Rïtgî-a = 4,18 . 14,34 = 60 ohms

Gomme le décalage ^ du courant sur la différence de potentiel des points L et N est donné par l'équation

tg, = ^(±^.rz^^y

oïl R désigne la résistance elfective totale du circuit'LN, soit Rt + Rj = 13,8 4-4,18= 17,98ohm8, on voit que tgç = 0. Il s'ensuit que ç = 0, et que la valeur efficace de la différence de potentiel extrême, dont l'expression générale est

V^=I.rR\/l+tg^

\a = UR = B . 17,98 = 90 volts, comme s'il n'y avait ni self-induction ni condensateur.

Problème IV. — Deux génératrices monophasées tournant à vide développent des forces éieclromotrices alternatives de même fréquence, dont les valeurs efficaces E,tiT et Ejfrt sont respectivement égales à 100 volts et à HO volts, et dont la plus grande présente sur l'autre un retard de phase d'un huitième de période. Chacune d'elles a une résistance effective de 1,03 ohm et une réactance pouvant être estimée à 6,5 ohms. Si l'on reliait leurs bornes semblables entre elles, quelles seraient l'intensité eflicace du courant échangé entre les deux machines et la puissance électrique moyenne fournie ou absorbée par chacune de celles-ci?

Sohilion. Si, lorsqu'on considère les sens des forces électromotrices des deux machines par rapport aux bornes semblables à réunir, l'une de ces forces électromotrices retarde sur l'autre d'un huitième de période,

son retard de phase est égal ^ ô "1" 5 ^^ â ^^ période quand on envisage les sens relatifs des deux forces électromotrices dans le circuit constitué par les machines accouplées en opposition.

C'est l'intensité efficace du courant engendré dans ce circuit par l'action combinée des deux forces électromotrices qu'il faut chercher.

Or, les deux forces électromotrices en question, dont les valeurs efficaces sont E,f[r et Eosn, agissent ensemble comme une force électromotrice unique

APPLICATtONS NUMERIQUES 99

d'une valeur instantanée constamment égale à la somme algébrique de leurs valeurs instantanées et d'une valeur efficace Een pouvant, par suite, être obtenue en faisant, comme suit, la somme géométrique de E|eff et de Eoetr. Traçons {/îg. 49) deux vecteurs divergents OA et OB de longueurs respectivement proportionnelles aux

nombres 100 et HO, et dont le second est décalé en

arrière du premier d'un angle de - ■ 360° = 225". Par

l'extrémité de OA menons, parallèlement à OB, une droite AB' égale à OB et de même sens. Le vecteur OB' renseigne par sa longueur la valeur numiVique de Eed et par son orientation les décalages entre la force électromotrice résultante et ses deux composantes. On trouve ainsi que E,rf ^= 81 volts. ^

D'autre part, la valeur efficace de la force électromotrico de self-induction totale d'un circuit étant égale à

la somme arithmétique des valeurs efficaces des forces électromotrices Je self-induction dont les diverses parties reliées en série sont le siège, puisque toutes ces forces électromotrices, également décalées sur le courant, sont en concordance Je phase entre elles, la réactance totale d'un circuit, égale au quotient de la force électromotrice de self-iaJuction efficace totale par l'intensité efficacedu courant, est la Romme numérique de ses réaclances partielles.

Le prohlème qui nous occupe se réduit donc à la détermination du courant produit par une force électroinotrice efficace E^ir de 81 volts dans un circuit possédant une résistance totale R de 2. 1 ,03 = 2,06 ohms et une réactance totale 27r/-Cde 2.6,5 = 13 ohms. L'intensité efficace de ce courant est

Ut ^ . ^ — ^= ^= 6,15 ampères,

et son retard de phase sur la force électromotrice figurée, dans le diagramme de la figure 49, par le vecteur OB' est défini par la relation

d'où l'on déduit très approximativement

En représentant, dans le diagramme précité, le courant par un vecteur OC incliné sur OB' de 81° vers l'arrière, on reconnaît qu'il retarde sur la force

électromotrice OA d'un angle f^ = 7°' et avance sur la force électromotrice OB d'un angle ç,j ^^ 218\ Notons que

Les puissances électriques moyennes correspondant aux deux machines sont, dans ces conditions,

P, = E,^Ucos<)., — 100 . 6,15 . 0,992 = 610 walts

Pj = Ej,rU co3<f^ = — 110 . 6,15 . 0,788 = — 333 watts.

