CHAPITRE 1, — DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

Fig. 14.

Variations de la sécante et de la cosécante.

Fig. 15.

14. Résumé, L'étude qui vient d’être faite sur les fonctions trigonométriques conduit aux remarques suivantes qu'il importe de bien retenir :

1° Le sinus et le cosinus varient de —1 à +1; la lang. et la cotang., de —oc à +oc; mais la séc. et la coséc. n’ont aucune valeur entre —1 et +1, tandis qu’elles admettent toutes les autres valeurs. Par conséquent , tout nombre compris entre —1 et +1 peut être regardé, soit comme un sin., soit comme un cos, ; tout nombre positif ou négatif peut être regardé comme une {ang. ou une cotang., etc.

2° Le signe d’un rapport étant aussi celui de son inverse, la coséc. est toujours de même signe que le sin. ; la cotang., de même signe que la {ang., et la séc., de même signe que le cos. Mais is valeurs augmentent ou diminuent en sens contraire : quand le sin. augmente, la coséc, diminue, etc.

3° Quand un arc se termine dans le premier quadrant, foules ses lignes trigonométriques sont positives : s'il se termine dans le deuxième quadrant, le sin. et la coséc. seuls sont positifs ; dans le troisième quadrant, la fang. et la cotang. sont positives; dans le quatrième quadrant, la sec. et le cos. sont positifs. Chaque ligne trigonométrique est donc positive dans deux quadrants et négative dans les deux autres.

CPR TE

19 ÉLÉMENTS DE TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE Ces notions sont résumées dans le tableau suivant :

‘Sinus, Cosinus, Tangente,

Fe E 2 EN E

Leg 6

= Ë += EE -D + Cosécante, Sécante,

Cotangente,

S III. — Relations entre les lignes trigonométriques

de quelques arcs.

15. 1° Lorsqu'on ajoute où qu'on retranche à un arc un nombre quelconque de Circonférences, l'arc obtenu a les mêmes lignes trigonométriques que le Premier. Car ilales mêmes extrémités.

Donc, en désignant Par & un arc quelconque, on peut écrire : sin a= sin (2Kr—a), cos a— COS (2Kr<a), 49 a— {9 (2Kr + a) coséc a—coséc (2Kr+a), séc a—sSéc(2K7 a) formules déjà trouvées (nos 10, 11 et 12).

2° Deux arcs AM et AM égaux et de signes Contraires, sont

T Symétriquement placées par rapport au s__8 /| diamètre AA; ils ont donc des lignes tri-

| à 80nométriques égales en valeur absolue et AN | / 1 \| de signes contraires, à l'exception du cosi-

12 \/ nus OP et de la sécante OT —OT" qui ont ne i) Ja le même signe, .

nl » CoOta=cot (2Kr+a),

| \ IP | /| Donc, si l’on change le signe d'un arc, Jar les lignes lrigonométriques Conservent \ leur valeur absolue, et changent de signe \T' à l'exception du Cosinus ef de la sécante. Fig. 16. On peut écrire :

T Les

sin (

coséc |

JT rence Oppose ces art à l'exc {angen

Don à un lignes valeur l'excer gente.

On a

sin(r coséc(r

Les c chant à cela rex confére

4° Lo

complé triangle OAT — que les l'arc A1 aux ligi AM',etr sont de tion du OS du p signe qu

GNE vant : gente,

ométriques

à un arc un L a les mêmes mêmes extré-

| peut écrire :

lg (2Kx + a), =cot(2Kr+-a),

traires , sont

rapport au es lignes triir absolue et tion du cosi- =OT" qui ont

te d'un arc,

conservent nt de signe la sécante.

CHAPITRE I, — DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES 13 SiN(—a)=—-sin à, COS(—a)= cos à, {g(—a)=— (ga, COSÉC(—4a)=—coséc a, séc (—a)=séc a, cotg (—4)= — cotg a,

3 Deux arcs AM et AM’, qui diffèrent d'une demi-circonference, ont leurs extrémités diamétralement opposées; les lignes trigonométriques de LE ces arcs sont égales et de signes contraires, hi | à l'exception de la tangente AT et de la co- 2 A | tangente BS qui ont le même signe, /

Donc, si l’on ajoute ou si l'on retranche ap À à un arc une demi-circonférence, les “TT 6 F

lignes lrigonométriques conservent leur \ 2 À

; 1 . s \ 17 valeur absolue, et changent de signe à MK | l'exception de la tangente et de la cotan- ne gente. 1ge 1

On à donc :

Sin(r+a)=—sin à, COS(r+-a)—— cos à, tg(r+a)=tg a, coséc (ra) —— coséc a, séc (r+a)=—séca, coty (t+a)=cotg a.

