DES MACHINES A FEU

Une machine £t feu puise, en général, au foyer une quantité (le chaleur Q, transporto au réfrigérant une quantité de chaleur Q', et produit un travail équivalent à la quantité de chaleur Q — Q'. Appelons, avec Verdet ('), coefficient économique de la machine le rapport qui existe entre la quantité do chaleur équivalente au travail effectue - et la quantité de chaleur puisée au foyer ou le

rapport — ^

Lorsque la machine fonctionne suivant un cycle de Carnot, lo coefficient économique est donné par la relation (3i),

Q-ty , z

Lorsque la machine fonctionne suivant un cycle fermé réversible, elle peut être remplacée (p. 47) par une infinité de machines élémentaires fonctionnant suivant des cycles de Carnot et dont les coefficients économiques, variables, sont tous do la forme précédente. Le coefficient économique de la machine se trouve alors compris entre la plus grande et la plus petite valeur des coefficients économiques de ces diverses machines élémentaires,

(') Exposé de la théorie mécanique de lu chaleur (Société Chimique, Leçons professées eri 1863, p. (il).

de sorte que le coefficient économique de la machine est inférieur à ceïui d'une autre machine fonctionnant suivant un cycle de Carnot, entre les limites de température T et T' qui correspondent à la plus grande valeur du coefficient économique de ces diverses machines élémentaires.

Lorsque la machine fonctionne suivant un cycle fermé non réversible, analogue aux cycles précédents (p. 49), le coefficient économique est encore moindre que dans le cas d'une machine fonctionnant suivant un cycle de Carnot. Si l'on suppose, en effet, que le foyer fournisse de la chaleur a la température constante T et que le réfrigérant soit à la température constante T', d'après l'inégalité (35),

Le cycle de Carnot jouit donc de cette propriété remarquable : Lu coefficient économique d'une machine h feu est maximum lorsque la machine fonctionne suivant un cycle rie Carnot.

Il ne peut donc exister de meilleur mode d'utiliser une quantité de chaleur Q fournie par ie foyer d'une machine à feu que celui qui consiste à. faire fonctionner la machine suivant un cycle de Carnot. La quantité de chaleur équivalente au travail effectué est alors (3i)

elle dépend essentiellement des limites de température T et T'. Il v a avantage à élever autant que possible la température du

foyer et ù abaisser celle du réfrigérant ; mais comme on ne peut descendre nu zéro absolu, 0 — 0' est toujours inférieur à 0- fie .sorte qu'une fraction seule de l;i chaleur dépensée peut être utilisée à la production du travail. Cette fraction dépend uniquement des limites de température, et ne dépend en aucune façon do la nature de l'agent intermédiaire, de sorte que s'il était possible de réaliser des machines fonctionnant suivant des cycles de Carnot, il n'y aurait aucun avantage à substifuer un agent à un autre, un gaz à un autre gaz, ii une vapeur, ou réciproquement.

Il n'existe pas de cycle plus avantageux que le cycle de Carnol ,, au point de vue de l'utilisation de la chaleur, mais le cycle de Carnot n'est pas le seul cycle qui puisse fournir le coeflicienl économique maximum.

Cette condition se trouve en effet réalisée dans un cycle fermé réversible AA'B'B \fig- fj), limité, d'une part, par deux lignes

isothermiques AA', BB', et, d'autre part, par deux lignes AB, A'B', telles que la quantité de chaleur cédro par le corps aux corps en\ironnants, dans une transformation A'B', soit égale à la quantité de chaleur cédée au corps par les corps environnants dans la transforma lion BA. Dans ce. cas, d'après la relation générale donnée par M. Clausius (34], si l'on désigne par 0 h»

quantiti'' do chaleur abandonnée par le foyer dans la transformation AA' à la température T, par Q' la quantité de chaleur cédée au réfrigérant dans la transformation B'B à la température T', et si l'on remarque que la portion de l'intégrale

est nulle pour les deux transformations A'B' et BA, on aura, de mémo que dans le cycle de Camot,

Si l'on prend arbitrairement une ligne de transformation AB, l'autre ligne A'B' est déterminée par cette condition que les deux transformations BA, B'A' absorbent la même quantité de chaleur.

