BD' = AB
Polygone. — Un polygone (1) est une portion de plan limitée par des lignes droites.
On peut toujours partager un polygone en triangles par des diagonales (2).
Nous savons calculer la surface de
chaque triangle à l'aide de sa base et
de sa hauteur. En additionnant ces sur-
Fig. 40. - PoiïgQnedécompoBé ^"-^^ partielles, on obtiendra celle du
en triangles. polygOUe.
Prisme. — Le prisme est le volume compris entre deux bases parallèles et des faces parallélogrammes.
Comme l'équarri, le prisme peut être droit ou oblique.
Il est droit si les arêtes tombent d'aplomb sur les bases. Les faces sont alors des rectangles.
Équivalence de» prismes. — Supposez deux jeux de caites ou deux tas de planchettes découpées en polygones identiques. L'on fait pencher l'un des tas. L'autre est laissé droit. Ne peut-on pas répéter mot pour mot ce qui a été dit à propos des deux équarris de la
(1) De foliu, plusienrg, et gmia, anglcB.
(aj De (Kfl, en travera, et jonia, angles.
TnOISlEUE LEÇON. 19
ligure 32? N'aperçoit-on pas, ici encore, les deux tas conserver le même volume, avec la même hauteur et la même base?
Concluons donc qu'il y a équivalence entre deux prismes de même base et de même hauteur.
Antre genre d*équivalence. — Voici
maintenant des règles carrées en bois, chez le papetier. Qu'elles soient en paquet épais ou en paquet plat; du moment que les règles sont pareilles et en même nombre , les paquets représentent une égale quantité de bois.
Je place deux paquets sur une table, les règles debout.
L'un porte 3 règles sur 4; l'autre 2 sur 6. Tous deux affectent la forme de prismes
t -t r \. . yîff- 4^- <— Deux paquelB de rcïlea équivaleota.
droits. Leurs bases sont, non
plus égales (on ne saurait les superposer), mais simplement équivalentes. Cela suffit, les hauteurs étant égales, à produire l'équivalence des volumes.
Mieux encore, imaginons un' prisme droit composé d'une multitude de règles, plus fines que des aiguilles à ti-icoter. Ce faisceau d'aiguilles peut i évidemment s'ajuster dans des moules de formes bien différentes ; pourvu que la hauteur de ces moules soit celle des aiguilles, et que la surface du fond contienne exactement les Fig. la. — neus p«qaais d'iiguLUes bases de toutes les aiguilles. En d'au- ***"'
très termes, tous ces moules auront des bases équivalentes, hauteurs égales et, par là, même volume.
Tolume <l*nn prisme* — Qu'eu nous propose alors d'évaluer le volume d'un prisme quelconque. S'il est oblique, en le considérant .
20 TAKYMÉTRIE.
comme un entassement de tranches, nous le ramenons au prisme droit de même base et de môme hauteur. Puis, considérant celui-ci comme une réunion d'aiguilles, nous trouvons qu'il équivaut à Téquarri de même hauteur et de base équivalente.
Or, nous savons mesurer Téquarri. La règle est donc unique : multiplier la surface de la base par la hauteur.
Surface. — La surface d'un prisme se compose de toutes ses faces et de ses deux bases.
L'ensemble des faces constitue la surface latérale du prisme.
RÉSUMÉ
Un triangle est une portion de plan limitée par trois lignes droites.
Les deux angles aigus d'une équerre valent ensemble un angle droit.
La somme des trois angles d*un triangle vaut deux angles droits.
On obtient la surface d'un triangle en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur.
Un polygone est une portion de plan limitée par des lignes droites. Un polygone peut être décomposé en triangles par des diagonales.
Un prisme est le volume renfermé entre deux bases égales et parallèles, réunies par des faces parallélogrammes.
Si le prisme est droit, les faces sont des rectangles.
Un prisme oblique équivaut au prisme droit de même base et de même hauteur. Celui-ci, à son tour, équivaut à l'équarri de base équivalente et de môme hauteur.
On obtient le volume d'un prisme en multipliant la surface de sa base par sa hauteur.
