RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AU MOYEN DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES
$ Ie". — Équations du 2 degré.
73. Les racines de l'équation du 2 degré, ramenée à la forme æ+pr+q=0, sont données par la relation :
Cela posé, distinguons 4° le cas où les racines sont de même signe, 1 et 2 celui où elles sont de signes contraires. Nous supposons d'ail- | leurs que les racines sont réelles. 1 1° Dans le er cas on a q positif, et, les racines étant réelles, } \] À
A 2 poser :
2 4 = ni à FE g>0; donc F. est positif et inférieur à l'unité. On peut donc
nn 4q '
SIN = 9 — p2 ;
ce qui donne pour @ une valeur réelle calculable par logarithmes. Il en résulte pour la formule (2) :
DIET Snrg) = — P(1+ 0059)
ou en séparant les racines :
æ =—F (140088) =—1p cos f
: 4 æ —— 5 (1—c08g)=—poins$. ; LS
29 Dans le 2e cas, q cstnégatif; — F. est donc positif, et l’on peut
poser {92 = — 1 Par suite de la formule (2) devient :
- a / î - 1 ee UV = —(itsécg) = B (1): .
ou en séparant les racines :
1 ? ces rela pe 2€ 2e noue). nt 0aT. Pa SES COS® } 2 COS @ COS ® Pen | D Fe.
sin - ) sin? À Si l'or hi p ( coso—1 ee DUR 4 Her
ER COS® } 2 cos ® on aura + AN —
$ IT. — Équations du 3e degré.
diculair mets du
1 sentent 74. Proposons-nous d'abord de trouver les valeurs de cos 34 on nent p) racines : nel à à à >omnm fonction de cos a, ou celles de S%a en fonction de sin a. un d 0 2 Dans cos (a+b)=c0os a cos b—sin a sinb,
faisons b=—92a, il vient:
des trois COS2A = cos à cos 24 — sin à sin 2a ;
abaisse quelconc des deux égale à |
or
sin2a=92sin a cos a » COS 24 = cos? a — sin? q ;
donc COS Sa = 083 a —3 sin? a cos 4; Où en remplaçant Sin? a par 10084 :
COS a = 4 cos8a — 3 cos a ;
: - | 1 On su qui peut s’écrire : COS & —4cos3 g4—38 008 a. < $ ; sin &, Si, dans cette relation, on demande Ja valeur de C08qa =, 73. So étant donné cos a=—b, on aura à résoudre l'équation : la forme 3 b DB D—-—(, 4 al (A) lorsque 1 — p \3 q \? U— Nous :
Orona b<1, donc la condition 3) (5) <0, c'est-à-dire De Le ip pent les trois raci el!
0 sé) str et les sont réelles D) + 8/7 — ‘St remplie, et les trois racines sr réelles, si nous Voici comment on peut les obtenir : Posons Tous les arcs qui ont un cosinus donné sont Compris dans la formule (n°19) 2Kr+a, à étant l'arc qui dans les deux premiers quadrants ä pour cosinus la valeur proposée. Les valeurs de x sont donc toutes Les équa “AZ ; + Dr + a \ les valeurs différentes renfermées dans la relation cos 5 — }: telle man Or K étant un nombre entier, ne peut avoir que l'une des trois formes : on, 3n+1, 3n +2; les valeurs de æ, ou les racines de (1) seront alors : ë a +4 cos ( 2nr=# à | =006 +") = COS 3 ; Fa ee : Pour que co (ann Tes) cos (2840V que la va : : dition :
! et ns ETC ET)EUTE S):
S de cos qu en
de sin a.
=2a, il vient :
—sin24@, en remplaçant
de cossa=x,
» C'est-à-dire
es son! réelles,
s dans la foriers quadrants nt donc toutes
. (Re).
8 trois formes :
ces relations se réduisent aux 3 suivantes :
a 9 4 À . COS 3 COS ( ea ) et cos (=+e)
Si l'on prend AM=% et si l’on forme le triangle équilatéral MNP? on aura :
A 1, ANP= Sn Les perpendiculaires Mm, Nn, Pp abaissées des sommets du triangle équilatéral sur BB', représentent, prises avec les signes convenables, les racines de l'équation (A).
Comme la somme de ces racines est nulle, on en déduit ce théorème de Géométrie : $; des trois sommets d’un triangle équilatéral, on abaisse des perpendiculaires sur un diamètre quelconque du cerele circonscrit, la somme des deux perpendiculaires situées d'un inême côlé de ce diamètre sera égale à la perpendiculaire située de l'autre cÔlé;
On suivrait la même marche pour trouver sin 34 en fonction de sin @,.
75. Soit maintenant à RÉSOUDRE L'ÉQUATION DU 3% DEGRÉ ramenée à la forme :
LB + pX + q =0 =") lorsque les racines sont réelles et inégales. Nous venons de trouver les racines de l'équation : 3 cos a
CHU z-=0); (A)
si nous pouvons identifier ces deux équations, le problème sera resolu. Posons æ=py, l'équation 1) deviendra :
V4 y+ =. (2) Les équations (A) et (2) seront identiques si l’on détermine pet a de telle manière que 2 —. Gt Em LE T, c'est-à-dire si p À à
Pour que ces valeurs soient admissibles, il faut que p soit négatif et que la valeur de cos a soit plus petite que 1, ce qui fournit la con-
dition :
3 2 p\ 3 2 (—5) >(1) ou (£) + (4) <0.
a SE qe
Les valeurs de b et de cos a étant étant déterminées, celles de »
seront :
PCOSS, pcos aa et pcos faq, Application, Résoudre l'équation :
Posons æ—py; celle équation deviendra :
Euh =0; il faut l'identifier avec l'équation (A), ce qui se fait en écrivant : 3 3 cos 4 — :
ni =7 dl. Yom: On entire p=+2 et COS a+}; par
suite: a—
2+9 Er
Les cosinus de {1) et (5\, de (2) et (4), de (3) et (6) sont égaux et de signes contraires. Les racines de l'équation proposée sont :
Ti =—2008$, To=2008 €, my= 2008 ou Di——1,87939, x,=—1,53209, L3—=0,34570,
76. Cette méthode est encore applicable lorsque l’équatton proposée a deux racines égales, de même signe ou de signes contraires.
En effet, nous avons vu que les racines de l'équation (A) sont représentées en grandeur et en signe par les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle équilatéral sur le diamètre BB"; deux de ces perpendiculaires peuvent être égales et être situées dumême côlé de ce diamètre, alors les sommets M et P sont placés symétriquement
par rapport à AA’. Dans ce cas AM=T et par suite a=r.
Les perpendiculaires peuvent aussi être égales et se trouver de part et d'autre de BB'; les racines sont égales et de signes contraires, et les points M et N sont placés symétriquement par rapport au dia-
mètre BB’. Dans ce cas AM=% et a—= üe
77. Considérons enfin je cas où l'équation du 3e degré 23 + pX + q =0 a deux racines imaginaires.
Posons cubiques i obtient :
ou
el comme réduit don
Ses racine
Identifio lations :
et poserait à la même :
Pour trouv il viendra :
(ag ou d'où
Pour que c
pris entre
4p3 = 97 < de résolutic naires, Ayant 29 dont les val
OÙ
es, celles de x
it égaux et de (UE
{ton proposée traires.
(A) sont reres abaïissées deux de ces
nême côté de iétriquement