Sans se préoccuper de la solution générale de cette question, il est aisé d'en obtenir une solution particulière dans le cas d'un gaz parfait avec la restriction suivante. Imaginons des lignes isothermiques infiniment voisines, telles que MN, M'N' qui correspondent aux deux températures ( et / + <U et interceptent sur les deux lignes AB. A'B' des éléments MM', NN'; il est clair que si les quantités de chaleur absorbées par les deux transformations élémentaires correspondantes MM', NN' sont égales pour toutes les lignes isothermiques infiniment voisines, la condition générale indiquée tout à l'heure sera remplie dans ce cas particulier.

Désignons par i», p les coordonnées du point M, par <• -+- dv le volume correspondant au point M', par c la chaleur spécifique, sous volume constant, supposée invariablo, du gaz parfait : la quantité de chaleur <-/Q absorbée dans la transformation élémen-

taire MM' est, d'après les relations (i) et (19), rfQ = kpdv + crlt.

De môme, en désignant par v' et <■' ■+- dv" les volumes qui correspondent aux points N et N', par p' la pression au point N, la quantité de chaleur absorbée par le corps dans la transformation NN' est

r/Q= kp'dv' + cdt.

En égalant ces deux valeurs de tlQ,

pdf = p'dv'.

D'ailleurs, le gaz suit la loi de Mariotte; à la température constante f,

Divisons membre à membre ces deux dernières relations : th

ou bien

v' -+- dv' n'

- — -■ - - - const.

e -+- dv v Désignons cette constante par 7,

et, par suite, d'après la loi de Mariotte pv = /»V,

Si l'on se donne arbitrairement la ligne de transformation BA par son équation F [p, e ) = o, l'équation de la ligne B'A' sera F p,7t^J = o. Le problème comporte donc une infinité de solutions, môme avec la restriction précédente.

En particulier, si la ligne BA est parallèle à l'axe des pressions,

elle a pour équation v — const. L'équation do B'A' est ~" — const.

ou v ~ const.; la courbe B'A' est dans ce cas une droite parallèle à AB.

De même si la ligne BA es! parallèle à l'axe des volumes, elle

a pour équation p = const. L'équation de B'A' est ^ /) = const.

on p = const.; la courbe B'A' est dans ce cas une droite parallèle a AB. Ces résultats étaient faciles à prévoir.

Ainsi, une machine fonctionnant suivant un cycle limité, d'une part par deux lignes isolhermiques, d'autre part par deux droites parallèles soit à l'axe des pressions, soit à l'axe des volumes, réalise le coefficient économique maximum. Mais il paraît aussi difficile de construire une machine fonctionnant suivant de pareils cycles qu'une machine fonctionnant suivant un cycle dp, Carnot ; on a voulu seulement montrer ici un exemple de machine offrant, au point de vue théorique, le même avantage qu'une machine fonctionnant suivant le cycle de Carnot.

Le coefficient économique des machines à feu employées dans l'industrie s'écarte beaucoup de la valeur maximum que lui assigne le cycle de Carnot; il doit être calculé, pour chaque genre de machines en particulier, d'après le cycle des opérations effectuées. Nous prendrons pour exemple les machines à air de Stirling et d'Ericsson ; nous supposerons que le gaz soit parfait, la question n'étant pas pour le moment de savoir si l'air ou tout autre gaz se rapproche plus ou moins de l'état parfait.

Système Stirling. — Le cycle est limité {fg. 10) par deux lignes AB, CD, parallèles à l'axe des pressions et par deux lignes adiabatiques BC, AD; cette machine diffère de la première machine idéale dont il était question tout à l'heure, en ce que deux lignes adiabatiques remplacent les deux lignes isothermiques.

Le cycle d'opéralions est le suivant :

i° De A en B, on chauffe un poids M de gaz sans la volume eonsttint c; la température selève de T à T, : si l'on appelle toujours r la chaleur spécifique sous volume constant, supposée in-

variable puisque le gaz est parfait, la dépense de chaleur cédée par le foyer dans cette première transformation est

7 = Mc(T,-T).

a" De B en C, le gaz se détend pans variation de chaleur, la température s'abaisse de T, à T'.

