MÉTRIQUES

$ EL — Formules fondamentales,

20. Il y a entre les lignes trigonomét cinq relations distinctes qui fournissent à la Trigonométrie ses formules fondamentales.

Désignons par à un arc AM pris dans le premier quadrant.

riques d'un même arc

Le triangle rectangle OMP établit une RE 1 relation entre le sinus, le cosinus et le / rayon ; il donne, en effet : F:

MP? OP? —O° Br ou sin? a+ cos?a—1 CE) Fig. 23,

De cette relation on tire : sin a—=+ 1 —cos?a et cos a+ )1— sin?

Les triangles semblables OTA et OMP donnent :

AT__ MP: __Sin à 9 ON Op UM ObWo= ei et Gi = OU séca— (3)

DO PETEA

18 ÉLÉMENTS DE TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE Les triangles semblables OSB et OMQ donnent également :

BS MQ Cosa 1 1 "UD me, (4 EU ER — | TA et OB—0Q ù Ge (à

On pourrait trouver encore d’autres relations, par exemple, le triangle reclangle OAÂT donne l+ ip a=séca, et le triangle rectangle OBS, 14 cola —coséc? &: Mais ces formules sont peu employées et elles rentrent dans les précédentes, car entre les Siæ lignes trigonométriques , il ne Peul y avoir plus de cinq relations distinctes.

En effet, s'il en était autrement. les six lignes trigonométriques seraient liées par six équations; chacune n'aurait plus alors qu'une valeur déterminée et indépendante de l'arc auquel elle appartient, ce qui est absurde,

Discussion. Nous avons SUpposé l'arc AM dans le premier quadrant; mais on vérifie facilement que les cinq formules fondamentales sont vraies pour un arc quelconque.

En effet, les valeurs absolues que prennent les lignes trigonométriques ne peuvent être différentes de celles d’un are pris dans le premier quadrant (no 16); il suffit donc de vérifier leurs signes,

Or, la formule 1) ne renfermant que des carrés, quantités essentiellement positives, est foujours satisfaite.

La tangente et la Cotangente doivent être positives dans le premier et le troisième quadrant, et négatives dans les deux c'est ce résultat que donnent les formules (2) et (4), car le sinus et le cosinus sont de même signe dans le premier et le troisième quadrant, et de signes contraires dans les deux autres.

Enfin, les formules 3) et (5) sont également génér la sécante est toujours de même signe que le cosinu cante de même signe que le sinus

autres;

ales, puisque S, et la cosé-

21. En combinant ces relations On peut obtenir directement l’une quelconque des lignes trigonométriques d'un arc par la Connaissance d'une seule d’entre elles. Cherchons, par exemple,

à exprimer les lignes trigonométriques en fonction de la tangente.

On à d’abord (4) coga=-— , \ : lo a : sin a aa — La relation (2 008 a = peut s’écrire :

Si.

chaqu

et d'où l’ el

Enfi:

si l’on vient :

La v le triar

sec a P

En g gonom trigonc ou deu,

Rem dentes détermi répond des poil l'except gente, | arcs s0 (n° 16, sitive A aux ex qui se.

lignes t:

IGNE

{ également :

(4\ {ja EX (3)

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nes trigonoméle n'aurait plus de l’arc auquel

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