P = 2AV

Si, en outre, Wj, «j, ij et I3 sont des fonctions sinusoïdales simples du temps et si 9 est l'angle mesurant le décalage de i, sur y, et de iV sur t\,

P — aVrfUcosip.

Courants triphasés. Montage en étoile. — Soit une génératrice triphasée, dont les trois enroulements induits I, Il et III sont raccordés séparément

aux circuits d'utilisation 1,2 et 3, par six conductiîurs de liaison. Désignons, en grandeur et en signe, par ([, t., et î'a les intensités simultanées, h un instant quelconque, des trois courants en jeu, considérés comme positifs dans le sens des llèches marquées sur la figure 39. Quand les trois parties du système sont identiques, ces courants on-t uiônie valeur efficace et pri-

sentent des décalages de phase successifs d'un tiers de période. Dans ces conditions, si les courants sont des fonctions simplement sinusoïdales du temps, on a constamment

En effet la somme algébrique des projections sur une direction quelconque YO Y' {fig. 40) de trois droites égales Oâ, OB et OC, faisant entre elles des angles de 120", est nulle, quelle que soit l'orientation du fais-

ceau des trois droites autour du point 0. Ainsi, dans la position particulière qu'indique la figure ci-dessus, cette somme est Oa — Ob — Oc. Or, si l'on représente l'angle AOY par a, BOY' = (60° — a) et GOY' = (60" + a). Donc, en posant OA = OB ^= OG^^ G, il vient

Od Oft— G*: = G cos a — G cos (60° — a) — G ces (60* + a)

= G co8«(l — ScosôO")

= Gcosa(l-i ^)-0.

COURANTS ALTERNATIFS POLYPHASES 19

Il en rt'suHe que, si l'on donne aux trois circuits fermés du système triphas*^ un fil de retour commun {fiy .41], celui-ci n'est le siège d'aucun courant et peut, par suite, être supprimé h son tour {fig. 42). Il suffit, en conséquence, de trois conducteurs de ligne pour relier les

enroulements induits de la gi'ni'ratricc aux circuits récepteurs, si, d'une part, ces enroulements et, d'autre part. ces circuits ont une extrémité commune ou sont, comme on dit, connectés en étoile. Etel'absence de courant dans un lil réunissant les centres des deuxétoiles, on doit con-

clure que ceux-ci sont constamment aux mêmes potentiels, ainsi que tous les points de ce fil, quand il existe.

D'une manière générale, quelles que soient la nature des trois circuits identiques qui, dans la disposition précédente, aboutissent aux deux points communs du système et la loi périodique suivant laquelle varient les

trois forces éleclromotrices c,. Cj' ^3 développées par la génératrice, il est évident, par seule raison de symétrie, que, lorsque ces forces électromotrices ont même valeur efficace et présentent des retards de phase successifs d'un tiers de période, elles donnent naissance à trois courants if, i^, t'g de même intensité efficace, également décalés sur leurs forces électromotrices respectives et dans le même sens, et présentant, par suite, aussi entre eux des retards de phase successifs d'un tiers de période; en outre, les différences de potentiel r,, Uj, 1:3 existant entre des points correspondants x, y, z des conducteurs de ligne et le centre de l'étoile génératrice ou réceptrice ont, de même, valeurs efficaces égales, décalages égaux et de même sens sur les courants respectifs, et retards de phase successifs d'un tiers de période entre elles.

Considérons l'une quelconque des étoiles du système [fig. 43). Au moment où «,, Vj, «3 sont les dilférences de potentiel entre les points x, y, 2 et le centre de l'étoile, soient Uu, W33, v.^^ les voltages existant respectivement entre x tiiy, y et z, z et x. Les relations suivantes sont toujours satisfaites :

Elles montrent qu'étant données les courbes figurant les variations de r,, v», v.^ en fonction du temps, les variations périodiques de v^^•, 'v«r^, v^f sont représentée ; par les courbes obtenues en retranchant des ordonnées de la courbe v^ les ordonnées correspondantes de la courbe î.'.,, des ordonnées de la courbe «o celles de la

COURANTS ALTERNATIFS POLYPHASES 81

courbe v-^ et des ordonn<?es de la courbe w.| celles de la courbe t'j. Si, comme on l'a supposé jusqu'ici, les trois circuits accouplt's du système Iriphasé sont identiques, les trois courbes r,, r^, v^ sont pareilles et se succèdent le long de l'axe des temps à des distances «îgales au tiers de la longueur correspondant h la dur(^e d'une période complète des variations de ces dif-

férences de potentiel. Dans ces conditions, les courbes t-p, "îa- % sont n(5cessai renient identiques entre elles et se présentent aussi avec des retards de pbase successifs d'un tiers de période. Il s'ensuit qu'alors les voltages des trois points x. y, z pris deux h deux ont également la même valeur efficace.

Le rapport numérique entre cette valeur efficace et celle, Vi,(r, des différences de potentiel existant entre les

points considt^rés et le centre de l'étoile dépend de la nature des fonctions périodiques auxquelles on a affaire.

En pratique, pour les calculs approximatifs, on admet toujours que ce rapport est \/'S, soit 1,73. C'est rigoureusement le caslorsque v,, v^et v^ varient suivant une loi sinusoïdale simple. En effet, on peut alors

représenterwj, v^ et v^, en grandeur efficace et en phase, par trois droites divergentes de même longueur, OA^ OB et OC, orientées à 120" (fig. 44), et si l'on trace par A une droite AD égale, parallèle et de sens contraire ùOB, par B une droite BE égale, parallèle et de sens contraire à OC, enfin par C une droite CF égale, parallèle et de sens contraire à OA, les trois vecteurs OD, OE et OF figurent les voltages v^^, v^^ et w^, en grandeur efficace et en phase. Or il est aisé de reconnaître

COCRASTS ALTERNATIFS POLYPHASÉS Ç3

que, dans les trois triangles isocèles ^gaux OAD, OBE et OCF, les angles aigus sont de 30% de sorte qu'à l'échelle à laquelle la longueur des droites OA,OB et OC figure V^r, celle des vecteurs résultants OD, OE et OF représente

2V.,cos30' = 2V^ ■ ^ = V^ ^3-

La puissance électrique moyenne totale P, consommée dans l'ensemble des branches de l'étoile réceptrice et des tronçons de conducteurs de ligne attenants limités aux points X, y et 2, est évidemment toujours égale à la somme des trois produits obtenus en multipliant la valeur efficace de chacun des courants d'alimentation par celle de la différence de potentiel entre l'extrémité 3:, y ou 3 du fil de ligne amenant ce courant et le centre de l'étoile, ainsi que par le facteur de puissance correspondant à la forme et à la position relative des courbes montrant les variations périodiques des deux grandeurs alternatives considérées.

Quand les circuits qui se rejoignent aux centres des deux étoiles du système triphasé sont identiques, comme on l'a admis plus haut, les termes analogues des produits susdits sont égaux entre eux, de sorte qu'en désignant leurs valeurs respectivement par Uir, Vj^ et A, on a