P = 3AV„U

Dans ce cas, si les intensités des courants i), u, ïg et les différences de potentiel Uj, w^, «3 qui les entretiennent dans la partie envisagée du système sont simplement sinusoïdales, et si l'on représente par 9 l'angle mesu-

rant le décalage de ces courants sur leurs diff(?rences de potentiel respectives et par V',fr la valeur efficace commune des différences de potentiel ii,^, «33, «3, existant entre les points x^ y, s pris deux à deux, on peut écrire

P = 3V.,Ucos(p = \/3V'J«rC0S9.

Montage en triangle. — Au lieu de donner, d'une part, aux enroulements induits de la génératrice triphasée et, d'autre part, aux circuits d'utilisation une extrémité commune et de les relier par l'autre bout en étoile aux trois conducteurs de ligne, on peut aussi les disposer en triangle entre ceux-ci, en les y raccordant indépendamment par les deux extrémités {/îg. 45).

Si les trois enroulements induits de la génératrice sont identiques, ainsi que les trois circuits d'utilisation

et les trois fils de ligne, la symétrie parfaite du système réalisé doit entrdner les conséquences suivantes, lorsque les trois forces électromotrices agissantes, e^, e^ et #.„ varient de la môme manière, quel que soit d'ailleurs ce mode de variation, et présentent des retards de phase successifs d'un tiers de période :

1° Les courants tj, i\ et % traversant les enroulements de la génératrice varient suivant une môme loi pério-

eotJRANTS ALTBRNAtiFS POLYPHASÉS 8!t

dique, ils ont la mfime intensité efficace et, comme ils sont également d<?calf!8 sur leurs forces électromotrices respectives, leurs phases se succèdent aussi à un tiers de période d'intervalle;

2° Il en est de môme des courants de ligne i'|.>, I33 et i^i, puisque, si Ton convient de considérer comme positifs les courants de ligne quand ils s'éloignent de la géntVatrice et les courants de circulation de celle-ci quand ils tournent autour du triangle des enroulements dans le sens indiqué sur la figure ci-contre, les intensités instantanées des premiers courants sont liées à celles des derniers par les équations semblables

qui énoncent, pour les sommets du triangle, le fait évident qu'à chaque instant les courants amenés à un nœud de conducteurs par quelques-unes des branches concourantes s'éloignent en se partageant entre les autres branches;

3° Etant donnés trois points correspondants quelconques j:, y et z des conducteurs de ligne, les différences de potentiel r,, r., et C;j comprises respectivement entre s et »/, x el z, t/ et x présentent aussi des valeurs efficaces égales et des retards de phase successifs d'un tiers de période;

4° Vu que la conclusion précédente s'applique aux voltages d\, v'n et u'., agissant entre les sommets du triangle des circuitsde réception, lescourantsi',, i'« etî'^ entretenus dans ces circuits ont encore môme valeur efficace c^t, décalés également sur leurs ^

66 CHapIt&é IV

respectifs, présentent, eux aussi, des retards de phase successifs d'un tiers de période.

Soient lenetleff les intensités eiïïcaces des courantsi,, ij, tg et i\, i'2, i'3; Jsff celle des courants i[2, tjî' ^ai- Les rapports numériques de ces valeurs efficaces dépendent des lois périodiques suivant lesquelles varient les intensités instantanées de ces groupes de courants, liées par les relations simultanées

Un raisonnement semblable à celui que nous avons employé, dans le cas du groupement en étoile des circuits générateurs et récepteurs, pour trouver le rapport des valeurs efficaces des différences dé potentiel de points correspondants des conducteurs de ligne et des voltages existant entre ces points et les centres des étoiles, montrerait que, dans le cas actuel,

si les courants sont des fonctions sinusoïdales simples du temps. Ce résultat peut être généralisé pour les calculs approximatifs de la pratique.

