NE CHAPITRE IV. — RÉSOLUTION DES TRIANGLES

ab—c)late—i),

Zn » ai a:

NI d'où sin sa (/ | ir

Je bien

d'un triangle, À in pa) POI | 21

ee ï —a)(p—c

} (n° 50). Par + On trouverait de même : sin 1B—4/ - ap s (2) snlc=4/ 10 2))r—0

hmes, ajoutons :

En divisant les formules (2) par les formules (1), on obtient :

1, /(p—a)(p—c BB po) ë 1, /(p—a)(p—0) 9 3C= “plp—c)

% Remarques. [. Dans toutes ces formules, les radicaux doivent “ tre pris positivement, parce que la moitié d'un angle quelconque d’un triangle est toujours moindre que 90e, et que dans le 1° quadrant, toutes les lignes trigonométriques sont positives. à Si l'on n'aqu'un angle à déterminer, on peut se servir indifférem- 4 ment des formules (1), (2) ou (3); mais si l’on doit calculer les trois angles, il est préférable d'employer les formules (3), qui + demandent seulement quatre logarithmes au lieu de six ou sept, et qui donnent des résullats plus exacts (n° 40, Rem. PL),

aurons :

IT, On peut mettre les formules (3) sous une forme extrêmement simple, et d'un usage très-commode pour le calcul logarithmique, À cet effet, cherchons d'a- ü + bord à exprimer, er fonction des cotés , PSS } la valeur du rayon > du cercle inscrit nn dans un (riangle ABC. Les tangentes rl Le menées d’un point à un cercle étant / 0 | « égales, AD— AF, BD—BE et CE—CF. /\

er, On à pareil

Le L SS Par suite, on peut écrire l'identité : É- mr Du Rate AD=—(AD+-CEEB)—BC ou AD— = 4 —a@. Mais dans le triangle rectangie Fig. 40. = C—b). À

AOD, l'angle DAO— Ja: de plus OD= AD #9 DAO:

c'est-à-dire "—(p—a) tg 7

C'est la chaque cô!

CE 1 ÿ fé d’où (9 54= —"- À 4 Pp— a È De même, lg 1 EL :

LA. D — D La 1 Ù D.

sf gaCe=+, | 39, Soit e rt ‘ surface.

Ces formules ne sont autres que les formules (3), où l'on à Abaissor = — l . AD sur le écrit , = | (DP—d) (P=—=0) : î la surface P 4% %

98. Discussion. Dans les formules (1), (2) et (3), la quantité Or le tri placée sous chaque radical doit être positive; et de plus, à l'é EE AD=—D sin gard des formules (1) et (2), elle doit être moindre que l'unité.

Or LE b, cet p étant positifs, la condition de réalité sera remplie, si les autres facteurs sont positifs ou si deux facteurs M (Cette fo sont négatifs; mais cette dernière hypothèse est inadmissible : en car en supposant, par exemple, p—a<0 et p—b<0, on en + ren conclurait 2p< ab, c’est-à-dire a+ ;-c<a—b ou c<0, M duit ee ce qui est absurde. I] faut doncque lonait :--4 0, p—0b>0,

SUREE

cernes

p—c>0 ou a<b+c, b<at.c et Cab. À 60. Le 1 a ST En second lieu, pour que l'expression de sin £A, par M °— sin A

exemple, soit moindre que 1, il faut avoir pr À Hi. . | ou bien, el OÙ (P—b)(p—c)<be, c'est-à-dire D°—p{b+Lc)Lbc<be, W où en simplifiant et divisant Par pp : p—{b+c)<0 ou | a<b—e. D

NA (Cette fo

En génér d’un côté , cents et di

De même, pour que l'expression de cos ÿA soit moindre que

: ., p(n—a) L 1, il faut avoir EC ci Où p(p—a)<bc. En rempla- Pi

Gant p par sa valeur, il vient successi (a+ b+c) (b+c—a)<4bc ou (b+ tbe, Où (b+cP—4bc< a, ou enfin (b—c <a, et par suite :