DEUXIÈME LEÇON. H

l'espace vert qui existe actuelletneat {fig. 25) est un parallélogramme, et l'on voit que ses côtés opposés sont égaux.

Mais il y a mieux. Ce jeu de tiroir nous tienne le secret de la mesure du parnUt>logramme. En elTet, la première iignre se traduit ainsi :

Rectangle vert =: Rectangle lotal moins 2 équprres.

Regardons la seconde figure. Elle nous montre que :

Parallélogramme vert = Rectangle total moins 2 équerres.

Le .parallélogramme vaut le reclangle. La mesure de celui-ci nous fera connaître la grandeur de celui-là. Et comme l'espace vert, dans les deux cas, a la même base et k même tiauteur, nous pouvons conclure :

La surface du parallélogramme égale le produit de sa base par sa hauteur.

n est bien entendu que la hauteur du parallélogramme est la distance prise d'équerre ou perpendiculaire entre ses deux bases parallèles.

Autre méthode. — Si l'on prend un reclangle et qu'on le coupo par un trait de ciseaux donné e

peut assembler les deux | morceaux en les interverti s sa c'est â-dire en portant à droite 1 celui qui se trouvait à gauche.

On a KirmÔ de la aorte un p,g. -e. — Équivalente par Iranepmilion.

parallélogramme dont la base et

la hauteur Égalent respectivement la base et la hauteur du rectangle. Sa surrace est aussi la même. Elle sera donc Touniie par le même produit- Cette démonstration, pour être mise en œuvre, n'exige que le matériel le plus simple ; une feuille de papier. (Voir les Premières notions de takymétrie.)

Éqnarrl droll. — C'est le volume compris entre deux bases parallélogrammes , et quatre faces

rectangulaires.

Dans un moule de cette forme, il est Impossible d'embotler l'unité de volume cubique. Mais ce moule se prête facilement à l'artillce du jeu t!e tiroir. î ■- d i

Voici une caisse verte {/fy. 28) par- '**

faitement équarrie. Je la remplis en partie en plaçant une pile

TAKÏMETRIE.

d'équcrres roses dans l'angle de gauche, une seconde pile d'équerres dans le coin opposa, h droite.

Kig. Î8, — Piles d'équerres BépMées.

La partie restée vide est le moule d'un équarri droit à base parallélogramme ; et l'on voit que :

Vol. Equarri droit ^ Vol. Caisse moins 2 piles d'équerres.

Chassons maintenant à droite la pile de gauche [fig. 29), Le vide, (dors, devient un équarri parfait, et l'on voit encore qne :

Vol. équarri^a/-/(ïi(^ Vol. Caisse moins 2 piles d'équerres.

Donc, équivalence entre le vide vert à base parallélogramme et le vide vert à base rectangle. Sachant mesurer celui-ci, je sais mesurer celui-là. D'ailleurs, la base parallélogramme verte, vaut la base rectangle de la mSme couleur. La hauteur est celle de la caisse. En conséquence, le volume de l'iquaiTi droit égiile aussi la surface de la base multipliée par sa hauteur.

Autre méthode- — Si l'on

Fig. M.- Équivalue p.rtr.L.po«tLoa. P™"^ "" *^"'""" P'^'"'^"' ""«

]ietite pièce de bois convenablement taillée, par exemple, on peut donner un trait de scie dans le sens <le

UKUSlÈMIi LEÇON, IJ

la hauteur et en biais. La pièce e^t divisée de cette manière en deux morceoux. En les intervertissant, on formera un éqiiarri rîroit à base parallélogramme.

L'équani parfait et l'équarri droit qui en provisDt ont même hauteur et même surface de base. Ils ont aussi même volume. Le volume de l'équarri droit aéra Jonc fourni par le même produit (base X hauteur) que le volume de l'équarri parfait. {Voir les Premières notions.)