Désignons par v, v", v" les différences de potentiel entretenant les courants de ligne %, 13,, 1,3 dans les bouts de conducteurs compris entre les points x, y, z et les sommets du triangle des récepteurs. Abstraction faite de toute hypothèse quant à l'identité des éléments analogues du système triphasé dont il s'agit, la puissance

COURANTS ALTERNATIFS POLYPHASES 87

la puissance électrique totale dépensée dans l'ensemble des circuits situés, par rapport à la génératrice, au-delà des points x, y, z, a pour valeur instantanée

En remplaçant v\, v\ et v\ par leurs valeurs tirées des égalités

on peut écrire l'expression précédente sous la forme

qui montre qu'elle se réduit à

attendu que les trinômes entre parenthèses sont nuls. La puissance moyenne correspondante P est donc égale à la somme des valeurs moyennes des trois produits restants, lesquelles sont les mômes, par raison de symétrie, quand les enroulements de la génératrice sont identiques entre eux, ainsi que les circuits d'utilisation et les fils de raccordement. Dans ce dernier cas, si les valeurs efficaces des différences de potentiel et des courants intervenant dans ces produits sont V,iT pour les premières et, comme ci-dessus, l'en pour les seconds, et si, les grandeurs en jeu variant suivant des lois simplement sinusoïdales, le décalage de phase

88 CHAPITRE tV

entre !)[ eti\,v., eti'j, v-^ et i'^ est représenté par l'angle j, P = 3V,ïl'rfC08^.

En introduisant dans cette formule l'intensité efficace, Jeii, des courants de ligne, il vient

P^V^V^J.rC03<f.

Moutage mixte. — Il n'est pas nécessaire que les enroulements de la génératrice et les circuits d'utilisation soient connectés de la même manière aux conducteurs de liaison, les uns et les autres en étoile ou en triangle. Grâce à la symétrie des deux dispositions par rapport aux fils de ligne, rien n'empêche d'adopter le mode de raccordement en étoile pour un groupe de circuits et celui en triangle pour l'autre groupe ; les résultats établis dans les deux paragraphes précédents subsistent.

Relations entre les valeurs instantanées des différences de potentiel et des courants des lignes triphasées. — Considérons, dans une distribution tripha-

sée quelconque, les trois conducteurs alimentant un groupe de récepteurs {fig. 46). Si l'on convient d'attri-

GoitRANts ALTERNATIFS t>oLYPrtASÉS H

Wer le signe positif aux courants qui les traversent lorsqu'ils sont dirigés dans un certain sens, vers les appareils desservis par exemple, et aux difl'érences de potentiel existant entre ces conducteurs pris deux à deux, quand elles sont orientées de l'un vers l'autre suivant un même sens de rotation, le sens du mouvement des aiguilles d'une montre par exemple, pour un observateur regardant successivement les trois conducteurs figurés en section aux sommets d'un triangle, on a constamment entre les valeurs instantant^es simultan(^es de ces courants et de ces difl'érences de potentiel, représentées en grandeur et en signe respectivement par t[, i.i, i^ et v^n, v.j^, v.f, les relations algébriques

Ces relations sont indépendantes des modes de groupement, en étoile ou en triangle, des circuits d'utilisation, des lois périodiques auxquelles obéissent les grandeurs variables, des conditions dans lesquelles fonctionnent les diverses pbases du système, c'est-àdire des valeurs efficaces relatives des courants et des différences de potentiel, des décalages des courants entre eux, des différences de potentiel entre elles et des courants sur les différences de potentiel. Leur justification n'implique aucunehypothèse restrictive de ce genre.

En effet, la première relation exprime simplement le fait, évident dans tous les cas, qu'à chaque instan.t l'intensité totale des courants entrant dans les appareils est égale k celle des courants qui en sortent.

Pour établir d'une maaiëre générale la seconde relation, ou peut recourir à l'artifice suivant. Supposons qu'on connecte es étoile, aux points des conducteurs d'alimentation entre lesquels agissent les différences de potentiel u,;, t.>i et «3,, trois résistances suffisam-

FlO. 47.

ment grandes pour que les courants qu'elles absorbent ne puissent pas altérer sensiblement ces différences de potentiel [fig. 47). Désignons, en grandeur et en signe, par v^, v.^ai v^ les différences de potentiel auxquelles les trois résistances auxiliaires sont soumises individuellement à un moment donné, ces tensions étant comptées positivement lorsqu'elles tendent à produire des courants convergeant vers le centre de l'étoile. Les égalités ci-après sont toujours satisfaites :

En les ajoutant membre à membre, on voit que