CHAPITRE II. — DES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

$ III. — Lignes trigonométriques de la somme ou de la différence de deux ares.

arcs, trouver

24. Étant donnés les sinus et cosinus de deux st et de leur différence.

le sinus et le cosinus de leur somme

1" Méthode. Solution par les projections. Soient deux arcs AB— a et BC—b, Joignons OC et OB, puis menons CQ perpendiculaire sur OB, et CP perpendiculaire sur OA.

Nous avons (93, coroll.) la projection de OC égale à la somme des projections de OQ #5. . et de CQ. Or, la projection de OC est OP \ / OU cos (a + b); la projection de O0 = 0Q 6 cos BOA où cos bcosa: la projection de — CQ = CQ cos CQD, et à cause de cos CQD Plg, 27. —=— sin a (n°15, 40), la projection de CQ =— sin b sin a. Donc

COS (a+ b) = cos a cos b — sin b sin a (A)

En changeant b en — D, cette formule devient : Cos(a— b)— COS 4 COS (—b)— sin a Sin(—b); or on a (n° 15, %) cos b — COS(—b) et sin(—b)—— sin b.

Donc COS(a — b)= cos a cos b+-sèn a sin b (B) \ T , .

Dans la formule (A), remplaçons à@ par a, il vient

— {— à Lo fr (n°45, 40) cos] (5 +4) +01 = cos (+ a) cos b — sin (5+a) ‘ T = LES . Sin b. Or, cos(5+a+p =Sin(a+b), cos| ;+a)= sin a,

. /T et sin (5+4) = — COS Q.

Donc : Sin(a+b)= sin a cos b + sin b cos a (C) Enfin, cette dernière formule donne par le changement de b en —+ :

Sin(a—b)= sin a cos b— sin b cos a

ne our, :

Ces quatre formules qui sont

d’un usage continuel s'énoncent ainsi :

Sn (a b)=sin à cos b- + sin b cos a (8) Sn (a—b)= sin a cos b — stn b cos a (9) Cos(a + b)= cos a cos b— sin a sin b (40) COS(a—b)= cos a cos b sin a sin b (11)

Remarque, Cet{e méthode, s'appuyant sur un principe général (n° 93), les formules obtenues ne donnent lieu à aucune dis- Cussion, quelle que soit, la position des points Bet C.

29. 20 Méthode, Solution géométrique. Soient les arcs AB — a CE BC=— 4, Portons BC en BC’, nous

aurons

Ç AC=—a—b et ACTE Gun D, Joignons OA,

PACS ; OB, CC’, puis menons CQ, BP, IL, C'Q'

nl 1 perpendiculaires sur OA , et IH et C'H per- NN \ pendiculaires à CQ.

Ona: sin (a+ b)= CQ— IL: k CH (1) sin(a—b =C'Q"=IL — CH (2) cos(a+b)- -OQ=OL—LQ—OL—IH (3) COS(a— b)}—0Q'—OL+LQ'—OL IH (4) Cherchons à déterminer les lignes IL, CH, OL et IH. Les triangles CIH et OBP, semblables comme ayant les côtés per- SPL no: d'où l'on tire :

CH=—OP X CI cos à sin b,

et LH = BP X CI sin a sûn b, De même les triangles semblables OIL et OBP

IL OL QE BP OP —0B Qu À? on en lire :

Fe =" (EN FE 0

Fig. 98,

pendiculaires, donnent :

donnent :

IL = BP X O1=— sen a cos b F et OL=— OP X OI— cos a cos b.

En portant ces valeurs dans les relations (1), (2), (3), (4), il vient :

sin (a +-b)= sen a cos b + sin b cos a (8) Sin (a—b)=sin a cos b— sin b cos a (9) COS (a+ b = cos a cos b — sin a sin b (10)

COS (a —b == cos a cos b sin a sin b

Bi ne