Eqoarri penché on oblique. — C'est le volume limité entre 6 parallélogrammes. Sa hauteur est la distance prise d'équerro entre les deux bases.

i> équLv,l™li.

Je mets sur la même table, côte à cûte, deux jeux de cartes, ou mieux, deux piles de cahiers les uns repts, les autres roses, mais de même grandeur. Je laisse glisser la main, en appuyant légèrement, sur ie flanc de l'une d'elles. La pile, naturellement, vient à pencher.

Elle a changé d'aspect, mais un coup d'œil me montre que trois choses sont demeurées les mêmes dans les deux piles :

i" Le volume, égal au volume total des cahiers ou des caries.

2° La hauteur, égale à l'épaisseur totale des cahiers ou des cartes.

3° Les deux bases parallèles.

Donc, équivalence entre l'équarri droit et l'équarri oblique, du moment qu'ils auront même hauteur et même base. La mesure de celui-là donnera la mesure de celui-ci ; la surface de la base multipliée par la kauleui-.

- Deux équarris, à quelque espèce qu'ils appartiennent, ne peuvent avoir même hauteur et même surface de base, sans avoir même volume.

• RÉSUMÉ

Un rectangle est une Ûgure de 4 eûtes ou ud quadrilatère dont les angles sont droits. Les c<^tés opposés sont égaux. Une diagonale le partage en

14 TAKYMÉTRIE.

2 équerres identiques. Il naît de 2 fils à plomb coupés par deux lignes de niveau. La surface d'un rectangle s'obtient en multipliant sa base par sa hauteur.

Le carré est un rectangle dont les 4 côtés sont égaux.

L'équarri parfait est. le volume compris sous 6 faces rectangulaires. Il naît de 4 fils à plomb coupés par 2 plans de niveau. Ses faces opposées sont égales. Son volume s'obtient en multipliant la surface de sa iDase par sa hauteur.

Le cube est un équarri parfait dont les 6 faces sont des carrés.

Le parallélogramme est une figure de 4 côtés ou un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Sa surface égale le produit de sa base par sa hauteur.

L'équarri droit est le volume compris entre 2 bases parallélogrammes et 4 faces rectangulaires.

L'équarri penché est le volume compris sous 6 parallélogrammes. U équivaut à l'équarri droit de même base et de même hauteur.

Le volume d'un équarri quelconque s'obtient en multipliant la surface de sa base par sa hauteur.

Sommaire. - Le triangle. — Somme des angles du triangle. — Précieuse propriété de réquerre. — Mesure du triangle. — Polygones et prismes.

Triangle. — Un triangle est une figure fermée par trois côtés. Sa hauteur est la ligne droite abaissée du sommet, d'équerre ou perpendiculairement sur la base.

Cette liauteur le partage en deux équerres, en général différentes Tune de l'autre.

Fig. 33. — Triangle. Sa hauteur.

Fig. 34. — Somme des angles de l'équerpe.

Propriété remarquaMe du triangle. — Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut deux angles droits.

Prenons d'abord un triangle connu et simple, Téquerre. Voici une équerre rose et une équerre verte identiques. Rapprochées, elles forment un rectangle qui a pour angles justement la somme de leurs angles. Alors (fig, 34)

Angles de 2 équerres valent 4 angles droits.

Donc :

Angles d'une équerre valent 2 angles droits.

On voit de plus que, comme un angle droit existe déjà dans l'équerre, les deux angles aigus valent ensemble un angle droit.

it) TAKYMÉTRIE.

Maintenant nous pouvons considérer un triangle quelconque. Sa

hauteur le partage en 2 équerres. L'angle de droite appartient à Téquerre rose; l'angle de gauche à Téquerre verte; l'angle du haut est formé partie par Tune, partie par l'autre.

Les angles du triangle valent à eux trois autant que les angles aigus des 2 équerres, à eux quatre, c'est-à-dire 2 angles droits.

Fig. 35. — Somme des angles du triangle.