La surface latérale d'un prisme est la somme de ses faces. En ajoutant les bases, on obtient la surface totale.
SoMUÂiRE. — La circonférence et le cercle. — Mesure des arcs et mesure des angles. — Polygones réguliers. — Tour du cercle. — Volume et surface latérale du cylindre.
Circonférence. Cercle. — Toute ligne qui n'est pas droite, avons-nous dit, est une ligne courbe.
Parmi les lignes courbes, il en est une remarquable par sa parfaite régularité. C'est celle qui forme le contour d'une roue, d'une pièce de monnaie, d'un cadran d'horloge, etc. On l'appelle circonférence.
Fig. 44. — Compas.
Fig. 4.*). — Circonférence tracée au compas.
Diamètre, arc, corde et flèche.
On la décrit à l'aide d'un compas dont on fait tourner l'une des pointes, armée d'un crayon, autour de l'autre pointe maintenue au centre. On voit que tous leis points de la circonférence sont à égale distance du centre. Cette distance se nomme le rayon. Deux rayons en ligne droite font un diamètre (1).
(1) De dia, à travers, et mètre, mesure. Comme si Ton disait : mesure en travers, ou largeur du cercle.
22 TAKYMÉTRIE.
Le ce^^cle est la surface bornée par la circonférence.
Pour tracer une circonférence à main levée, on place l'ongle du
doigt indicateur au centre de la circonférence en tenant ce doigt bien vertical, le crayon est maintenu immobile entre ce doigt et le pouce. On fait ensuite tourner la feuille de papier autour du centre et la pointe du crayon trace la circonférence.
Une portion quelconque de la circonférence reçoit le nom d'arc. La ligne droite Fig. 46. -^Circonférence tracée joignant Ics extrémités d'uu arc s'appelle la
corde; comme s'il s'agissait d'un arc à lancer des flèches. Le mot flèche^ lui-même, désigne la distance entre le milieu de l'arc et le milieu de sa corde.
Mesure des arcs. — On peut chercher à évaluer la grandeur d'un arc de deux manières :
1® Par sa longueur en mètres, centimètres et millipaèlres;
2° Par comparaison avec la circonférence dont il offre une partie plus ou moins considérable.
Pour faciliter cette comparaison, on suppose la circonférence divisée en 360 parties égales, appelées degrés. Chaque degré se subdivise en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes; de sorte que la circonférence contient 360 degrés, 21 600 minutes et 1296000 secondes.
Dès lors, quand on nous parlera d'un arc de 30 degrés (qu'on écrit
30°), par exemple, nous saurons qu'il vaut--— ou -— de circonfé- ' '^ ^ 360 12
rence. Un arc de 30 degrés 20 minutes 40 secondes (on écrit 20° 20' 40' )
vaudrait 30 X 60 x 60 plus 20 X 60 plus 40 ou en tout i09 240",
c'est-à-dire les . ^^ ^^^ delà circonférence.
Mesure «les angles. — Pour mesurer un angle on prend son sommet comme centre et l'on décrit entre ses côtés un arc. Le nombre de degrés et minutes de cet arc répond au plus ou moins d'écartement des côtés de l'angle.
Gela se conçoit. Si une horloge et une montre marquent la môme heure; les aiguilles occupent une situation pareille sur les deux cadrans. Sur le grand comme sur le petit, à mesure que le temps s'écoule et que l'angle des aiguilles devient deux fois, trois fois plus grand, la portion du cadran qui sépare leurs pointes devient aussi
QUATRIÈME LEpOK. 23
deux fois, trois fois plus grande. De sorte que, d'une part, il est très naturel d'adopter la grandeur de l'arc comme mesure de la grandeur de l'angle; e!, d'autre part, il est indifférent que l'arc soit décrit avec telle ou telle ouverture de compas.
Dans la pratique, on mesure les angles,sur le papier, justement avec
une sorte de 1/2 cadran divisé en degrés et qu'on appelle rapporteur. Un angle droit a 90 degrés.
Polygones régullera. — Divisons une circonférence en parties égales. En joignant les points de division successifs, nous obtenons un polygone dont tous les côtés sont égaux ainsi que les angles. C'est un polygone régulier.
