosf^ — gî COS7 = 5*

Or X, Y, Z sont rospoctiv ornent égales aux sommes des forces décomposées parallèlement aux trois axes des .r, y, z. On trouvera donc facile-

226 MÉMOinE.

De Ptucc central des moments.

Cet axe remarquable, où la somme des moments est à la fois un maximum relativement aux axes qui se croisent au même point que lui , et un minimum relativement à ceux qui donnent les moments maxima aux divers points de Fespace, pourrait se nommer Taxe central des moments; et cette dénomination, déjà motivée en ce qu'il jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres, se trouve pleinement justifiée , si Ton observe qu'aux mêmes distances autour de lui , les moments maxima sonl les mêmes, et que leurs axes ont, à son égard, des dispositions semblables.

En effet, le même raisonnement qui nous a fait passer tout à l'heure du couple résultant G au couple minimum K, nous ramène, dans Tordre inverse, de celui-ci au premier, et par les mêmes équations,

Hjt> = Gsin®, et K=:Gcos<p.

Mais ici, de quelque côté qu'on transporte la résultante R, pourvu que ce soit à une même distance p de sa position actuelle ou de l'axe central, on trouvera toujours un couple résultant G de même valeur, et une même inclinaison «p entre son axe et la résultante; et, de plus, le plan de ces deux droites sera toujours perpendiculaire à la ligne /?, puisque , si tottl cela n'avait pas lieu comme ci-dessus, en ramenant la résultante dans l'àxe centrai, on ne retrouverait plus le même couple minimum K, ce qui ne peut pas être.

Les moments maxima sont donc constants, non-seulement pour toutes,les origines prises le long d'une parallèle à la résultante, comme nous râpions déjà remarqué, mais encore pour toutes les origines prises sur le cylindre que décrirait cette droite autour de Vaxe central qui lui est parallèle.

Pour les axes de ces moments, tant que Porigine ne sort pas d^une même génératrice de ce cylindre, ils demeurent parallèles entre eux et forment un plan ; mais si (^origine passe (Tune génératrice à Vautre par la cireofh férence cPun cercle, ils forment un hyperboloïdc de révolution autour de F axe central.

Les moments maxima G ne varient donc qu'avec les distances p de leurs origines à l'axe central, et les deux équations précédentes nous donnent

équation qui nous fait voir que ces moments croissent, pour les origines prises à différentes distances de Taxe central, comme les ordonnées d'une bf perbole dont ces distances seraient les abscisses : ainsi leurs valeurs augmentent sans bornes , et il n'y a pas de moment maximum maximo^ rum; ce qui était d'ailleurs assez évident de soi-même.

On a, de plus, tang()) = -—-^ ce qui donne les inclinaisons des axes des

ifioments maxima sur Taxe central , et nous montre que leurs tangentes vairient dans le rapport des distances de leurs origines à cet axe.

Remarqaonis encore que, dans le cas où la résultante générale est nulle, on a, par la première équation, G = K, quelle que soit la valeur de p.

Lors donc que Ws forces appliquées sont telles, qu'étant transportées en On même point elles se font équilibre entre elles, les moments maxima Mnt tes «Mêmes pour tous les lieux de l'espace , et leurs axes sont tous pandlëles.

Si les forces appliquées ont une résultante unique, comme on a pour cette condition cos<p = o, Téquation K = G cos^ donne K = o; c'est-à. dire que !e monkeni minimum maximorum est nul, comme il est clair que cela doit être, puisque rorigine tombe alors sur la direction môme de la âeule force à laquelle se réduisent toutes celles du système.

Classification de tous les axes rie Pespaee auxquels on voudrait rapporter les moments if un système de forces.

TeUe est donc la tkéorie générale exposée ci^deesus , que tous tes 9iXeg de Vwpaoe auxquels on peut rapporter les moments d'un système quel- «Oifiie de forces peuvent être distingués et classés entre eux de la manière auvanêe:

D'abord, si, pour simplifier les choses^ nous ne considérons que les axes .<|iii se -croiseraient aux divers points qu'on peut prendre sur un même pian perpeiuikiniaire k la directioB de la résultante, nous observons:

f ** Que, parmi tous les axes qui se croisent en un même point, il y en a un seol distingué de tous les autres, «n ce que La somme des moments y eat mi maxàmum.