Mesure du triangle. — Procédons par la môme voie, allant du simple au composé.

D'abord, envisageons l'équerre. Répétons qu'elle est la moitié d'un rectangle. Les deux côtés de l'angle droit de l'équerre, qu'on peut appeler sa base et sa hauteur^ sont, l'un la base, l'autre la hauteur du rectangle.

Donc, l'équerre a pour surface la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Passons au triangle de forme quelconque. Sa hauteur le partage en deux équerres {fig. 35). Ajoutons leurs surfaces :

Surf. éq. rose = base rosex i/2 hauteur.

Surf. éq. verte =base verte X 1/2 hauteur.

Surf, rose + surf, verte = (base rose + base verte) X 1/2 hauteur.

Ce qui donne la base entière du triangle multipliée par sa demihauteur, ou la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Ainsi, pour transformer un triangle en un

rectangle, il suffit, en quelque sorte, de l'aplatir à demi-hauteur sur

Fig. 36. — Triangle égalisé sur sa base. i,„„^ r»»„«* ^« ,.„>^„

^ ^ * sa base. G est ce quon

peut aisément réaliser. Une feuille de papier étant découpée en triangle; détachons, à mi-hauteur, le petit triangle rose; coupons-le en 2 équerres. En plaçant l'une à droite et l'autre à gauche, on forme un rectangle. Ce rectangle conserve la base du triangle et sa hauteur devient moitié.

Précieuse propriété de l'équerre. — Dans toute équerre ou

TftOlSlÈMB LEÇON. H

triangle rectangle, le carré fait sur le grand côté équivaut à la somme des carrés faits sur les deux autres (1).

La figure nous montre deux carrés roses égaux. Dans celui de gauche, le rose a disparu en partie, masqué par 4 équerres vertes identiques que l'on a emboîtées aux 4 angles. Le vide rose a ses 4 côtés égaux, car 6e sont les longs côtés des équerres. D'ailleurs, là Oà deux KIr, 37. — Lb csno Lb <omme des circis

équerres se font suite, il y a " *''" "^' " *"" '"'"'"

2 angles verts Valant 1 angle droit, de sorte qu'il reste un angle rose droit. Donc, que représente le vide rose? un carré ; le carré fait sur le long côté de l'équerre.

Passons h. la figure de droite. Là, les équerres ont été mises par couples dans deux angles opposés. L'espace rose non recouvert se compose de deux carrés ; celui du petit côté et celui du moyen côté de l'équerre.

Le vide, de part et d'autre, vaut le grand carré moins les 4 équerres. Donc

Vide rose de gauche ^ vide rose de droite c'est-à-dire :

Carré du long côté =; carré du moyen -{- carré du petit.

des plus utiles que l'on puisse apprendre dans

Cette vérité est Y\ les ateliers.

Applications, — La diagonale racine carrée de 2 (ou par 1,414).

1 carré égale le côté multiplié par la

2 équerres dont les angles

En effet, la diagonale d'un carré le divisi aigus sont de 45°. L'une d'elles donne :

(1) Pjtbagore, philosophe grec, qui dans un icUir de génie, découvrit cette vérité, la trouva si beUe, qu'il courut, dil-oe, reoieicier les dieui par un sacrifice de cent bœufs faits de farine et de miel.

18 TAKÏMÉTBIE.

Carré de AC = carré de AD + carré de DC = {carré de AD) x 2 Alors AG = AD X V^.

Celte règle est souvent utile, ainsi que la suivante.

Si un triangle a ses trois c6tés éifaux (on l'appelle, dans ca cas, triangle équilatéral), sa hauteur égale l'un des cAtés multiplié par la moitié de la racine carrée de 3, ou 0,S66.

En elTet, la hauteur partage le triangle en deux équerres (Ûg. 39). L'équerre rose donne :

Carré de BD = carré de AB — carré de AD.

Comme AD = ~ on a AD* = -r-