THÉORIE

On a vu que, dans le mouvement de plusieurs corps qui réagissent d'uTie manière quelconque les uns sur les autres, mais dont le système est supposé parfaitement libre de toute action étrangère, si l'on projette sur un plan les aires que tracent, autour d'un point fixe ou foyer ^ les rayons vecteurs menés de ce foyer à toutes les molécules égales du système^ la somme de ces aires projetées demeure constante, c'est-à-dire est toujours la même en temps égal, malgré les variations qu'éprouve chacune d'elles par l'action réciproque des différents corps ; et c'est dans o«lte propriété générale du mouvement des systèmes que consiste le principe si connu de la Coïtservation des aires,

Les géomètres ne se sont pas élevés tout d'un coup à cette loi générale de la Dynamique. L'origine de ces idées remonte à Kepler, qui le premier imagina de considérer l'aire du secteur que décrit le rayon vecteur d'une

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planète dans son mouvement autour du soleil. Et si Ton cherche ce qui a pu lui donner cette idée, on trouvera, ce me semble, qu'il y parvint, non point par hasard, comme on pourrait le croire d'abord, mais par une certaine marche naturelle, que je veux indiquer en passant, parce qu'elle se retrouve dans toutes nos recherches, et qu'elle résulte, pour ainsi dire, de la nature même de l'esprit humain.

Et, en effet, nous ne connaissons en toute lumière qu'une seule loi: c'est celle de la constance et de l'uniformité. C'est à cette idée simple que nous cherchons à réduire toutes les autres, et c'est uniquement dans cette réduction que consiste pour nous la science. Ainsi, quand nous étudions les choses qui changent pour découvrir ce qu'on appelle la loi de leurs variations, notre unique objet est de trouver ce qu'il peut y avoir d'unifbrme et de constant au milieu de ces choses qui varient. Que si, avec le temps et par un nouvel examen , nous venons à reconnaître que des rapports qui noifs avaient paru constants sont eux-mêmes variables, il nous faut faire un nouveau pas. Mais notre marche est toujours la même; car alors ce n'est plus dans ces rapports, mais dans quelque autre formé de leur combinaison, que notre esprit va rechercher cette loi de constance qui avait, pour ainsi dire, échappé à ses premières conclusions. Tel est, je crois, le mouvement naturel de l'esprit humain, mouvement qu'on pourrait même remarquer dans la Géométrie et dans l'Analyse, mais dont l'Astronomie nous offre ici l'image la plus sensible.

Ainsi, les anciens astronomes, d'après les premières apparences des mouvements célestes, avaient cru naturellement que les planètes décrivaient dans leur cours des cercles parfaits, et qu'elles les décrivaient d'un mouvement uniforme : de sorte que la ligne menée du centre à la planète et sa vitesse angulaire étaient regardées comme constantes. Malgré quelques inégalités que l'observation avait rendues sensibles, cette première loi du mouvement des planètes subsista très-longtemps, parce qu'on faisait disparaître à très-peu près ces inégalités en essayant de mieux placer le centre de ce cercle parfait qu'on avait imaginé. Mais Kepler ayant reconnu par la comparaison attentive de nombreuses observations, que le mouvefbent d'une planète se fait, non dans un cercle, mais dans une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, de sorte que le rayon vecteur et l'angle qu'il décrit étaient tous deux variables ; et ne trouvant plus ainsi , ni dans ce rayon, ni dans cet angle, cette constance qu'on y avait d'abord supposée, imagina de la retrouver dans une quantité nouvelle composée de ces deuxlà ; et considérant dans cette vue la plus simple qu'on en puisse former, savoir, l'aire du secteur elliptique que trace le rayon vecteur de la planète autour du soleil, il trouva enfin que cette aire était constante, c'est-à-dire toujours la même en temps égal, ou, en d'autres termes encore, que l'aire décrite était proportionnelle au temps écoulé.

Cette loi de Kepler, qui n'était prouvée que par l'observation. Newton

la démontra ensuite comme un théorème mathématique qui doit avoir Heu dans le mouvement de tout corps attiré par une force quelconque vers un centre fixe; et, réciproquement, il fit voir que si cette description uniforme des aires est observée dans le mouvement d'un corps, elle est une preuve de l'attraction ou de la tendance de ce corps au centre des rayons vecteurs; ce qui conduit naturellement au principe de la pesanteur uni* verselle.

Enfin, vers le milieu du siècle dernielr, le chevalier d*Arcy, Daniel Ber^ nouUi et Euler découvrirent presque en même temps, et sous des formes différentes, un théorème plus général, mais qui n'est en quelque sorte que celui de Newton étendu à plusieurs corps qui seraient soumis à la fois à leurs actions réciproques et à des forces quelconques dirigées vers un même point fixe. Dans le mouvement du système autour de ce point comme foyer, l'aire que décrit chaque corps en particulier n'est plus constante, elle varie à chaque instant de grandeur et de position par l'action perturbatrice des autres corps. Mais en projetant toutes ces aires variables sur un même plan fixe, et les multipliant par les masses respectives des corps, on trouve que la somme de ces projections est constante, et se conserve sans altération, comme dans le cas d'un seul mobile.