Les conséquences seraient les mêmes en ajoutant ou en retranchant à un are un nombre impair de demi-circonférences; car cela revient à ajouter ou à retrancher un nombre entier de circonférences (n° 15, 10), plus une demi-circonférence.

4° Lorsqu'on ajoute 5 à un arc AM, l'arc obtenu AM’ est le complément du premier {n° 8), Or les triangles rectangles égaux OMP—OMP’, OAÂAT=OBS" et OAT'—OBS, montrent que les lignes trigonométriques de l'arc AM sont égales en valeur absolue aux lignes complémentaires de l'arc AM’, et réciproquement ; mais ces lignes sont de signes contraires, à l’exception du cosinus OP et de la sécante OS du premier arc, qui sont de même Fig. 18.

signe que le sinus M'P' et la cosécante OT’ du deuxième arc.

Le résultat

. A T * serait le même en retranchant ÿ à l'arc AM.

Donc, si l’on ajoute ou si l’on retranche > à un arc, les

lignes 'igonométriques se changent

laires, el prennent des signes conti

cosinus e{ de la sécante «Le l'arc On à ainsi :

: Tr T ’ 1" STATE S]=—cosa, cos 4EG]=sina, tg{a+-

L9]=—colga, h T ’ , T ° T COsec| a+ 5 ——sS0Ca, sec (0 —Cosec a, cotq at —=—{4 4,

en lignes complémen- ‘aires à l'exception du donné.

90 Enfin deux ares supplémentaires AM et AM’ extrémités symétriques par rapport au diamètre BB’ (n° 7), ont leurs lignes trigonométriques égales et de signes contraires, à l'exception du sinus MP=M'P et de la Cosécante OS’ qui ont le même signe.

Donc, st l’on remplace un arc Par son Supplément, les lignes lrigonométriques conservent leur valeur ab

solue, et changent de signes à l'exception du sinus et de la cosécante,

ayant leurs

Fig, 19,

On a donc :

SN (T — a) =sin « , COST —Q)—=— cos a, (JiT—a)= — {ja , COSÈC IR — a) —coséc a, SÉCIT— Q)—— sin a, Clg —a)=—coty (

16, Réduct‘on d'un arc a

u premier quadrent, Dans le premier quadrant, les lignes trigon

ométriques prennent, abstraction faite de leurs signes, toutes les valeurs qu'elles sont susceptibles de recevoir. Ramener un are au premier quadrant, c'est trouver l'arc compris entre et 900, qui à, en valeur absolue, les mêmes lignes tr'igonométriques que l'arc donné,

Par exemple, l'arc de 15379 représente 4 14409 plus 97: il a donc les mêm lare de 970, Cet arc ayant pour (n° 15, Bo) :

:irconférences ou es lignes trigonométriques que Supplément j'arc de 83°, on aura

Sin 15370—sin970— sin 830, COS15370— c08 970—— cos 830, 915370 {y 97o— — 14830,

Ainsi, pour ramener un arc au premier quadrant, on comfENCE par retrancher 360 autant de fois que possible ; le reste fait connaître dans quel quadrant l'arc se termine, et permet d'af-

fectc CCT qua men d'abe

or.

espèce née 1!

donne trique

Sup d'un &

40 € BB' el par diamè!

arcs a) ont lex désign nés en 2KTr+.

lier qu L'arc termine (2K +1 Donc a, sont

20 So vons du un arc | S et S':

petits à cosécant précéder

Ainsi,

LIGNE

nes complémenà l'exception du

+3) =—çC0l{9a,

(at D) =—tya.

AM’ ayant leurs r'rapport au dialignes trigono- 18 Contraires, à =M'P" et de la 1ème signe,

un arc par son gonométriques solue, et chanà du sinus et de

-d)=— (ya,

—4)=—colg a,

ans le premier bstraction faite ‘usceptibles de st trouver l'arc mêmes lignes

onférences ou nétriques que e 83°, on aura

int, On comible ; le reste permet d'af-

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