On voit qu'un polygone de c« genre se compose de triangles identiques régulièrement disposés autour du centre. Fig. 4».- Polygone
Grâce à cette régularité, la mesure se simplifie, '*^" ""'
puisqu'il suffit de multiplier la surface de l'un des triangles par le nombre des triangles.
On peut s'y prendred'autre façon.
Si je disjoins, en effet, les 8 triangles du polygone ci-contre, et que je les place à la file les uns des autres A A A sur une ligne droite, / \ / \ / \ /
je forme une figure L.....\l . V- il... \L
à dents de scie qui __^
occupe une longueur F"" ~ " ■ ^
égale au pourtour Fig. bii. - Ég^iu^uoo en ^o roban.
du polygone. Elle
semble à première vue plus compliquée. Mais je sais égaliser toutes
ces dents de scie en les aplatissant à mi-hauteur sur leur base; et
alors la figure à dents roses est convertie en un ruban vert équivalent.
TAKYMÉTRIE.
Surface du ruban = longueur X hauteur Donc : Surf, du polyg. = pourtour X 1/2 hauteur d'un triangle.
Le pourtour d'un polygone est son périmètre. La hauteur, égale pour tous, des triangles rayonnants, se nomme son apothème. On dira donc : la surface d'un polygone régulier s'obtient en multipliant le périmètre par la moitié de l'apothème.
Tour du cercle. — Le tour du cercle, ou la circonférence, vaut à très peu près 6 rayons, plus le vingtième de 6 rayons : Ou, ce qui est
dire la même chose, 3 diamètres plus /r^r de 3 diamètres.
Ce nombre est approximatif; mais comme il n'entraîne qu'une erreur moindre que 3 pour mille, il est d'une exactitude suffisante pour la pratique des arts et métiers.
Comment a-t-on pu le calculer? Par une série de travaux d'approche qui ressemblent singulièrement à ceux auxquels on se livre pour se rendre maître d'une place assiégée.
Imaginons que l'on divise une circonférence en 6 parties égales, puis en J2, puis en 24, puis en 48, puis en 96, etc., en doublant toujours. A mesure que le nombre des côtés, dans les polygones obtenus, devient plus considérable, les angles s'effacent, le contour s'arrondit, et les polygones serrent de plus en plus près la circonférence. Si bien qu'à un moment donné, on pourra les prendre l'un pour l'autre sans commettre d'autre erreur que celles dont il est impossible de s'affranchir dans les mesures prises avec le plus de soin.
Il ne s'agira que d'évaluer le contour de ce polygone pratiquement circulaire.
1^ Polygone à e pans. — On l'appelle aussi hexagone régulier. Son côté est égal au rayon.
\oici un cercle traversé par trois flls à plomb passant par le centre et par les milieux de deux rayons formant un diamètre de niveau.
Le demi-cercle de gauche étant identique au demi-cercle de droite, les 2 fils à plomb ont même hauteur et la ligne AB est de niveau. Cette ligne, par suite, vaut deux demi-rayons ou 1 rayon.
Le côté AC égale aussi le rayon, car, à droite et à gauche du fil à
Fig. 51. — Polygone à 6 pans égaux.
plomb voisin, il y a place pour deux équerres identiques. (Elles ont les mêmes côtés d'angle droit.)
Pour la même raison, le côté BD égale encore le rayon. D'ailleurs, au-dessous du diamètre de niveau, la figure se répète. Ainsi, les 6 rayons répondent bien à la division de la circonférence en 6 parties égales.
1t^ Polygones régulierii d'approclie. — On peut maintenant calculer le périmètre du polygone à 42 pans, à 24 pans, à 48 pans, etc.
Ceci est une application de la précieuse propriété de Téquerre : le carré du long côté égale la somme des carrés des deux autres.
En effet, si je divise en deux parties égales l'un des sixièmes de la circonférence, AB est l'un des côtés du polygone régulier à 12 pans. L'équerre verte AOC me donne :
Carré de OC = carré de OA moins carré de AC.
Comme OA est le rayon et AC la moitié du rayon, je puis calculer OC.