Les signes de P, et de Pj montrent que la machine dont la force clectromotrice eflicace est la plus faible joue le rôle de génératrice en développant une puissance électrique moyenne de 610 watts, tandis que celle dont la force électro motrice efficace est la plus grande fonctionne comme moteur, en absorbant une puissance électrique moyenne de 533 watts. La difiérence entre les deux puissances ci-dessus, soit

610 — 533 = 77 watts,

est dissipée en chaleur dans les résistances du circuit. En évaluant directement reflet Joule, on obtient

L,»R = tM5" ■ 2,06 = 78 watts.

Le léger écart entre les deux résultats s'explique par l'approximation des calculs.

loi eHÀfWRri V

Problème V. — Un condensateur d'une capacité C égale à 10 microfarads est dérivé, par l'intermédiaire de conducteurs d'impédance négligeable, sur une génératrice monophasée alimentant un circuit d'utilisation inductif. Sachant que la machine développe une puissance électrique moyenne utile de 5 chevaux eu débitant, à la fréquence/ de 50 périodes par seconde, un courant efficace \es de 3,68 ampères sous une dilférence de potentiel efficace aux bornes V„ir de 1000 volts, estimer l'intensité efficace du courant absorbé par le circuit d'utilisation et le facteur de puissance de ce dernier.

Solution. Puisque de l'expression de la puissance électrique moyenne utile développée par la génératrice,

P^ V„U,cosT', on tire

COS a ;= .. , ^:^

9- =^ et le courant total débité par la machine est en concordance déphasé avec la dilférence de potentiel aux bornes de celle-ci. Ce courant retarde, par suite, d'un quart de période sur le courant dérivé dans le condensateur, courant dont l'intensité efficace est

\'\„ ^ 25t/-CV„, = 2 . 3,14 . 50 . 0,000 010 . 1 000

= 3,14 ampères.

L'intensité instantanée du courant absorbé par le circuit d'utilisation est constamment égale à la différence algébrique entre l'intensité instantanée du courant débité par lu machine et ceUe du courant transmis

Applications nCMÉRtQtjÉs

ioi

liii côodensateur. Il s'ensuit que le premier courant est représenté en grandeur efficace et en phase {/îg. 50) par le vecteur OB' résultant de la composition d'un vecteur OA de longueur proportionnelle à les et d'une droite AB' égale, parallèle et de sens contraire au vecteur OB dont la longueur est proportionnelle à Toir et

qui est décalé de 90" sur OA dans le sens des angles d'avance.

On peut se dispenser de faire un diagramme à l'échelle en remarquant que, dans le triangle rectangle OAB',

OB' = S/ÔÂ^ + ÂW-,

La première formule détermine l'intensité efficace l'^t

du courant fourni au circuit d'utilisalion. Il vient

r,„ = \/dM^ + ^M' — ^M ampères.

D'autre part, l'angle AOB', que nous désignerons par ç', figurant le retard de phase du courant précédent sur la différence de potentiel aux bornes de la génératrice, puisque cette différence de potentiel est en phase avec le courant total débité par celle-ci, le facteur de puissance du circuit d'utilisation a pour valeur, d'après la seconde formule,

Problème VI. — Deux circuits dérivés, soumis à une différence de potentiel alternative dont la valeur efficace V^fr est égale à 5000 volts et la fréquence / à 100 périodes par seconde, utilisent l'un une puissance électrique moyenne P, de 383 kilowatts avec uu facteur de puissance égal à l'unité et l'autre une puissance électrique moyenne P., de 143 kilowatts avec un facteur de puissance réduit à 0,8 par suite d'un retard de la phase du courant sur celle de la dilfércnce de potentiel agissante. Ils sont alimentés par une génératrice monophasée à laquelle les relient deux conducteurs de 20 kilomètres de longueur. Quelle est la diiïérence de potentiel efficace aux bornes de la génératrice, si la résistance effective, la self-induction et la capacité de la ligne s'élèvent respectivement à 0,6 ohm, à 2 miHihenrys et à 0,15 microfarad par kilomètre de double fil.