Les autres se classent autour de lui en diverses surfaces coniques circulaires dont il serait l'axe commua. Pour tous ceux qui forment la même «urfaoe, les moments sont égaux, et ils varient d'un cône à l'autre en raison des cosinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits.

2° Parmi tous les axes qui* donnent les moments maxima relativement aux divers points du plan, il y -en a un seul distingué de tous les autres^ en ce qu'il donne le plus petit de ces maxima, ou le minimum maximorum des moments.

Les autres axes des maxima se classent autour de lui en diverses surfaces d'hyperboloïdes de révolution dont il serait Taxe commun^ Pour tous ceux qui forment la surface d'wn même hyperboloïde, les moments ^//^a://iî« ont la même valeur, et ils varient d'un hyperboloïde à l'autre, suivant les lois que nous avons données ci-dessus.

228 MJ^MOIUE.

Actuellement, tout ce que nous venons de dire relativement aux diverses origines prises dans un même plan perpendiculaire à la résultante subsiste de la même manière, et avec les mêmes valeurs, pour tous les lieux qu'occuperaient successivement tous ces points en transportant le plan parallèlement à lui-même. Les moments maxima restent les mêmes autour des rtièmes axes qui deviennent parallèles; et comme il n'y a, parmi eux, que l'axe du moment minimum maximorum qui soit perpendiculaire au plan mobile, on voit qu'il est le seul qui n'ait absolument qu'une même position dans l'espace ; que , de plus , tous les axes qui ont à son égard des positions semblables donnent les mêmes moments; et c'est ce qui nous a fait nommer cet axe unique, \axe central des moments.

Au reste, les résultats précédents, tirés des raisonnements les plus simples , pourraient aussi se déduire du calcul par la méthode ordinaire de maximis et minimis; et l'on trouve aisément, pour l'axe du moment minimum maximorum, les équations suivantes :

(N+ Y^-X/)Y-(M + X2~Za:) Z = o, (L 4- Zj - Yz) Z - (N 4- Y^ - Xj) X = o, (M-h Xz - Zo:) X - (L + Zr- Yz) Y = G,

où J?, j, z sont les coordonnées de cette droite par rapport à trois axes autour desquels les sommes respectives des moments sont L , M , N, tandis que X , Y, Z sont les sommes des forces décomposées parallèlement aux mêmes axes.

L'une quelconque de ces équations est une suite nécessaire des deux autres, et, par conséquent, elles ne représentent qu'une seule et même ligne droite, laquelle est manifestement parallèle à la direction de la résultante générale des forces.

On trouve encore, pour le lieu de tous les points relativement auxquels les moments maximn sont égaux et représentés par H, l'équation suivante :

(L-YzH-Zjr)^-h(M-Z^-i-Xz)* + (N-Xj4-Ya:)^ = H%

qui appartient à une surface cylindrique à base circulaire décrite autour de la première droite , ce qui est conforme à ce que nous avons vu précédemment.

Mais nous ne nous arrêterons pas à ces détails, et nous passerons surle-champ aux applications de la théorie des moments de la Dynamique.

MÉMOIRE. aap

AppUceUion de la théorie précédente à la Dynamique,

Soient tant de corps libres qu'on voudra qui se meuvent, sans aucuna dépendance mutuelle, avec des vitesses uniformes suivant des droites quelconques, dans Tespace.

Puisque chaque corps se meut uniformément en ligne droite, la force qui ranime demeure constante et de même direction.

I>onc la résultante générale de toutes les forces qui animent les corps du système, et leur moment résultant par rapport à un point fixe quelconque» demeurent constamment les mômes dans tout le cours du mou« vement.

Conservation^ des forces et conservation des moments.