Alors, dans l'équerre blanche, je connais BC (différence entre le rayon et OC). Je connaissais déjà AC.
En additionnant les carrés de AC et de BC, j'obtiendrai le carré de AB et par suite AB ou le côté du polygone à 12 pans.
Connaissant le côté du polygone à 12 pans, je parviendrai, à l'aide d'une pareille succession de calculs, à évaluer le côté du polygone à 24 pans, puis à 48 pans, etc.
En suivant cette marche, on trouve :
Périmètre à 6 pans = 6 rayons = R x 6
Fig. 52. — Polygonefr-d'approche.
12 pans
— 24 pans =
— 48 pans =
— 96 pans = Encore 2 fois doublé ou 384 pans =
C'est le tour du cercle ou à très peu près.
En prenant Rx6, plus i/20 du résultat, l'erreur est inférieure
26 TAKYMÉTRIE.
à 3 pour mille (l). Si Ton veut une grande précision, on prend R multiplié par 6,2832 ; ou, ce qui revient au même, le diamètre multiplié par 3,1416.
Ce nombre, qui exprime combien de fois la longueur de la circonférence contient celle du diamètre, on a conservé Thabitude de le désigner par la lettre grecque -jt , qu'on prononce Pi, 11 ne peut être calculé exactement (2) .
Sarmce du cercle. — Nous n'avons qu'à reprendre le procédé qui nous a servi à trouver la surface d'un polygone régulier.
Fig. 53. — Cerclo décomposé. Fig. 54. — Egalisation en un ruban.
Au lieu des 8 triangles de la figure 49 ; nous en aurons un très grand nombre qui, placés côte à côte, formeront une scie à dents très aiguës. Le tour du cercle a fourni la longueur de la scie.
Il ne restera plus qu'à aplatir toutes les dents à la moitié de leur hauteur, pour les égaliser en un ruban équivalent au cercle.
Surface ruban = longueur X hauteur Surface cercle = circonférence X i/2 rayon.
On peut remarquer que, comme la circonférence ^ 2 R x^.
Surface cercle = 2 R x :t X- = 15:213 xic = ic R*
En adoptant pour x la valeur 3 + 3/20 si commode pour les calculs usuels, l'on dira :
La surface du cercle vaut à très peu près 3 fois le carré du rayon plus le vingtième du résultat,
11 est utile de savoir calculer la surface d'un cercle le plus rapide-
(1) Cette addition du vingtième a été appelée très heureusement, par M. Lagout^ le 80M T^ar franc.
(2) En prenant le diamètre multiplié par -• ou 3 + -» on a un peu plus d'exactitude
qu'en multipliant par 3 H .Ce dernier nombre substitue — à - ou — . La différence
n'a aucune importance dans la plupart des applications.
ment possible, suivant le cas, soit à l'aide du diamètre, soît que Ton connaisse la circonférence (comme lorsqu'on a mesuré le tour d'un arbre).
Voici deux expressions fort simples et qui ne comportent, Tune et l'autre qu'une erreur de 1/2 pour 100 environ.
La surface d'un cercle équivaut au carré fait sur les 8/9 du diamètre,
La surface d'un cercle vaut 8 fois le carré fait sur le dixième du tour (1).
Exactitude obtenue. — Comparons ces diverses règles, et, pour plus de simplicité, supposons qu'il s'agisse d'un cercle de 1 mètre de rayon. Le carré du rayon égale l™»!.
La formule classique donne S = 1 X 3,1416 = 3"*i,1416.
1° La formule du sou par franc donne :
S = Zm + ÔQ <ie 3«»«î = 3»"^, 15.
Différence : 0™^,0084 ou moins de pour 100.
2<> La formule des -- du diamètre donne :
Diamètre = 2"* ; les - égalent 1"*,777 ; carré de 1"»,777 = 3™q,16.
Différence avec la formule classique : moins de 1 pour 100.
3° La formule du carré fait sur le dixième du tour donne :
Tour= C"*,28 ; le dixième = 0,628 ; 0,028 X 0,628 = 0°^S3944 ; 8 fois ce carré = 3'û'ï,1552.