Sohilion. Dans le circuit d'utilisation dont le facteur de puissance est l'unité, le courant, en concor-

APPLICATIONS NDMERIQDES 108

dance de phase avec la différence de potentiel aux extrémités communes des deux dérivations desservies, a pour intensité efficace

' Dans l'autre circuit d'utilisation, le courant retarde sur la différence de potentiel susdite d'un angle ç^ := 37°, correspondant à C0SÇ2 = 0,8, et sa valeur efficace est

r Pa 143000 ,-0 A

L'intensité efficace I,n du courant amené par la ligtie à l'ensemble des deux circuits dérivés est la somme géométrique de I,,rrct del^rr- Effectuons celte somme:

après avoir clioisi une certaine longueur pour représenter un ampère, traçons [fig. 51) un vecteur OA de longueur correspondant â 76,6 ampères et menons à

su suite, parallèlement au vecteur OB en retard de 3'ï'' sur le précédent, une droite AB' de même sens que OB et de longueur correspondant à 35,8 ampères ; la longueur du vecteur résultant OB' montre que

I^ ■= 107,3 ampères.

La capacité de la ligne dont les deux conducteurs peuvent être considérés comme les armatures d'un condensateur ayant pour diélectrique l'air est en réalité répartie tout du long des fils. Dans le but de simplilier le problème, nous supposerons toutefois qu'elle est localisée au milieu de l'étendue de la ligne, comme si, en cet endroit, «n condensateur indépendant, d'une capacité C = 0,15 . 20 ^ 3 microfarads, était dérivé entre les conducteurs.

Désignons respectivement par v, i, s et v' les valeurs instantanées simultanées de la différence de potentiel appliquée aux circuits d'utilisation, du courant traversant la moitié de la ligne attenante à ceux-ci, de la force électromotrice de self-induction dont cette demiligne est le siège et de la différence de potentiel existant entre les milieux des deux conducteurs de ligne.

R = 0,6 .-^=6 ohms étant la résistance effective

de la moitié de la ligne, on a constamment la relation

R ' qui, sous la forme

v' = v-{.iR- t,

ÂltPLiCAtiOtlS nCmeriquëS Ioî

Indique que le vecteur définissant la valeur efficace et la phase de v' résulte de la composition des vecteurs correspondant à « et à l'R et du vecteur relatif à e renversé.

Pour figurer sur le diagramme ci-dessus les vecteurs de «, îR et E, adoptons une échelle des volts. En portant suivant la direction OA une longueur proportionnelle, à cette (îchelle, à V,ir = 5000 volts et suivant la direction OB' une longueur proportionnelle à

UR = 107,3 . 6 = 641 volts;

on obtient le vecteur OZ de v et le vecteur OY de iR. La force électromotrice de self-induction s retarde d'un quart de période sur le courant i qui la provoque :

.(|;^= 0,002 . -^ =^ 0,02 henry étant ie coefficient de self-

indnctîon de la moitié de la ligne, cette force électromotrice est représentée par le vecteur OX perpendiculaire à OB' et d'une longueur proportionnelle à

2v'-CU = 2 . 3,14 . 100 . 0,02 . 101,3 = 1 348 volts.

Si donc, par l'extrémité terminale du vecteur OZ, on mène, parallèlement à OY, une droite ZY' de même longueur et de même sens que OY, et si l'on tire ensuite une droite Y'X' égale, parallèle et de sens opposé à OX, OX' est le vecteur de v'. La longueur de ce vecteur correspond à V'cir ^ 6010 volts.

Soumis au voltage v, le condensateur fictif dont les armatures sont en contact avec les milieux des fils de ligne absorbe un courant i' qui a une intensité efficace

r,,r = ^TiZ-CY'^ = 2 .3,14. 100.0,000 003. 6010

= 11,^ ampères.

qui possède sur v une avance de phase d'un quai't de période et qui est représenté par le vecteur OC dans le diagramme de la figure 51.