On voit comment les géomètres, qui démontrent et qui généralisent, ont su s'élever rapidement au principe général des aires dans un système quelconque, et, par conséquent, dans le système du monde : mais observez, en passant, que si ce principe n'eût pas été ainsi démontré et découvert à l'avance, le temps seul, et par cette même marche de l'esprit que j'ai indi* quée plus haut, aurait encore pu nous y conduire. Car, à la longue, et par des observations plus précises , on aurait reconnu que l'aire décrite par chaque planète n'est pas rigoureusement uniforme; et considérant alors les différentes aires relatives aux différentes planètes , pour en faire, ce qui était naturel, la combinaison la plus simple, comme celle de la somme de leurs projections sur un seul et même plan, on aurait retrouvé dans l'ensemble de ces aires projetées cette constance rigoureuse qui n'était plus dans chacune d'elles.

Quoi qu'il en soit, le principe a lieu, comme on l'a dit, dans le mouvement d'un système de corps qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres; mais, pour la rigueur du théorème, il faut l'énoncer comme je l'ai fait au commencement, c'est-à-dire en considérant, non paç le produit de chaque masse par Taire que décrit le rayon vecteur mené au centre de ce corps , mais la somme des aires décrites par les rayons menés à toutes les molécules égales du système ; ce qui donne la vraie quantité, qui est rigoureusement constante dans tout le cours du mouve* menu

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Si les corps ne sont point attirés vers un point extérieur, et n'éproBTent que leur action ou attraction mutuelle, \e foyer des rayons vecteurs peut être pris partout où Ton voudra dans l'espace. Si, comme dans le systôme du monde, on fait abstraction du mouvement général qui emporte le système, pour ne considérer que les mouvements relatifs des corps, on doit placer naturellement le foyer dans leur commun centre de gravité, parce que ce point déterminé est en repos, et comme fixe, dans l'espace ndatif où s'exécutent les mouvements observés des différents corps.

maintenant, si Ton considère les divers plans de projections qu'on pourrait mener par le même foyer, et sur lesquels la somme des aires projetées aurait en général des valeurs différentes, il est aisé de voir que, parini ces plans, il y en a une infinité où cette âomme est nulle; que Ions ces plans de projection nulle se coupent «uivant une seule et mèm^ droite déterminée ; que tous les plans possibles qui passent par cette droite jouissent de la même propriété, et sont les seuls qui eh jouissent. Le plan perpendiculaire à cette droite est donc un plan distingué de tous les plans de Tespaee par cette propriété, que la somme des aires se trouve nulle sur tous les plans qui lui sont perpendiculaires. Quant aux plans qui lui sont également inclinés» la somme des aires y a une même valeur, et cette valeur eut proportionnelle au cosinus de Tinclinaison : d'où il résulte que, itir le plan unique et distinct dont il s'agit, cette somme est la plus grande poeeible, ou ce qu'on appelle un maximum. Or c'est ce plan du maximum des aires que Laplace a nommé le plan invariable.

La considération de ce plan remarquable s'était déjà présentée aux géomètres dans la recberche analytique du mouvement de quelques systèiriés; et elle avait même été employée dans le problème de la rotation d'un corps solide qui tourne librement autour de son centre de gravité. En cherchant à simplifier le calcul, on était arrivé naturellement à ce plan de projection, comme à l'un des trois plans coordonnés qu'on devait choisir de préférence, afin de rendre nulle la somme des aires sur les deux autres, et de faire ainsi disparaître deux int^rales ou constantes arbitraires^ Or il fuit (aire ici une remarque essentielle : «c'est que ce seul cas particulier de la détermination du plan invariable dans le mouvement d'un corps ou système solide en contient au fond toute la théorie; car, comme l'expresaîoif des aires décrites par les différents points d'un système ne dépend ni de la liaison, ni de l'attraction mutuelle de ces points, il est évident qne le inême calcul, ou la même transformation de coordonnées, qui détermine ce pUrn

dns un systène de points invariablement liés entre eux, le doniM» é^^ BèBt dans un systèoie de points liés entre eux d'une manière quelconque. Ainsi, Ton voit que la théorie du plan invariable se trouvait connue, parce qve, cette théorie étant indépendante de la nature du système, un senl «xemple qu'on en donne suffît pour la démontrer tout entière. Mais il est juste de dire que Laplace est le premier qui ait considéré et déterminé on plaa dans notre système planétaire, et qui lui ait donné un nom.

Ce grand géomètre a donc cherché la position que ce plan devait avoir, par rapport à l'écliptique, au commencement de l'année i75o, et même celle qu'il aura en 1960, d'après les variations calculées qu'auront subies à cette époque les excentricités, les inclinaisons et les nœuds des diiférMites orbites des corps célestes. £t, par les formules qu'il a données à ce sufet, ou la règle qu'il énonce au chapitre H du livre IV de son Ea:posUion du Système du Monde, il a trouvé que l'inclinaison du plan à l'écliptique était de I^7689 au commencement de 1760; et la longitude de son nœud ascendant, de 1 14*',3979 ; valeurs qu'il trouve devoir être à très peu près les mêmes en 1960, la longitude du nœud ayant seule varié de 45"^ C'est ce qu'on peut voir dans le chapitre XVII du livre IV de la Mécanique céieste.

Mais, ayant eu l'occasion d'examiner cette analyse, j'ai remarqué qu'elle ne pouvait être exacte que dans l'hypothèse où les planètes seraient regar<- ^dées comme autant de points massifs, dont chacun serait chargé de la masse entière de la planète et de ses satellites ; et qu'ainsi , pour déterminer le plan invariable du maximum des aires, Laplace n'avait considéré que les aires dues aux seuls mouvements de révolution des planètes autour du Soleil.