3" De C en D, on refroidit le gaz tous te volume constant >•'; la température s'abaisse de T' à T,, la chaleur cédée au réfrigérant est

g' = Mc(T' — T,).

4" De D en A, le gaz est comprimé sans variation de chaleur, la température s'élève de T, à T.

Le cycle est fermé ; il est réversible, cela est facile à voir. Lo théorème de Carnot, sous la forme ( 33 ) donnée par M . Clausius, lui est applicable; ici, le long des lignes adiabatiques, il n'y a pas varialion de chaleur, et sur les lignes AB et CD,

<IQ = McelT.

On a donc, en supprimant le facteur Me,

r T "iî r T , iî-

Jt T J T T ~ "' uu, en désignant par log. le logarithme népérien, T T'

Il - Il

La quantité de chaleur consominéo en travail est <] — <{' = Me (T, + T, - T — T'j.

Eliminons T' au moyen de la relation précédente,

le coefficient économique

Dans celte machine , comme dans la suivante, la première iransformalion, pendant laquelle le gaz s'échauffe, a lieu dans un appareil que l'on peut appeler générateur, par analogie avec la machine à vapeur. Le gaz se détend ensuite dans un cylindre moteur, passe dans un réfrigérant qui est l'analogue du condenseur de la machine à vapeur, et est ensuite refoulé dans le générateur par une pompe alimentaire.

Système Ericsson. — Le cycle est limité (Jig. 1 1) par deux lignes AB, CD, parallèles à l'axe des volumes et par deux lignes adiabatiques BC, AD. Le cycle d'opérations est le suivant :

<° De A en B, on chauffe un poids M de gaz sous la pression constante p; la température s'élève de T à T,. Si l'on appelle

toujours C la chaleur spécifique sous pression constanle, suppo-

sée invariable puisque le gaz est parfait, la chaleur cédée par lu foyer dans cette première transformation est

a" De B en C, le gaz se détend sans variation de chaleur, a température s'abaisse de T, à T'.

3" De C en D, on refroidit lo gaz sous la pression constante />', la température s'abaisse de T' à T, ; la chaleur cédée au réfrigérant est

4" De D en A, le gaz est comprimé sans variation de chaleur ; ia température s'élève de T, à T.

Le cycle est fermé et réversible; le théorème de Carnot lui est applicable. Sur les lignes adiabatiques, il n'y a pas variation île chaleur; sur les lignes AB et CI),

Fig.

y = MC(T,-T).

?' = MC(T"-TJ.

rfQ = MCf/T.

Un a donc, en supprimant le facteur MC,

ou

( fil )

La quantité de chaleur consommée en travail a pour valeur

Î -/=MC^T 1 + T 1 -T-Î^y et le coefficient économique est

La chaleur consommée en travail dans la machine d'Hricsson ne diffère de la chaleur consommée en travail dans la machine de Stirling que par la substitution de In chaleur spécifique sous pression constante C a la chaleur spécifique sous volume constant c Le coefficient économique a la mémo valeur dans les deux systèmes Stirling et Ericsson.

L'une ou l'autre de ces machines fonctionne entre les limites de température T, et T,; la température intermédiaire T T

est arbitraire; le coefficient économique i — ^ dépend de cette

valeur arbitraire de T. Entre ces mômes limites de température T, et T,, le coefficient économique imaimum est, d'après le théorème de Carnot,

La température T étant inférieure à T, ,

ic coefficient économique est moindre dans les machines Stirling et Ericsson que dans une machine fonctionnant suivant le cycle de Carnot. On devait s'attendre à ce résultat.

Pour augmenter lo coefficient économique des machines à air chaud et le rapprocher de la valeur maximum en conservant les limites de température T, et T,, il suffit de supposer que T, tende vers T ; mais alors, en examinant la valeur de q — q' ou

en jetant les yeux sur l'une des 10 ou 1 1 , on voit immédialemenl que le travail effectué par la macliine tend à disparaître, en même temps que le coefficient économique do la machine se rapproche de la valeur maximum.

La question industrielle ne consiste pas seulement à augmenter le coefficient économique, mais à obtenir le plus de travail possible d'une machine qui fonctionne entre des limites déterminées de température, qui sont ici T, et T,.