"Valeur qui diffère de moins de 1/2 pour 100 de celle que procure la formule classique.
iteeteur. — C'est la portion de cercle comprise entre deux rayons, comme lorsqu'on découpe des parts dans un gâteau de forme ronde.
La surface d'un secteur égale la longueur de l'arc multipliée par la moitié du rayon.
Reportons-nous en effet à la figure (33). Il est clair que, si l'on prend un arc égal au tiers ou au
.,,. f, 1 -uja» t Fig.55. — Secteur de cercle.
quart de la circonférence, le nombre des triangles
de décomposition est le tiers ou le quart du nombre total. La
(1) Quand on désire, dans ce cas, une grande précision, on peut multiplier le c^rr^ de la demi-circonférence par le nombre 0,31831, qui représente >.
Ti
figure à dents de scie Tormée à l'aide de ces triangles, égalisée en un ruban, donnerait donc bien :
Longueur du ruban ^ longueur de l'arc.
Hauteur du ruban =; 1/2 rayon.
On a recours aussi à un procédé qui permet de ne pas calculer la longueur de l'arc, lequel, habituellement, est donné en degrés.
Soit un secteur de 25" 40' dans un cercle de S^jSO de rayon.
23" 40' =r 1540'. Le secteur aura pour surface les ^ ou les —rj-j^ du cercle entier.
Crllndro. ~- Si la base d'un prisme régulier s'arrondit et devient
un cercle, le prisme devient un cylindre.
Le raisonnement présenté page 19 {fig. 43) prouve qu'un cylindre,
aussi bien qu'un prisme, équivaut à l'équarri auquel on donnerait une
base équivalente et la môme bautenr. Il en résulte que le volume
d'un cylindre s'obtiendra en multipliant la surface du cercle de base
par la hauteur.
Enroulons maintenant une feuille de papier autour d'un cylindre et coupons-en les bords de manière à les faire se rejoindre exactement. Le cylindre se trouve ainsi entouré d'un man-
! chon collant. Déroulons ensuite
ce mancbon qui reprend la
! forme rectangulaire.
Il nous offre, développée, la
Fjg. E6. — Cvlindre déroulé. , ,, . , ,. ,
surface extérieure du cybndre, dont nous venons de prendre mesure sur le cylindre rnSme.
La largeur de la fenille reproduisant alors le tour du cylindre, la hauteur de la feuille étant celle du cylindre, on voit que la surface latérale de celui-ci s'obtiendra en multipliant le tour du cercle de base par la hauteur.
En ajoutant les deux bases, on obtiendrait la surface totale du cylindre.
11 est à peine utile de faire observer que, dans les corps creux, tels qn'un gobelet ou un seau, la surface totale se compose de k surface lat^ale, plus une seule base, celle du fond.
RÉSUMÉ
Une circonférence est une ligne courbe dont tous les points sont, à égale distance d'un point intérieur appelé centre. Cette distance constante s'appelle le rayon. Deux rayons en ligne droite forment un diamètre.
Le cercle est la surface bornée par la circonférence.
Une portion de circonférence s'appelle un arc. La corde d'un arc est la ligne qui en joint les extrémités. La flèche est la distance du milieu de la corde au milieu de l'arc.
On peut donner la longueur métrique d'un arc. On peut aussi le comparer à la circonférence entière, qu'on suppose divisée en 360 parties égales appelées degrés. Un degré se subdivise en 60 minutes; une minute en 60 secondes.
Pour mesurer un angle, on mesure en degrés l'arc décrit entre ses côtés en prenant son sommet pour centre.
En divisant une circonférence en parties égales et en joignant les points de division, on obtient un polygone régulier, c'est-à-dire dont tous les côtés sont égaux, ainsi que tous les angles.
La surface d'un polygone régulier égale son périmètre ou son contour, multiplié par la moitié de son apothème.
Le côté d'un polygone régulier à 6 pans est égal au rayon.
Le tour du cercle est égal environ à 6 rayons plus le vingtième de 6 rayons ; ou plus exactement, à R X 6,2832, ou à Diamètre X 3,1416. Le rapport ne peut être obtenu rigoureusement.