Dans la moitié de ligne comprise entre le condensateur et la génératrice, la valeur instantanée i" du courant est exprimée par la somme algébrique i + i'. Il faut, par suite, ajouter géométriquement au vecteur OB' la droite B'C de mêmes longueur et sens que le vecteur OC et parallèle à ce dernier, pour obtenir le vecteur OC du courant i°. La longueur de OC correspond à une intensité efficace

\'\n ^= 103,4 ampùres.

Vu que les valeurs instantanées de la différence de potentiel aux bornes de la génératrice, de la dill'érenco de potentiel entre les milieux des lits de ligne, de la chute de tension et de la force électro motrice dues respectivement à la résistance effective et à la self-induction de la moitié de ligne traversée par le courant i°, sont liées par une équation de la même forme que celle qui exprime la dépendance entre v\ v, iR ets, une construction graphique analogue à celle qui a permis de passer du vecteur de v au vecteur de «', permet de passer de ce dernier au vecteur de la différence de potentiel aux bornes de la génératrice. Délimitons en conséquence sur OC une longueur OW proportionnelle à l'eirR = 103,4.6 = 620,5 volts; traçons perpendiculairement à OC, vers l'arrière, un vecteur OV proportionnel à

%T-f^\"^ = 2 . 3,1-i . 100 . 0,U2 . 1(W,4 = 1299 volts ;

faisons XW égal et parallèle à OW, W'V égal et parallèle à OV. OV est le vecteur cherché. Il apprend que la difTérence de potentiel aux bornes de la génératrice a une valeur efficace

¥",„= 7070 volts

et qu'elle avance sur le courant i' débité par la machine d'un angle ç'de 26°.

Pour contrôler l'exactitude des constructions graphiques effectuées, vérifions si la puissance électrique moyenne utile delà génératrice, V^ureft cos ç', est égale à la somme P, -|- P^-l- R (leir^ -|- l'\ff^) des puissances moyennes absorbées par les deux circuits d'utilisation et par l'effet Joule de la ligne. On trouve:

VV"^ coa o" = 7 070 . i03,4 . 0,9 — 638 000 watts

P^ -f-P^4-R(I^ï+IV) = 383000-|-143 000

-f 6 {]07,3^ + 103,i~ )= 639 000 watts.

La concordance est très satisfaisante.

Problème VII. — On désire transmettre à 5 kilomètres de distance, par trois conducteurs en cuivre, la puissance électrique moyenne de 50 kilowatts disponible aux bornes d'une génératrice diphasée, dans le but d'alimenter une installation réceptrice dont les deux phases, constituées par des circuits identiques, ont un facteur de puissance égal à l'unité. Déterminer la densité de courant efficace à adopter dans les fils de ligne, entre lesquels la différence de potentiel instanta-

née ne peut pas dépasser 3500 volts et dont on supposera la self-induction et la capacité négligeables, pour assurer à la ligne un rendement d'environ 90 pour 100. Solution, i], P et P' désignant respeclivement le rendement de la ligne, la puissance électrique moyenne absorbée par l'installation réceptrice et la puissance électrique moyenne utile développée par la génératrice,

et,. par suite,

P = ^jP' = 0.90 . 50000 = 45000 watts.

Les courants engendrés dans les deux phases de la génératrice sont transmis séparément aux circuits d'utilisation correspondants par les fils de ligne extrêmes; ces courants se superposent dans le fil de retour commun intermédiaire. Soient Uir ampères l'intensité efficace des courants égaux traversant les fds extrêmes de section égale à s centimètres carrés, r^rr ampères celle du couranl circulant dans le fil de retour de section égale à f' centimètres carrés, p ohmcentimètre la résistibilité du cuivre et /centimètres la longueur de la ligne. La puissance moyenne P' — P watts perdue par effet Joule dans la ligne a pour expression

En remplaçant -"'■ el -7^ par le symbole S de la densité de courant cherchée, il vient

APPLICATIONS NIÎMEEIQDES iil

Si l'on admet que les courants des deux phases du système sont en quadrature, l'eir = V^ Lit, de sorte que

=r — j — ampères par centimètre capré.