Actuellement, si l'on suppose que tous ces corps, qui étaient libres^ viennent tout à coup à se lier ensemble d'une manière quelconque, et à réagir encore les uns sur les autres en vertu de nouvelles forces quel* conques, mais réciproques, c'est-à-dire telles, qu'entre deux corps l'action aoit toujours parfaitement égale et contraire à la réaction , ce qui comprend toutes les forces de la nature ; les mouvements individuels des difr /ërents corps seront changés, et les forces qui les animent varieront de grandeurs et de directions, et continueront de varier à chaque instant du mouvement. Mais ce qui est bien remarquable, et forme un des plus beaux principes de la Dynamique, c'est que la résultante générale de toutes ces forces, et leur moment résultant par rapport au point fixe, demeureront toujours les mêmes qu'auparavant, et seraient encore conservés si tous les corps redevenaient libres, et que chacun d'eux s'échappât en ligne droite avec la nouvelle vitesse dont il est actuellement animé.

Démonstration très-simple de ces deux lois générales.

Ce principe, qui se déduit des équations différentielles du mouvement, peut aussi se démontrer par un raisonnement si simple , que je ne crois pas devoir l'omettre ici.

Il est clair, en effet, que si chaque corps, à cause de sa liaison avec les autres, ne peut plus obéir pleinement à l'impulsion qu'il a reçue, sa force se décompose en deux autres, l'une qui est détruite, et Tautre qui subsiste actuellement. Tout se passe comme à la rencontre d'un obstacle invincible, excepté que la composante, qui serait anéantie par l'obstacle, va se reporter sur les autres corps qui la détruisent par leur action. La force de chaque corps étant ainsi remplacée par deux semblables composantes, la résultante de toutes ces nouvelles forces et leur moment résultant sont

toujours les mêmes qu'avant cette substitution. Mais les composantes, qui se font équilibre entre elles, donnent leur résultante et leur moment résultant nuls, comme nous l'avons vu dans les lois générales de l'équilibre : donc la première résultante et le premier moment résultant sont conservés, et n'ont souffert aucune altération par l'action mutuelle des différents corps du système. Quant aux autres forces qui pourraient exister entre ces corps, comme elles sont réciproques, c'est-à-dire deux à deux ^les et contraires, elles ne changent rien non plus aux valeurs précédentes, car leur résultante et leur moment résultant sont évidemment nuls d'euxmêmes.

On voit donc que, dans un système de corps qui ont reçu des impui' sions primitives y et qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres, la somme de toutes les forces qui les animent, estimées suivant une même droite, et la somme de leurs moments estimés autour (fun même axe fixe quelconque, demeurent constamment les mêmes, malgré les variations qu'éprouvent les mouvements individuels des corps, et soit que ces mouvements changent par des nuances insensibles, soit qtiil survienne entre eux des changements brusques par Faction réciproque des corps, ou par toute autre liaison nouvelle qu'on voudrait établir subitement entre ces corps.

Ces deux propriétés générales du mouvement correspondent, en quelque sorte, aux deux propriétés générales de l'équilibre ; les mêmes scomies qui doivent être nulles dan^ l'état d'équilibre demeurent constantes dans l'état de mouvement, et la conservation des forces et des moments, présentée de cette manière, subsiste également pour toutes les lois possibles entre la force et la vitesse du corps en mouvement.

j4 quoi répondent les lois précédentes dans la nature, — Conservation du mouvement du centre de gravité ; conservation des aires.

Dans la nature, la force d'un corps en mouvement se mesure par le produit de la masse et de la vitesse ; et le premier principe répond à la con- ^rvation du mouvement du centre de gravité , qui consiste en ce que ce centre se meut toujours uniformément en ligne droite, et de la même manière que si tous les corps du système y étaient réunis et que les forces qui les animent s'y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.

En effet, puisque la somme des forcer estimées suivant une même droite est constante, on peut dire que la somme des vitesses de toutes les molécules égales du système, et, par conséquent, leur moyenne vitesse pour s'éloigner d'un plan perpendiculaire à cette droite, est aussi une quantité constante. Or, à chaque instant, les vitesses des molécules sont mesurées par les petits accroissements, positifs ou négatifs, de leurs distances au plan que je considère : ainsi, la moyenne vitesse n'est autre chose que le

MÉMOIRE. a3i

moyen accroisœment ou raccroissement de la moyenne de toutes ces disjUttces, et, par conséquent, c'est la vitesse mémo du point qui est le centre de gravité de to^t le système. Donc la vitesse de ce point, estimée suivant une droite quelconque dans l'espace, est toujours la même ; et, comme elle représente la moyenne vitesse de toutes les molécules, elle s'exprime par la somme de toutes les vitesses, divisée par leur nombre, ou par la somme de toutes les forces divisée par la masse entière du système.