Pour atteindre ce but, il faut disposer de Tde manière à rendre q — q' maximum, ou, co qui est la môme chose, de manière à rendre minimum

Or, le produit T x -L- 1 = T,T, étant constant, il faut que les T T

deux facteurs T et -~ soient égaux,

Dans ce cas remarquable.

ainsi, le travail effectué par l'une des machines précédentes est maximum lorsque les températures intermédiaires T et T' ont pour valeur commune une moyenne proportionnelle entre les limites de température T, et T r Le coefficient économique dans ce cas est

La connaissance du coefficient économique est insuffisante pour comparer les qualités des machines thermiques.

Lorsqu'on veut comparer les effets des moteurs hydrauliques, on suppose un poids P d'eau pouvant tomber d'une hauteur H; la chute de ce poids d'eau fournit un travail disponible PH. C'est à ce travail disponible que l'on compare le travail utile obtenu avec lo moteur, et l'on appelle rendement de la machine le rapport qui existe entre le travail utile et le travail disponible. Le rendement ainsi défini est inférieur à l'unité, et la machine se rapproche d'autant plus de la perfection que le rendement est plus voisin de l'unité.

Lorsqu'une machine thermique- fonctionne, entre les limites detempérature T, et T^, pour q calories cédées' par le foyer à l'agent intermédiaire, air, vapeur, etc., le travail disponible, comme nous l'apprend le théorème do Carnot (p. 4i), est

C'est là le travail maximum dont on peut disposer avec une machine thermique astreinte à fonctionner entre les limites de température T, et T 2 avec une dépense do q calories. Ce travail peut d'ailleurs être employé en travail utile ou en travail destiné a vaincre des résistances, frottements, chocs, etc., provenant de l'organisme du moteur. On a vu précédemment (p. 55 ) à quelles conditions devait satisfaire une machine pour obtenir ce travail maximum.

En général, ces conditions ne sont pas remplies dans les moteurs thermiques. Lorsqu'une machine fonctionne entre les limites de température T, et T,, à la dépense de q calories cor-

Ce travail S est en partie utile, en partie destiné à vaincre les

résistances passives; on tout cas, ce travail S est utilisable par la machine.

La machine thermique se rapproché d'autant plus des conditions de la perfection, au point île vue de l'utilisation de la chaleur, que le rapport

se rapproche davantage de l'unité.

M. Hjrn a appelé C(1 rapport p le rcrnlç/ne/if sijérifîqtic de la machine. Si l'on désigne par q' la chaleur cédée au réfrigérant.

Ze rendement spécifique d'une machine thermique est donc le. rapport du coefficient économique de in machine au coefficient économique, maximum, défini par le cycle de Carnet,

Le rendement spécifique des machines Slirling et Ericsson est , en général,

Dans le cas particulier, le plus important dans la pratique, où ces machines produisent le travail maximum, la valeur particulière du rendement spécifique est, en remplaçant T par y^T...

( <tf )

Cette valeur de p, est souvent désignée, par abréviation, sous le nom de rendement maximum. Il faut bien remarquer, toutefois, que p, n'est pas la valeur maximum que puisse acquérir le rendement spécifique p, lorsque l'on attribue à T des valeurs variables; la valeur maximum do p est l'unité, alors T = T,, et la mactune ne produit pas do travail. Le rendement maximum, si l'on emploie cette expression commode, est le rendement qui correspond au travail maximum que la machine peut produire.

M. Hirn a déterminé, le premier, d'après des principes exacts, le rendement maximum des machines Stirling et Ericsson ( ' ) ; par suite d'une erreur de calcul, il a trouvé des rendements un peu dillérents pour ces deux systèmes. M. Zeuner a montré que le rendement dépend uniquement des températures limites ( J ).

Si l'on prend pour limite inférieure une température constante T,, on voit que lo rendement maximum augmente en même temps que la température supérieure T, s'élève davantage; maïs il est aisé de voir que l'accroissoment de p, est peu rapide pour les températures accessibles, d'après les nombres suivants, qui se rapportent à la température de la glace fondante :

T, = a 7 3° ou

Pi

o,5oo