Pour déterminer loit, remarquons que, si Veir est la valeur efficace, en volts, de la différence de potentiel agissant aux extrémités de chacune des phases de l'installation réceptrice,

11 faut donc commencer par chercher Veir- La limite de 3500 volts imposée à l'amplitude de la différence de potentiel entre deux points des conducteurs

de ligne fixe à — j^ = 2475 volts la tension efficace

v/2 aux bornes extrêmes de la génératrice. A cette valeur correspond aux bornes de chacune des phases de la génératrice un voltage efficace

\\„ ^ ?^' = 1 750 volts.

en admettant que les tensions utiles des deux phases de la machine soient décaléesd'un quartdepériodel'une par rapport k l'autre. Or \'\b est la somme géométrique de la différence de potentiel V^œ appliquée à l'une dos

phases réceptrices et des chutes de tension efficaces occasionnées par le fil de ligne extrême desservant cette phase et par le conducteur de retour commuD. La première chute de tension, en concordance de phase avec la différence de potentiel des extrt;mités du circuit d'utilisation considéré, est

■= ^^ ;= ' ^ 0,06ol V.|, volts.

On trouve de même pour la seconde, qui est décalée d'environ un huitième de période sur la différence de potentiel susdite,

IV p -, = ^pl — 0,0651 Vd, volts.

Si donc on représente graphiquement {/ig. 52) la grandeur inconnue V^ir par une droite OA d'une certaine longueur, en prolongeant cette droite d'une longueur AB

égale à 0,0651 fois celle de OA, puis en traçant une droite BC de même longueur que AB et inclinée de 45° sur OA, on obtient la droite OC, dont la longueur est à celle de OA dans le rapport des valeurs numériques de V'eir et de Y^e.

APPLICATIONS NUMÉRIQ0KS il3

Sur l'épure on relève t--- == 1,111 ; il s'ensuit que ,, V'^ 1 750 , „„„ ,

22 500 U = -7 57H — 14,29 ampères

= ïTôâ ^= *'* atiiperes par centimètre carre.

Problème VIII. — Déterminer les éléments de la puissance de la génératrice triphasée nécessaire pour alimenter, par l'intermédiaire d'une ligne de 10 kilomètres de longueur, deux installations réceptrices absorbant chacune une puissance électrique moyenne de 165 chevaux. Les trois circuits identiques de l'une des installations sont montés en étoile et ont un facteur de puissance égal à 0,8; ceux de l'autre installation sont groupés en triangle, et leur facteur de puissance est l'unité. Les extrémités des trois conducteurs de ligne entre lesquelles sont dérivées les deux installations doivent être maintenues à des différences de potentiel efficaces de 3 500 voila; la densité de courant efficace doit atteindre 200 ampères par centimètre carré dans les fils de ligne en cuivre et de môme section. On négligera les effets d'induction et de capacité de la ligne.

Sohition. Représentons les valeurs instantanées simultanées des courants et des différences de potentiel à considérer par les notations inscrites, dans la figure 53, sur le schéma des connexions et adoptons comme sens positifs de ces grandeurs ceux figurés par les

CHAPITBE V

flèches qui accompagnent les symboles correspondants. Soient V^s ^ 3 500 volts la valeur efficace des différences de potentiel w,^, «33, «3, existant entre les extré-

mités des trois fils de ligne au poste d'utilisation et P = 165.736 = 121500 watts la puissance électrique moyenne requise par chacune des installations h desservir.

La valeur efficace des différences de potentiel «,, v^, V3 appliquées aux circuits en étoile de l'une des installations est

: 2 020 volts»

et ces différences de potentiel sont en avance de phase d'un angle ç ^^ 37°, défini par CQsç = 0,8, respectivement sur les courants i,, î'^, % traversant les branches de l'étoile et présentant une intensité efficace égale à

V3V^ci

APPLICATIONS NDMERIQDES

Dans les circuits en triangle de l'autre installation réceptrice, qui sont soumis à la différence de potentiel efficace Vjif et dont le facteur de puissance est l'unité, circulent des courants î,2, ^3, tj, d'une intensité efficace

3V:; = 3J5Ïiô="'^^'"P^^^^-

Choisissons une longueur de a millimètres pour figurer un ampère et une longueur de b millimètres pour figurer un volt.

Représentons, dans la figure 54, les courants i,, i^, I3 par les trois vecteurs OA,, OA2, OA3 de longueur égale

à 25,1 a millimètres et faisant entre eux des angles de 120".