Si Ton {urend, pour cette droite à laquelle on rapporte les forces, la dilec^om même de la résultante générale, on voit que le centre de gravité se meut précisément dans cette direction ; car si l'on cherchait actuellement la vitesse de ce centre , pour s'éloigner d'un plan quelconque mené suivant cette droite, on trouverait cette vitesse nulle, puisque la somme dee forces, estimées dans un sens quelconque perpendiculaire à la résultante ^nérale, est toujours nulle.

Ainsi , le centre de gravité du système se meut uniformément, en ligne dnH$e, dans la direction même de la résultante générale, et sa vitesse €ft exprimée par cette résidtante divisée par la masse entière du sjs-

. 6Î cette résultante générale est nulle, et qu'ainsi toutes les forces appli* qoées soient réductibles à un couple, le centre de gravité du système reste donc en repos dans l'espace, quels que soient les mouvements particuliers dm différents corps qui le composent.

Si leOus ces corps sont liés entrç eux de manière à former un système invariable de figure, le système ne peut donc avoir qu'un mouvement de rotation autour du centre de gravité ; d'où Ton voit que l'effet d'un couple sur un corps ou système solide est de le faire tourner autour d'un point déterminé , qui ne dépend ni de la grandeur ni de la direction du couple appliqué, mais uniquement de la figure du corps, ou plutôt de la disposition mutuelle des différentes particules qui le composent. Ainsi, le centre de gravité des corps se présente d'une manière aussi naturelle dans la théorie du mouvement que dans celle de l'équilibre : et il ne faut pas, avec quelques géomètres, le regarder seulement comme un point qu'il est préférable de choisir, parce que certaines expressions analytiques qu'on y rapporte se simplifient, ou que certaines intégrales s'y évanouissent, mais bien comme un point dont la considération s'offre d'elle-même dans la naître, et vient, pour nous, de cette loi qui fait simplement la force proportionnelle à la vitesse. On doit dire la même chose de ces trois axes principaux de rotation, autour desquels un corps peut tourner librement, parce que les forces centrifuges s'y contre-balancent. C'est en vertu de cette même loi dont je viens de parler, qu'il y a de tels axes dans tous les corps, qu'il y en a trois, qu'ils passent au centre de gravité et qu'ils sont rectangulaires entre eux.

Mais je passe au second principe de la conservation des moment^. Ci

2^1 MÉMOIHE.

l'on prend un point fixe quelconque, et que, de ce point fixe ou foyer, on mène à tous les corps du système des rayons vecteurs, en projetant toutes ces droites sur un plan quelconque, on verra facilement que lef moment de chaque force, par rapport à un axe perpendiculaire au plan de projection, et passant par le foyer, est proportionnel au produit de la masse du corps par Taire que trace sur ce plan la projection de son rayon vecteur.

Ainsi, dans la loi de la nature, la conservation des moments revient à la conservation des aires, qui consiste en ce que la somme des produits des corps par les aires respectives que tracent les projections de leurs rayons 7>ecteurs sur un plan fixe quelconque mené par le foyer, est proportionnelle au temps, c^est-à-dirç est toujours la même, en temps égal, pendant tout le mouvement du système.

Si toutes les masses du système étaient égales entre elles, on n'aurait pas besoin de considérer leurs produits respectifs par les aires précédentes, mais simplement ces aires elles-mêmes; et le théorème reviendrait à ce que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs autour du foyer est toujours ^ale en temps donné. C'est ainsi qu'on peut toujours énoncer le principe des aires, mais en supposant que les masses du système soieot divisées en parties égales^ et qu'on ait tiré du foyer des rayons vecteurs à toutes ces parties.

Plan du maximum des aires.

Cela posé, puisque les aires tracées par les rayons vecteurs ne sont autre chose que les moments des forces , il s'ensuit qu'on peut appliquer à la composition des aires tout ce que nous avons dit de la composition des moments.

