IV. — Vitesse du so.i dans les gaz parfaits
Considérons un cylindre indéfini dont la section soit|[égale à l'unité de surface, et supposons qu'un piston placé à l'orifice du cylindre so déplace d'une quantité infiniment petite * pendant un temps infiniment petit 0. Si l'on désigne par V ta vitesse du son, pendant le déplacement élémentaire du piston le son s'est propagé à une distance de l'orifice égale à VO, et comme la section est supposée égale à l'unité, le volume gazeux V6 = r a diminué de s = — do. Si l'on appelle A la masse de l'unité de volume du gaz, l'accroissement de pression dp qui résulte du déplacement élémentaire du piston met en mouvement la masse gazeuse eA = — àrfc et lui communique au bout du temps infiniment petit 8 la vitesse V. D'après un théorème connu de mécanique,
Hydrogène.
Oxygène. . .
Azote
Air.
j i ,35 Olkmest oi Desuksies,
) 1,37 Gat-LomAc cl Wbltbr.
j 1 ,4196 Mas&om (')■
j 1,3^6 Masson.
(') Annales de Chimie et de Physique, 3 e série, l. LUI, p.
{*) Annales de Chimie et dr Physique, 3' série, t. LXV], p. ïo(i.
(27I dp= — a— dv.
Cette relation est générale et s'applique à tous les fluides, gaz ou liquides.
Dans le cas d'un gaz parfait, la valeur de dp s'obtient en différentiant fa relalion (a5),
(a5«) dp = -m£<b.
En égalant ces deux valeurs de dp, on obtient, pour la vitesse du son dans un gaz parfait,
La démonstration précédente s'applique ù la propagation du son dans une masse indéfinie de gaz.
Imaginons en effet une sphère de rayon r,'qui éprouve des alternatives de contraction et de dilatation qui constituent le mouvement vibratoire; prenons sur la sphère un élément superficiel w et considérons le phénomène qui se passe a l'intérieur du cône qui a pour sommet le centre de la sphère et pour base l'élément «, par suite d'un déplacement infiniment petit t de l'élément m.
L'accroissement de pression dp met en mouvement la masse gazeuse «si et lui communique, au bout du temps S, la vitesse V :
d/i -- uiA -jj •
D'autre part, d'après la loi de détente élémentaire du gaz(i5 a),
Le volume w est ici la différence des volumes de deux cônes semblables ayant pour sommet commun le centre de la sphère et pour rayons r et r ■+- VG ; le volume du petit cône est ^ ru, le volume du second ~ ra :
" = 5 p[('-*-ve )'-,•*],
Si l'on développe le calcul, en négligeant les puissances de 0 supérieures à la première,
dp — mp — i
et en égalant celte valeur de à la première, on retrouve la formule précédente ;
M. Duhamel a démontré le premier, en 183g, par une voit! différente, que le mouvement se propage dans un tube avec la môme vitesse que dans un fluide indéfini (').
Incidemment, on peut évaluer facilement la résistance que le fluide mis en mouvement oppose à la surface vibrante. On a, en effet (26),
rf/> = Ax V X
Or g est la vitesse du piston qui se déplace à l'orifice du cylindre; en la représentant par «,
dp = «VA.
(') Journal de Mathématiques parti et appliquées, l. XIV.
La base intérieure du piston dirigée vers le fluide en mouvement supporte la pression p -f- dp ; si la pression extérieure demeure égale à p, dp est l'excès de pression qui mesure la résistance opposée par le fluide au mouvement du piston. Si l'on suppose le piston placé au milieu du cylindre, de telle sorte que l'air soit condensé d'un côté et raréfié de l'autre, les pressions sont respectivement p 4- dp et p — dp sur les deux bases : leur résultante idp est alors la mesure de la résistance du fluide.
Ainsi, la résistance du fluide est proportionnelle à la vitesse du corps qui vibre, à la vitesse de propagation du son et à la densité du Quide.
M. Bourget a mis en évidence, dans un travail récent (' ), l'influence de la résistance de l'air sur le mouvement vibratoire des membranes, et il a montré que l'expérience s'accorde d'une manière très-satisfaisante avec la théorie, lorsqu'on introduit dans l'équation du mouvement des membranes élastiques un terme qui représente une résistance de l'air proportionnelle à la vitesse.
La relation ( 28 ] est la formule de Newton après la correction dcLaplace; elle permet de déterminer le rapport des chaleurs spécifiques d'un gaz parfait,
Si l'on appelle n le poids de 1 mètre cube du gaz, y l'accélération due à la pesanteur,
( 1 ) Influence de la résistance de l'air dans le mouvement vibratoire, des corps sonores (Comptes rendus des séances de l'Académie tics Sciences, I. LXXII. ]>. Mi,.}.
Les expériences de H. Regnault donnent pour vitesse de propagation du son dans l'air atmosphérique à zéro V = 33o m ,6 (' ) ; d'ailleurs, o = i k ,ag32; g = 9 m ,8o88; p = io333 kilogrammes sous la pression normale. La valeur de /«, déduite des expériences de M. Regnault sur la vitesse de propagation du son dans l'air, est
Les expériences de Mol! et Van Beek conduisent à la valeur m= 1,4078, et celles de Dulong à ia valeur
V. — DÉTERMINATION DE L'ÉQUIVALENT MÉCANIQUE DE LA CHALEUR DÉDUITE PAR M. J.-R. MaTEH DES PROPRIÉTÉS DES C.AZ.
La relation (20) permet de déterminer l'équivalent mécanique de la chaleur lorsque l'on connaît les deux chaleurs spécifiques d'un gaz et le poids de l'unité de volume de ce gaz ; c'est la méthode signalée par M. J.-R. Mayer dès 1842.
A la température de la glace fondante, cette relation devient.
D'ailleurs - =m;c= -:
Pour l'air atmosphérique, » représente en mètres cubes lu vo-
(') Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XXX VU, p. 555.
lume de i kilogramme d'air; d'après les expériences de M. Hegnault, i>= - sous la pression normale p = io333 kilo-
grammes, a = 0,00367.
Le calcul effectué primitivement par M. Mayer, en prenant pour chaleur spécifique de l'air le nombre donné par les expériences de Delaroche et Borard, conduit au nombre 365 pour l'équivalent mécanique de la chaleur. Mais, depuis cette époque, les expériences précises de M. Regnault ont donné pour la chaleur spécifique de l'air, entre — 3c; degrés et -+- 10 degrés T C = 0,23771; ' e tableau suivant renferme les différentes valeurs de E calculées au moyen de ces données et des valeurs précédemment indiquées pour m :
(Massom)
(DulosgJ
(M. Cahn)
(Moll et Vàh Beek)
(M. Reghault)
Les expériences de M. Regnault donnent pour la chaleur spécifique de l'air, entre zéro et 200 degrés, C = 0,33751 ; il est aisé de voir que cette nouvelle valeur do C introduite dans la formule précédente fournit des nombres qui ne diffèrent des précédents que par le chiffre des dixièmes.
Le môme calcul, répété pour les gaz simples permanents et l'oxyde de carbone, conduit à des nombres qui diffèrent également peu du nombre 4^5, que l'on a adopté, d'après les expériences de M. Joule, comme la valeur la plus probable de l'équivalent mécanique de la chaleur. D'après les expériences de M. Regnault sur la vitesse du son, cette valeur serait un peu Irop faible.