La surface d'un cercle s'obtient, : ou par la formule Surf. = icR* ; ou en prenant trois fois le carré du rayon plus le vingtième'du résultat , ou en prenant le carré des 8/9 du diamètre, ou en prenant 8 fois le carré fait sur le dixième du tour.
On appelle cylindre un prisme dont la base est un cercle.
Le volume d'un cylindre s'obtient en multipliant la surface de la base par la hauteur. Formule : Vol. = irR* X H.
La surface latérale d'un cylindre s'obtient en multipliant le tour du cercle de base, par la hauteur. Formule : S. lat. = 2'jrR X H.
SoHHAiBE. — La pyramide. — Éqnivalence des pyramides. — Décomposition d'un prisme triangulaire. — Volume et surface de la pyramMe.
Pyramide. — Le mot pyramide tire son origine d'un mot grec {puros), lequel signifie : flamme. 11 désigne, en effet, des corps terminés en pointé, comme les langues qui s'élancent d'un feu clair.
Pour nous, une pyramide est le volume renfermé entre une base quelconque et des faces triangulaires se réunissant en un point. Ce point s'appellera, naturellement, le sommet de la pyramide.
Équivalence des pyramides. — Dans une précédente leçon, nous avons fait pencberune pile de lames minces découpées en polygones. Rien ne nous empêche de composer d'une manière analogue une pyramide. Les lames minces devront , pour cela, décroître régn- ^. „ .^ ., 1 . , . lièrementde la base
Fig. 57. — PyramideB équivalenlci.
au sommet.
Forçons alors l'un des flancs de la pyramide à changer d'inclinaison. La pyramide perd sa physionomie, mais elle conserve, et sa base, et sa hauteur, et son volume.
Ainsi, deux pyramides de même base et de même hauteur sont équivalentes.
Volume do la pyraniide. — ■ Une pyramide est le tiers duprisme de même base et de même kaulevr.
On le voit directement, si la pyramide a pour base un triangle.
OUATRIËUË LKÇOH. 31
Pourquoi? Parce que, dans un prisme triangulaire, on trouve trois
pyramides possédant des
volumes égaux.
Je prends un prisme
triangulaire; je le scie en
biais de manière à déla-
cUer la pyramide vose.
Qu'est- il resté du prisme? Le volume dessiné à
part : pyramide à 4 pans
dont le sommet se trouve
à gauche et la hase h Fig. sa. - t™» pyr-mide, d.,.. «n pri^c
droite. Cette pyramide a 4 pans, j'en fais deux pyramides triangulaires par un second trait de scie, suivant la diagonale de la base. Les deux pyramides triangulaires ayant même hauteur, et pour bases les deux moitiés de la face dans l'ombre, sont équivalentes.
Mais la pyramide rose de la figure de droite peut être regardée comme ayant la pointe en bas et la base en haut. Elle offre, si on l'envisage ainsi, les dimensions de celle que j'ai séparée la première, sauf qu'elle est sens dessus-dessous.
Voilà donc nos trois pyramides. Sont-elles équivalentes? Oui; car les deux roses le sont certainement, et l'une d'elles équivaut à la verte,
Le prisme ayant pour mesure sa base multipliée par sa hauteur, la pyramide rose aura pour mesure sa base multipliée par le tiers de sa hauteur.
S'agit-il maintenant d'une pyramide quelconque? Débitons-la en pyi'amides triangulaires. Toutes ont la même hauteur. Dans l'addition de leurs volumes, par conséquent, le tiers de celte hauteur va multiplier toutes les bases triangulaires.
Cela revient à multiplier la hase de la pyramide totale par le tiere de sa hauteur.
Autre métliode. — Le solide décomposé en 9 pièces servant à l'étude du volume du tas de caLlIou:^ (voir
la le£On suivante], coutienl un cube divisé en 3 py- Fig. 99. — Pyrimide romides itientii)iie3. On peut dès à présent avoir décomposée,
recours à ce cube pour trouver la règle de mesure de la pyramide.