Et d'abord, on voit que, parmi tous les plans menés par le même foyer, et qui reçoivent de la part des rayons vecteurs des aires différentes, il y en a un seul qui reçoit la plus^grande; et si l'on nomme L, M, N les sommes respectives des aires tracées sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par le foyer, on aura pour la valeur G de l'aire, qui est un maxifnum.

Et, à l'égard du plan qui la reçoit, si l'on nomme >, p, v les trois angles respectifs qu'il forme avec les trois premiers, on aura, pour les cosinus de ces angles,

C0SA=T7j COStt=TTî COSv=~,

ce qui détermine sur-le^hamp la position de ce plan remarquable.

Lorsque l'on connaît l'aire maximum G, et le plan sur lequel elle tombe, on trouve facilement les aires que reçoivent les divers plans ntenés par le

foyer. Car, 9 étant l'angle que forme un plan quelconque avec celui du maximum des mea, on a pour Taire décrite sur ce nouveau plan, GcosO. D'où Ton voit que les aires sont égales sur tous les plans qui font le même angle avec celui du maximum, ou qui touchent un cône décrit sousle complément de cet angle autour de Taxe perpendiculaire à ce dernier plan; que, de plus, elles sont nulles quand Tangle G est droit, c'est-à-dire sur tous les plans perpendiculaires à celui du maximum.

Plan du minimum des aires maxima.

Acttiellement, parmi tous les plans qui donnent les aires maxima, relativement aux divers points de Tespace considérés comme foyers, il y en a un seul qui donne le minimum de ces maxima, ou Taire minimum maximorum.

Ce plan est perpendiculaire à la direction de la résultante générale, ou du mouvement commun qui emporte le système, Son axe, c'est-à-dire la perpendiculaire qui y serait élevée au foyer, se trouvera absolument de la mtoe manière que Taxe central des moments, et le foyer pourra être pris partout ou Ton voudra sur cette droite. Pour tous les foyers qui en sèment aux mêmes distances dans un plan perpendiculaire, les aires maxima aurait les mômes valeurs, et leurs plans seront perpendiculaires aux diverses génératrices d'un hyperboloïde de révolution décrit autour do cet axe central. D'ailleurs, ces aires maxima et les inclinaisons de leurs plans varieront, en vertu des distances précédentes, d'après les mêmes lois que nous avons données plus haut; et l'on trouvera sur les aires tous les théorèmes analogues à ceux qui ont été rapportés sur les moments.

Usage de ces plans; de ceux x^iûil faut choisir pour y rapporter les corps du système.

Cette constance des aires décrites sur des plans qui restent immobiles au foyer nous donne d'abord l'idée de les observer sur les plans auxquels nous rapportons les différents corps, afin qu'à toutes les époques du mouvement nous puissions retrouver la position de ces plans, et reconnaître les changements survenus dans le système. Mais, d'après ce que nous venons de dire, on voit qu'il y a un choix à faire entre ces plans coordonnés. Car si un plan qui reste immobile au foyer reçoit constamment la même aire de la part des rayons vecteurs, un plan qui recevrait constamment une même aire donnée ne serait pas pour cela immobile; il pourrait se mouvoir d'une manière quelconque tangentiellement à un cer-^ tain cône décrit autour du foyer. Donc, si l'on avait rapporté primitive^ ment tous les corps d'un système à un certain plan, et qu'on ne sût rien autre chose de ce plan, sinon qu'il recevait un aire donnée, on ne pour^

rait plus reconnaître actuiellement sa position dajQS l'espace, parce qu'il a pu changer, ou, plus e^^actement, parce qu'il y en a une inûnil^ d'^joitres qui jouissent de la même propriété que lui.

Mais si l'on savait que le plan cherché était, eptre tous ceux qui passent au même foyer, celui qui recevait l'aire la plus grande, on le retrouverait sur-le-champ, parce qu'il est unique, et jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres.