Aux différences de potentiel y,, i\„ v^ correspondent

lie CHAPITRE V

alors les vecteurs OZ,, OZ^, OZ3, de longueur égale à 2020 b millimètres et inclinés, dans le seas des angles d'avance, de 37° respectivement sur les vecteurs OA,, OA.J, OAj.

Les relations

montrent que les vecteurs OY,;, OY^j, 0Y3, de v^^, "îîT ï'aii de longueur égale à 3500 b millimètres, s'obtiennent en menant par les points Z,, Zn, Z3 des droites Z|Y,„, Z2Y33, Z3Y;,, égales, parallèles et de sens contraires aux vecteurs 0Z„, OZ3, OZ,.

Les longueurs OB,^, OB^j, OB3,, égales à 11,6 a millimètres, délimitées sur les directions 0Y,3, OYjj, OYs, sont les vecteurs des courants î,î, ù^, îj,.

Des égalités

qui sont constamment satisfaites, on déduit la construction permettant de trouver les vecteurs OC,, OCn, OG3 des courants i\, i'n, i\ dans les fils de ligue. C'est ainsi que, si l'on trace, à la suite du vecteur OA, de i,, une droite égale et parallèle au vecteur 0B,3 de i^^ et orientée dans le même sens que ce vecteur, et si l'on la droite précédente par une autre égale, et de sens opposé au vecteur OB3, de 7;,,, le G, qui joint l'origine à l'extrémité libre de la Iroite représente le courant i\. Les vecteurs OCjOnt même longueur et sont décalés de 120'

.vCooi^lc

APPLICATIONS NDMERIQDES H7

entre eux. En divisant leur longueur commune par a, on voit que l'intensité efficace left des courants de ligne s'élève à 42,8 ampères.

Les courants i\, i\, i'^ déterminent, dans les conducteurs de ligne de résîstibilité p, de longueur /, de section ,s et dont les effets d'induction et de capacité sont supposés négligeables, des chutes de tension v\, v'o, v'.^ en concordance de phase avec ces courants, d'une valeur efficace

Ç.I tî - 0,000 0018 . 1 000 000 . 200 = 300 volts

et représentées par les vecteurs OX,, OX^, OX3 de 360 fi millimètres de longueur,

Lapuissanccmoyennedissipéepari'efretJoule dans les trois fils de la ligne est égale à3 . 3fi0 . 42,8= ifi 300 watts, de sorte que la puissance électrique moyenne utile requise de la génératrice atteint

P' —. 2 . 121 500 + 10 300 = 289 .100 watts.

Pour trouver la valeur efficace V'err que doivent présenter les différences de potentiel v\», v'^, îj',,, des extrémités des fils de ligne attachées aux bornes de la génératrice, il suffit de remarquer que

De la première équation on conclut que le vecteur 0W,o de v'f2 s'obtient en ajoutant géométriquement le vecteur OY,n de *i[,i, le vecteur OX, de v\ et le vecteur 0X0 de v'« changé de sens. Les compositions de

vecteurs correspondant aux deux autres équations conduisent pour «23 et tî'ji aux vecteurs OW^g et OW3,, dont les longueurs sont égales à celle du vecteur OW,j et les directions inclinées de 120° entre elles et sur la direction de ce dernier, La longueur des vecteurs en question apprend que V'^ff = 4090 volts.

Si donc les trois circuits de la génératrice sont groupés en triangle entre les fils de ligne, chacun d'eux doit développer une diftérence de potentiel utile de V',, :^^ 4 090 volts efficaces et débiter un courant de

-p =; -^ ^ 24,7 ampères efficaces

avec un dt^calage f' entre les phases de ces deux grandeurs défini par

coss' — i ^ 2 ~ 0,955.

Si, au contraire, la génératrice est montée en étoile, chacun de ses circuits doit fournir un courant de letT ^ 42,8 ampères efficaces sous une différence de

V'eiT 4 090

potentiel disponible de — - = — p^ = 2 360 volts efli-

^3 \3 caces et avec un décalage de phase ç' de ce courant sur cette différence de potentiel correspondant à

comme dans le cas précédent