Un cube est en etTet décomposable en 3 pyramides dont l'égalité s'aperfoit d'emblée. Il suffit, pour les découvrir, de mener les diagonales parlant d'un
TAKÏMËTRIE.
e gauclie, par exemple. De ces 4 <lia-
itiguës ; la 4' passe i l'intërieur
du cube. Les 3 pyramides oui
respectivement pour bases:
La l^ce inférieure ou base du
La face de droite; La race postérieure.
Toutes les trois ont pour liouteur l'arête du cube. En les disjoignant pour les placer ctile à cAte, on se rend compte de leur égalité.
Chacune est lo tiers du cube et vaut L'une des tranches représentées à gauche, c'est-à-dire unêquarri ayant même base et une hauteur 3 fois moindre.
L'équivalence des pyramides de bases égales et de même hauteur montre (|ue la règle subsiste lors même qu'une pyramide ne serait pas extraite d'un cube.
Rentarqne. — Si une pyramide était en sable, ou en argile, oii en toute autre matière friable on molle, on Végaliserait en l'aplatissant jusqu'à la réduire au tiers de sa hauteur.
Prramitle régnllôre. — Une pyramide est ré^iëre lorsque sa base est un polygone régulier et qu'en même temps la bauteiu* de la pyramide tombe au centre delà base.
Pour connaître la surface d'une pyramide informe, on serait obligé de calculer séparément les surfaces de tous les triangles qui l'enveloppent. Mais, pour une pyramide régulière, le calcul se simplifie. Comme toutes les faces sont Fig. 61.- PyramiiiB égalcs, il Suffira de multiplier l'une d'elles par régulière. jçyp nombre.
cône. — Si la base d'une pyramide s'arrondît et devient un cercle, la pyramide devient un cône, comparable à un pain de sucre ou à un cornet de papier ' coupé bien circulairement autour de l'ouverture.
La règle qui permet de trouver le volume
d'une pyramide est vraie pour une pyramide
à 1000 pans aussi bien que pour une pyra-
mide à 3 ou à 4 pans. Cette i-ègle est donc
Fig. «i. — Cftna déroulé. vPaie pOUf Un CÔUB.
Le volume dn cône est donc égal à la surface de sa base, multipliée par le tiers de sa hauteur.
Voulons-nous maintenant connaître la mesure de sa surface laté- • raie? Enroulons en cornet une feuiUe de papier autour du cône, et ne permettons pas aux bords de se recouvrir mutuellement comme dans un cornet ordinaire, mais coupons-les de façon que ces deux bords se rejoignent exactement le long du cône depuis la pointe jusqu'à la base.
Déroulons alors cette enveloppe. Comme le sommet du cône est également distant de tous les points du pourtour de la base, la pointe du cornet, une fois ouvert, va se trouver également distante de tous les points du pourtour développé. 11 représente un secteur dont l'arc a été produit par la circonférence de base du cône.
Quant au rayon du secteur, il est formé parle côté ou apothème du cône. Or :
Surf, secteur = arc X ■^^''^Y^'^
Donc : Surf, cône = circonf. de base X ^ apothème.
C'est là la surface latérale. En y ajoutant le cercle de base, ou aura la surface totale.
Angle du développement. — Pour découper ea secteur une feuille de papier ou de métal dont l'enroulement produira un cône (comme lorsqu'on veut faire un entonnoir ou un abat-jour), il est nécessaire de connaître l'angle compris entre les deux rayons du secteur.
Nous savons que :
Arc du secteur = circonférence de base du cône.
L'angle sera connu si l'on sait ce que vaut l'arc du secteur par rapport à la circonférence dont il fait partie, et qui a pour rayon le côté ou apothème du cône.
Circonférence entière du secteur = 2it x Ap.
Arc du secteur = 2ir X R.
La longueur totale 2it X Ap. correspondrait à 360 degrés.
360** Une longueur de 1™ de cette circonférence aurait -r —
^T , n T^ 360O X 2it R
Une longueur 2^ x R — — — ; :
iit X Ap.
Cette longueur est justement celle de l'arc du secteur et répond à l'angle cherché. Donc, enfin, en simplifiant la fraction, l'on aura :