C'est donc ce plan qu'il faut choisir, de préférence à tous ceux qui passent en un même points pour y rapporter les différents oorps du système; et, sans connaître la grandeur de Taire qui y est décrite, on pourra retrouver sa position dans tous les temps, pourvu qu'on connaisse \^ point jBxe d'où partaient les rayons vecteurs, ou du moins quelque autre point fixe qui soit, avec le premier, dans la direction du mouvement général; car nous avons vu que, pour ce nouveau foyer, le plan de l'aire maximum serait parallèle au premier.

Si Ton ne connaissait point la position de ce foyer, quand bien même on saurait que l'aire maximum décrite sur le plan cherché avait une valeur donnée, on ne pourrait pas encore distinguer ce plan d'une infinité d'autres perpendiculaires aux génératrices d'un certain hyperboloïde de révolution, parce que chacun de ces plans jouirait de la même propriété de recevoir une aire égale ^ et maximum entre celle des plans qui se croiseraient avec lui au même point.

Mais si l'on ajoutait que l'aire maximum dont il s'agir était le minimum des aires maxima relatives aux divers foyers de l'espace, on retrouverait sur-le-champ la position du plan cherché, parce qu'il jouit non-seulement d'une propriété exclusive par rapport à ceux qui passeraient au même foyer, mais encore d'une autre propriété exclusive par rapport à tous ceux qui auraient la première commune avec lui.

C'est donc ce nouveau plan qu'il faut choisir de préférence à tous ceux de l'espace; et l'on en pourra retrouver la position à toutes les époques, sans connaître ni la grandeur de l'aire qui y est décrite, ni le point qu'on a pris pour centre des rayons vecteurs. Mais, pour le déterminer, il faudra toujours avoir quelque point fixe d'où l'on puisse partir actuellement^ et connaître en outre la grandeur et la direction de la résultante générale qui emporte le système dans l'espace.

Dans le cas des aires relatives, que Paire minimunt maximorum est la même que Paire maximum autour (Tun foyer quelconque.

Lorsqu'on ne connaît ^ucun point fixe auquel on puisse rapporter les rayons vecteurs , et qu'on partage les mouvements des corps efux-mèmes que Ton considère, on ne peut plus observer que des aires décrites autour de foyers mobiles dans la direction du mouvement général. Or ces aires

MÉMOIRE. a35

sont alois les mêmes que si le mouvement général était mil , ou que le centre de gravité du système fût en repos.

On a pu voir, en eflTet, par Téquation G' =p K*4-RV*, qu'un moment maximum .G, relatif à une certaine* origine, se compose du moroient minimum maximorum K , et du moment Vip de la rteultante générale par la distance de Taxe central à cette origine. De même Taire maximum, par rapport à un foyer fixe, est la résu)tai^(e 4e Taire minimum maximorum et de Taire qui est décrite par le rayon vecteur de la masse entière du système, considérée comme réuçjiç f)$)ns Taxe central, et animée, suivant cet axe, de la vitesse commune. Sj ^Qnc le foyer que Ton considère, au lieu d'être fixe dans Tespace, se meut avec la vitesse commune parallèlement à Taxe pentral, cette partie de3 aireis qui «ont décrites en vertu du mouvement général disparait d'elle-même; et les aires observées sont parfaitement les mêmes que si la ré^ul^nte générale était nulle, ou que le centre de gravité du système fût pu repos dans Tespace..

liais, quand la résultante générale est nulle, les aires maxima sont ^es pour tous les foyers de i'fi^pace, et leurs plans sont tous parallèles; donc alors le foyer de Taire minimum maximorum peut être pris partout 0|jDi Ton voudra.

Application au système du monde.

Ainsi, dans Je système du monde, comme on ne connaît aucun point fixe auquel on puisse rapporter les différents corps célestes, et qu'on ignore d'jailleurs d^ns quel $ens et avec quelle force ce système est entraîné dans l'espace, op ne peut déterminer ni le plan ni la valeur de Taire minimum maximoruffi g iBt Ton peut choisir simplement le [^an du maximi^m des aires, relativement à un point quelconque qui se meuve en ligne droite 9vec la vitesse commune du système. On peut donc prendre le foyer au centre de gravité, qui jouit de cette propriété dans tout le cours du mouvement; et c'est ce qu'a fait l'auteur de la Mécanique céleste , qui, le premier, a considéré ce plan dans notre système planétaire, et qui lui a donné le nom de plan invariable.

Au reste, ou peut encore prendre le foyer au centre de Tun quelconque des corps considéré comme fixe à chaque instant, c'est-à-dire comme actuellement privé de sa vitesse relative : ce point, n'ayant plus alors que la vitesse commune, sera dans le même cas que le centre de gravité. Ainsi, le plan de Taire maximum relative à ce point §erfi parallèle au premier, et recevra la même aire.

Si donc, pour considérer également tous les corps du système, pn prend successivement les aires élémentaires décrites autour de chaque corps par tous les autres, en multipliant ces diverses sommes par les masses re^^poctives des corps qui ont servi succe^vement de foyers, on trouvera,

en les ajoutant, tous les produits des masses prises deux à deux, multipliés par les aires qu'elles tracent dans le même temps, Tune autour de l'autre considérée comme immobile.

Le plan dont nous avons parlé jouil donc encore de cette propriété remarquable, que la somme des produits précédents y est un maximum, aussi bien que sur tous ceux qui lui sont parallèles ; et Ton voit que c^te somme n'est autre chose que Taire maximum relative au centre de gravité, multipliée par la masse entière du système. C'est ainsi que Laplace présente encore la théorie de ce plan invariable, en ramenant le principe des aires à des relations entre les distances mutuelles des différents corps du système.

Ce plan forme en quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Quels que soient les changements que la suite des siècleis amène entre les corps célestes, il demeurera toujours parallèle à lui-même; et, puisqu'on en peut retrouver la position dans tous les temps, comme on retrouve celle du centre de gravité, on aura toujours, en y rapportant tous les corps du système, le moyen de comparer d'une manière précise les observations de TAstronomie faites aux époques les plus éloignées.

Nous rappellerons encore ce corollaire remarquable de la théorie précédente, que, dans un système de molécules solides et fluides, animées primitivement par des forces quelconques et soumises à leur action mutuelle, s'il arrive qu'après un grand nombre d'oscillations ces molécules se fixent à un état permanent de rotation autour d'un axe invariable passant par leur commun centre de gravité (et Ton conjecture avec assez de vraisemblance que c'est le cas des corps célestes), alors leur équateur, ou le plan perpendiculaire à cet axe, sera parallèle à celui qui recevait, à l'origine du temps, le maximum des aires relativement au centre de gravité.

Mais nous n'étendrons pas plus loin ces dernières considérations, qui ont été assez approfondies par le géomètre que nous avons cité. Notre objet principal était de fonder une nouvelle théorie des moments et des aires, d'étendre et de simplifier à la fois toute cette partie de la Mécanique, et de faire passer ainsi dans les Éléments les plus beaux théorèmes qu'on y eût trouvés jusqu'ici.

Remarque nouvelle sur les aires.

Nous finirons par faire observer, sur la loi des aires, que les plans ne sont pas les seules surfaces sur lesquelles elles se conservent sans altération pendant le mouvement du système. La même propriété appartient aussi à toute surface conique circulaire dont le sommet est placé au foyer des rayons vecteurs; mais il faut projeter ces rayons sur le cône par des lignes parallèles à son axe.

Les aires décrites sur les surfaces de différents cônes de môme axe et de

même sommet seront réciproquement proportionnelles aux sinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits; d'où Ton voit que le cône qui recevra Taire la plus petite sera le cône décrit sous l'angle droit autour de l'axe commun , c'est-à-dire le plan perpendiculaire à cet axe.

Entre tous les cônes semblables de même sommet, mais d'axes différents, il y en aura un seul sur la surface duquel l'aire tracée par lés rayons vecteurs sera un maximum.

Parmi tous ceux qui donneraient de même les aires maxima relativement aux divers foyers do l'espace, il y en aura un seul qui donnera le minimum de ces aires maxima.

Pour les axes de ces cônes remarquables, ils ne sont autre chose que les axes des moments ou des aires qui jouissent des propriétés analogues, et ils se détermineront absolument de la même manière. Enfin l'on trouvera, en considérant les aires tracées sur des cônes quelconques semblables, tous les théorèmes que nous avons donnés par rapport aux aires qui sont tracées sur de simples plans.